找尋零點的策略探究

江蘇省無錫市洛社高級中學(xué) 徐榮新

在函數(shù)的解答題中常遇到零點個數(shù)的問題，由于題型的要求，我們需要嚴(yán)謹(jǐn)解答，而不是模棱兩可或者簡單的“由圖可知”，那么到底應(yīng)該如何作答？本文旨在認(rèn)識到可能的錯誤性基礎(chǔ)上嘗試給出理論依據(jù)和常見的策略。

x （0，10） 10 （10，+∞）f'(x) - 0 +f(x) 遞減 極小值 遞增

所以f(x)的最小值為f(10)=ln10-3 ＜0，

故函數(shù)f(x)在區(qū)間（1,10）和（10，e+）之間各有一個零點，又由單調(diào)性可知函數(shù)f(x)有且僅有兩個零點。

注解：此題為了說明存在兩個零點，并沒有直接由單調(diào)性得到，而是在單調(diào)性的基礎(chǔ)上利用零點存在性定理，找到了函數(shù)值為正和為負(fù)的點，進行了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)說明。

基于上面這個例題的剖析，我們意識到在解答題中確定零點問題不能想當(dāng)然，唯一合理的依據(jù)是零點存在性定理，即“一般地，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)＜0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點”。但問題的關(guān)鍵也在于如何找尋函數(shù)值為正或為負(fù)的點，下面我們就來歸納找尋正負(fù)函數(shù)值，從而確定零點的方法。

例1：設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax，其中a為實數(shù)。試判斷函數(shù)f(x)零點的個數(shù)，并證明你的結(jié)論。

（1）當(dāng)a=0 時，函數(shù)f(x)=lnx，顯然存在一個零點。

（2）當(dāng)a＜0 時，f'(x)＞0，函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

顯然f(1)=-a＞0。（此處取值采用了針對lnx的特殊值）

已知函數(shù)m（x）=x2，函數(shù)n（x）=a+1（a∈R）。

（1）若a=2，求曲線y=n（x）在點（1，n（1））處的切線方程；

（2）若函數(shù)f（x）=m（x）-n（x）有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍。

問題（1）略；問題（2）的答案為a≤0 或a=2。