三角形的外角

江蘇省南京市六合區(qū)勵志學(xué)校 孫德萍

一、復(fù)習三角形的內(nèi)角

問題1：如圖1，△ABC有幾個內(nèi)角？它們有什么關(guān)系？

圖1

設(shè)計意圖：通過復(fù)習三角形內(nèi)角的個數(shù)和三角形內(nèi)角和定理，為進一步學(xué)習三角形外角的定義和三角形內(nèi)角和定理的推論作準備。

二、三角形外角的定義

把三角形的一邊延長，如圖2，得到∠ACD，∠ACD叫作三角形的外角.

問題2：請你畫出圖中三角形的其他外角，并用自己的語言描述三角形外角的定義.

圖2

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)外角的形成過程，用文字語言給出三角形外角的定義.小組交流，達成共識。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過畫圖操作，體驗外角的形成過程，為進一步歸納三角形外角的定義提供思路，并指出根據(jù)三角形內(nèi)角的個數(shù)，我們默認三角形的一個頂點處只算一個外角。

三、三角形內(nèi)角和定理推論的證明

問題3：觀察此圖，∠ACD與△ABC的內(nèi)角有什么數(shù)量關(guān)系？

師生活動：教師提出問題，學(xué)生思考后回答，出現(xiàn)兩種數(shù)量關(guān)系：（1）∠ACD+∠ACB=180°；（2）∠ACD=∠A+∠B。

設(shè)計意圖：通過觀察圖形中角與角之間的數(shù)量關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。

追問1：針對第2 個數(shù)量關(guān)系，結(jié)合圖2，你能寫出已知、求證和證明嗎？

師生活動：一般的思路是用三角形內(nèi)角和定理結(jié)合平角的定義進行證明，教師巡視時，若有學(xué)生采用過點C添加平行線的方法，也要給予展示。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過嚴格的邏輯推理證明“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”，進一步感悟幾何證明的意義，體會幾何證明的規(guī)范性。

追問2：你能用文字語言和符號語言概括出這個結(jié)論嗎？

師生活動：學(xué)生回答問題，并相互補充，教師板書，歸納出推論的圖形語言、文字語言和符號語言。

設(shè)計意圖：鍛煉學(xué)生的口頭表述能力和用數(shù)學(xué)語言概括結(jié)論的能力。

圖3

四、鞏固三角形內(nèi)角和定理的推論

例題：如圖3，是一個飛鏢形ABDC。

求證：∠BDC=∠A+∠B+∠C。

師生活動：學(xué)生先思考后獨立完成，對有困難的學(xué)生可適當提示：把不熟悉的圖形轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形來解決，然后小組交流，并匯報不同的作輔助線的方法和不同的證明思路。一般有三種添輔助線的方法：（1）延長BD交AC于點E；（2）連接并延長AD到E；（3）連接BC。

設(shè)計意圖：飛鏢形是一個非常基本的常見圖形，對今后的解題有一定的幫助；通過“割”或“補”的方法，把飛鏢形變成兩個三角形，體會添加輔助線解決這種不規(guī)則圖形問題，體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，豐富學(xué)生的解題經(jīng)驗.培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.

追問：如果改變點D的位置，這四個角的關(guān)系會不會發(fā)生變化？請畫出圖形，寫出結(jié)論。

師生活動：學(xué)生先獨立思考畫圖，再分組討論，教師深入小組，傾聽學(xué)生的交流，并幫助、指導(dǎo)學(xué)生完成此題，再由一個學(xué)生在多媒體上演示點D的位置變化，所得到的不同圖形，結(jié)論也不一樣，總結(jié)有以下三種情況：

圖4

圖5

圖6

圖4 的 數(shù) 量 關(guān) 系 是：∠A+ ∠B= ∠C+ ∠D；圖5 的 數(shù) 量關(guān)系是：∠A+∠B+∠D+∠C=360°；圖6 的數(shù)量關(guān)系是：∠A=∠B+∠C+∠D。針對每一種情況，讓學(xué)生進行說理。

設(shè)計意圖：通過活動鼓勵學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上，積極地參與到對數(shù)學(xué)問題的討論中來，勇于發(fā)表自己的觀點，學(xué)會說理；通過例題的變式，進一步拓展學(xué)生的思維.

五、小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習了哪些主要內(nèi)容？

對于外角，你認為后面我們還將學(xué)習什么？

師生活動：學(xué)生回顧與思考，總結(jié)本節(jié)課所學(xué)知識，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧，關(guān)注學(xué)生對外角基本圖形的認識。