“九宮圖”巧解PISA題

王睿潔

摘要：PISA是學(xué)生能力國(guó)際評(píng)價(jià)的簡(jiǎn)稱(chēng)。PISA測(cè)試義務(wù)階段完成以后，學(xué)生在閱讀、數(shù)學(xué)和學(xué)科方面便具備了應(yīng)用知識(shí)、技能和解決問(wèn)題的能力，為各國(guó)和地區(qū)政策分析和研究提供有價(jià)值的參考。PISA測(cè)試已得到世界大多數(shù)國(guó)家和地區(qū)的認(rèn)可，加強(qiáng)對(duì)PISA試題的認(rèn)識(shí)與研究，勢(shì)在必行。本文從認(rèn)識(shí)與研究PISA試題的必要性，PISA試題的一般解法，“九宮圖”巧解PISA試題的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)等，做以下論述。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) ??PISA ???九宮圖

一、從認(rèn)識(shí)與研究PISA試題的必要性

PISA是“國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目”的簡(jiǎn)稱(chēng)，是國(guó)際經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織發(fā)起的學(xué)生能力國(guó)際比較研究，測(cè)評(píng)大約15歲的學(xué)生是否掌握了全面參與社會(huì)所需要的問(wèn)題解決能力和終身學(xué)習(xí)能力，聚焦在閱讀素養(yǎng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)和科學(xué)素養(yǎng)上。PISA自2000年首次開(kāi)始評(píng)價(jià)，之后每3年進(jìn)行一次，包含書(shū)面測(cè)試和問(wèn)卷調(diào)查兩種評(píng)測(cè)方法。其評(píng)價(jià)理念具有前瞻性，評(píng)價(jià)技術(shù)先進(jìn)，評(píng)價(jià)過(guò)程嚴(yán)密，評(píng)價(jià)結(jié)果有效，得到了世界上越來(lái)越多的國(guó)家和地區(qū)的認(rèn)同和參與，現(xiàn)已發(fā)展成為國(guó)際上最具影響力的學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)。

數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試是PISA的一個(gè)主要方面。數(shù)學(xué)是現(xiàn)代文化的重要組成部分，對(duì)人的可持續(xù)發(fā)展具有重要意義。在思考數(shù)學(xué)對(duì)個(gè)人的意義時(shí)，必須考慮到他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握和理解的程度，以及他們激活數(shù)學(xué)能力以解決生活問(wèn)題的可能程度。PISA對(duì)數(shù)學(xué)的這種看法與傳統(tǒng)的學(xué)校中的數(shù)學(xué)有所不同，對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)主要指向?qū)W生的學(xué)科素養(yǎng)，或者說(shuō)是考查學(xué)生使用學(xué)科語(yǔ)言的能力。PISA主要向?qū)W生呈現(xiàn)發(fā)生在現(xiàn)實(shí)情境中的問(wèn)題，其問(wèn)題設(shè)計(jì)的方式就是要表明數(shù)學(xué)的各個(gè)方面對(duì)于解決問(wèn)題都具有真實(shí)的效用。從PISA產(chǎn)生的背景、基本情況，及數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試的框架可以看出，PISA具有先進(jìn)的評(píng)價(jià)理念、科學(xué)的理論框架、靈活的題目設(shè)計(jì)、規(guī)范的操作程序、可比的評(píng)價(jià)結(jié)果。PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試及其結(jié)果，尤其是我國(guó)從2009年開(kāi)始參與其中之后，對(duì)于教育相關(guān)領(lǐng)域具有重大的意義和價(jià)值。

PISA認(rèn)為學(xué)生不僅需要知道如何去閱讀或理解特定的數(shù)學(xué)公式或概念，而且還要知道如何利用這些知識(shí)和技能在未來(lái)面臨的不同的生活實(shí)際中加以應(yīng)用。因此，PISA試題突破以往考試模式，表現(xiàn)出新穎、靈活的特點(diǎn)，測(cè)試中往往把測(cè)試內(nèi)容巧妙地融合到真實(shí)的問(wèn)題情境中，從而在學(xué)生解決問(wèn)題的過(guò)程中考查學(xué)生知識(shí)和技能的水平。

由于PISA測(cè)試的是在義務(wù)階段完成后進(jìn)行的，即考查初中畢業(yè)生的學(xué)業(yè)完成情況，就如我們的初中學(xué)業(yè)考試——中考，因此，浙江省寧波市于2009年便開(kāi)始在中考試題中加入PISA試題。要想學(xué)生在閱讀、數(shù)學(xué)和學(xué)科方面具備應(yīng)用知識(shí)、技能和解決問(wèn)題的能力;要想提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng);要想學(xué)生會(huì)利用閱讀或理解特定的數(shù)學(xué)公式或概念等知識(shí)和技能在未來(lái)面臨的不同的生活實(shí)際中加以應(yīng)用，認(rèn)識(shí)與研究PISA試題具有重要意義。

