一類具有非線性捕獲項的捕食系統概周期解的存在性

魏臻

(福建師范大學福清分校電子與信息工程學院,福建 福清 350300)

1 引言

Voterra在1931年提出了捕食系統

對該模型,大量學者已經作了深入研究,但單純的微分方程無法全面準確描述生物系統的某些性質.捕獲量作為研究種群動力學行為的一個重要因素,近年來已引起學者的興趣[1-3].文獻[4]改進了系統(1),加入了非線性捕獲項,如下:

使之更加合理化,研究了平衡解的穩定性以及分支,討論了系統復雜的動力學行為.

在系統(2)中,作者假設系統的系數均為正常數,這在自然界中是不存在的,自然界中環境會隨著時間的變化而變化.因此,考慮系統的系數會隨時間變化的非自治模型更為合理.另一方面,在自然界中,一個物種的生存資源通常情形下是有限的,進一步考慮了捕食者種群的密度制約因素,用q(t)y2來表示,這是比較合理的.

本文研究具有密度制約項和非線性捕獲項的非自治捕食系統

其中x(t),y(t)表示t時刻食餌和捕食者的種群密度,g(t)表示捕獲能力,E(t)表示收獲的捕撈努力,a(t),b(t),c(t),d(t),e(t),q(t),g(t),E(t),m1(t),m2(t)是[0,+∞)上非負連續的概周期函數.

由于環境變化非嚴格意義上的周期性變化,用概周期性變化來描述更合適,并且概周期現象在現實中更容易見到,在許多實際問題中,考察其概周期現象更切合實際.因此研究系統(3)的概周期性是必要的,目前尚未見這方面的工作.

2 持久性和全局漸近穩定性

3 概周期解的存在性

此外,設(6)式對t≥t0≥0有解位于緊集S中,S?D,則(7)式在D中有唯一概周期解p(t),p(t)位于S中,它是一致漸近穩定的,且mod(p)?mod(f).

定理 3.1如果概周期系統(3)滿足條件(H1)和(H2),則系統(3)存在唯一的正概周期解,且此解是全局漸近穩定的.

證明系統(3)的伴隨系統為

其中ξ(t)介于X1(t)和X2(t)之間,η(t)介于Y1(t)和Y2(t)之間.

令N=min{N1,N2}.則D+V(t)≤ ?μN[|X1(t)?X2(t)|+|Y1(t)?Y2(t)|]滿足引理3.1條件(iii).故概周期系統(3)存在唯一的正概周期解,且是一致漸近穩定的.又由定理2.2知,系統(3)存在唯一的全局漸近穩定的正概周期解.

4 例子和數值模擬

滿足條件(H2).設初始條件為(x(0),y(0)=(1,1),(0.5,0.5),(1.2,0.8),(0.6,1.5),從圖1可以看出存在唯一的正概周期解,且是全局漸近穩定的.

圖1 系統(9)的概周期解