二、PISA試題的一般解法

為了使學(xué)生在閱讀、數(shù)學(xué)和學(xué)科方面具備應(yīng)用知識(shí)、技能和解決問(wèn)題的能力，為了使學(xué)生會(huì)利用閱讀或理解特定的數(shù)學(xué)公式或概念等知識(shí)和技能在未來(lái)面臨的不同的生活實(shí)際中加以應(yīng)用，為了使學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，PISA試題表現(xiàn)出新穎、靈活的特點(diǎn)。PISA試題一般情況下有兩種解法：一、設(shè)元法;二、創(chuàng)新思維法。

例：（2016寧波中考）如圖是一個(gè)由5張紙片拼成的平行四邊形，相鄰紙片之間互不重疊也無(wú)縫隙，其中兩張等腰直角三角形紙片的面積都為，另兩張直角三角形紙片的面積都為，中間一張正方形紙片的面積為，則這個(gè)平行四邊形的面積一定可以表示為（ ???）

本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)和整式的運(yùn)算。

解法一：設(shè)元法。設(shè)等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為、正方形的邊長(zhǎng)為，則根據(jù)直角三角形的面積公式，得，。根據(jù)正方形的面積公式，得。平行四邊形的面積為，則本題正確答案為。

解法二：創(chuàng)新思維法。利用幾何知識(shí)，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)平行四邊形中心對(duì)稱(chēng)這一重要性質(zhì)以及兩平行線(xiàn)間三角形同底等高面積相等這一特點(diǎn)來(lái)解題。如圖：

連接中間正方形對(duì)角線(xiàn)并延長(zhǎng)，即可得，

所以，則本題正確答案為。

三、“九宮圖”巧解PISA試題模型

“九宮圖”起源于洛書(shū)，河圖與洛書(shū)是中國(guó)古代流傳下來(lái)的兩幅神秘圖案，被譽(yù)為“宇宙魔方”，河圖是伏羲時(shí)代，黃河里有龍馬躍出，身上有圖案，伏羲根據(jù)這個(gè)圖案畫(huà)出八卦，后稱(chēng)此圖為河圖;而洛書(shū)相傳是大禹治水時(shí)代，洛水中浮出一只神龜，龜背上有星星點(diǎn)點(diǎn)組成的圖案，大禹得到啟發(fā)而治水成功，后稱(chēng)此圖為洛書(shū)。后來(lái)為了直觀，就把星星點(diǎn)點(diǎn)轉(zhuǎn)化成了數(shù)字和九宮格的形式。而我發(fā)現(xiàn)對(duì)于PISA試題中的一類(lèi)，我們可以借用“九宮圖”來(lái)幫助我們解題。通過(guò)上面我們了解到，PISA試題一般情況下有兩種解法，作為我們教師與學(xué)生，解PISA題的常規(guī)解法是我們必須要去探究并掌握的。

模型：

如圖，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)該P(yáng)ISA題是以九宮圖為圖形背景的時(shí)候，我們就可以利用該模型解題。

我們可以通過(guò)設(shè)元法，在圖形中設(shè)這6個(gè)未知數(shù)，我們就可以將圖形中的所有線(xiàn)段表示出來(lái)，那我們就可以求出圖中所有矩形的周長(zhǎng)以及面積，然后根據(jù)題目要求進(jìn)行解題。

例、（2017寧波中考）一個(gè)大矩形按如圖方式分割成九個(gè)小矩形，且只有標(biāo)號(hào)為①和②的兩個(gè)小矩形為正方形.在滿(mǎn)足條件的所有分割中，若知道九個(gè)小矩形中n個(gè)小矩形的周長(zhǎng)，就一定能算出這個(gè)在大矩形的面積，則n的最小值是（ ??）

A.3 ???????????B.4 ????????????C.5 ?????????????D.6

解題思路：按照九宮圖模型，由于①和②是正方形，本題只需設(shè)這4個(gè)未知數(shù)即可。則，因?yàn)棰俸廷谑钦叫危詥为?dú)的或可以確定圖形①和②的周長(zhǎng)。

因此思路一：確定單獨(dú)的，則將、看成一個(gè)整體，、、分別可以確定下圖中2，4，9這3個(gè)矩形的周長(zhǎng);思路二：確定單獨(dú)的，則將、看成一個(gè)整體，、、分別可以確定下圖中3，5，7這3個(gè)矩形的周長(zhǎng)，因此只需知道這3個(gè)小矩形的周長(zhǎng)就能求出大矩形的面積，則本題正確答案為。

四、“九宮圖”巧解PISA試題應(yīng)用

應(yīng)用一：如圖所示，矩形ABCD被分割成五個(gè)矩形，且MH=PF，則下列等式中：

①②可以判斷甲、乙兩個(gè)矩形面積相等的是（）

A。①②都不可以 ??????B。僅①可以

C。僅②可以 ??????????D。①②都可以

思路：該題雖然沒(méi)有分為9個(gè)矩形，不是九宮圖，但是我們通過(guò)輔助線(xiàn)，同樣可以將圖形轉(zhuǎn)化為“九宮圖”模型進(jìn)行解題。

解：將該圖形變?yōu)榫艑m圖，如圖所示，由于MH=PF，因此設(shè)這5個(gè)未知數(shù)。

則由①可得，，，

由②可得，，

而，，

則本題正確答案為。

應(yīng)用二：如圖，大長(zhǎng)方形是由一張周長(zhǎng)為正方形紙片①和四張周長(zhǎng)為、、、長(zhǎng)方形紙片②，③，④，⑤拼成，若大長(zhǎng)方形周長(zhǎng)是定值，則下列各式中為定值的是（ ???）

A. ????????B. ???????C. ???????D.

思路：該題雖然沒(méi)有分為9個(gè)矩形，不是九宮圖，但是我們通過(guò)輔助線(xiàn)，同樣可以將圖形轉(zhuǎn)化為“九宮圖”模型進(jìn)行解題。

解：將該圖形變?yōu)榫艑m圖，如圖所示，由于正方形紙片①，設(shè)這5個(gè)未知數(shù)。大長(zhǎng)方形周長(zhǎng)是定值可得是定值，而，，

，則本題正確答案為。

應(yīng)用三：如圖，一個(gè)大平行四邊形被分割成5個(gè)小平行四邊形，其中⑤為菱形，若知道其中兩個(gè)小圖形的周長(zhǎng)，可以不通過(guò)度量就能知道大平行四邊形周長(zhǎng)，這兩個(gè)圖形可以是（ ???）

A.①② ???????B.①③ ???????C.②③ ???????D.④⑤

思路：該題與前幾題不一樣，不是我們熟悉的矩形，但是我們通過(guò)輔助線(xiàn)，將這個(gè)圖形就行轉(zhuǎn)換，同樣可以將圖形理解為傾斜的“九宮圖”模型進(jìn)行解題。

解：將該圖形變?yōu)榫艑m圖，如圖所示，由于⑤為菱形，設(shè)這5個(gè)未知數(shù)。則，，，，

，而，則已知①③可以求出大平行四邊形周長(zhǎng)，則本題正確答案為。

五、點(diǎn)滴感悟

隨著PISA研究進(jìn)入國(guó)內(nèi)后，我們通過(guò)各種相關(guān)介紹了解到PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)的測(cè)試主要考查學(xué)生為了“適應(yīng)未來(lái)社會(huì)而需具備的數(shù)學(xué)能力”。PISA試題所要測(cè)評(píng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不僅包含對(duì)數(shù)學(xué)基本知識(shí)和技能等方面的理解，還包括在不同情境下正確、合理地使用數(shù)學(xué)的能力。本文旨在使學(xué)生能夠理解并掌握PISA題的一般解法，尤其是能夠發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用“九宮圖”模型巧解PISA試題。

總之，為了減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，提高了學(xué)習(xí)效率，找到通向解決學(xué)生學(xué)習(xí)問(wèn)題的橋梁是我們作為一名教師的本職工作。要成為一個(gè)有激情、有真情、有才情的教師，就要成為一名學(xué)習(xí)型教師，不斷學(xué)習(xí)，不斷反思，不斷總結(jié);要成為一名研究型教師，研究教育，研究教學(xué)，研究學(xué)生，就要成為一名創(chuàng)新型教師，不斷創(chuàng)新思想，創(chuàng)新理念，創(chuàng)新方法;要成為一名擔(dān)當(dāng)型教師，面對(duì)遠(yuǎn)離本真的教育現(xiàn)狀，就要時(shí)刻提醒自己必須從學(xué)生的發(fā)展出發(fā)，不人云亦云，敢于挑戰(zhàn)與突破現(xiàn)實(shí)，做一個(gè)有良心負(fù)責(zé)任的敢于擔(dān)當(dāng)?shù)慕處煛?duì)于PISA試題，我將會(huì)繼續(xù)進(jìn)行探索、研究、總結(jié)、反思。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉達(dá)，徐煒蓉，陳吉.基于PISA2012數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)評(píng)框架的試題設(shè)計(jì)一例[M].上海教育出版社，2014

[2]周鴻.初中畢業(yè)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試命題初探——來(lái)自PISA測(cè)試的啟示.

[3]黃華.從PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試對(duì)國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示，PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試與上海市初中畢業(yè)統(tǒng)一學(xué)業(yè)考試數(shù)學(xué)測(cè)試之比較[J].上海教育科研，2010

[4]高鳳萍.PISA數(shù)學(xué)素養(yǎng)測(cè)試對(duì)中國(guó)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的啟示[M].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015