關注識圖能力，提高復習效率

南京東山外國語學校 羅素云

九年級下學期伊始，我校進行了一次調研，主要意義有兩方面：一是三年的新課全部結束，對綜合教學效果進行評估，二是為第一輪復習的教學提供必要的數據分析和策略指導。因此，結合本次試卷當中出現的幾何證明問題做了一點思考，與讀者共享。

一、學生答題情況簡析

例題：如圖1，等腰三角形ABC中，AB=AC，中線BD和CE相交于點F。求證：

（1）∠ABD=∠ACE；

（2）過點A，F的直線垂直平分線段BC。

圖1

圖2

分析：第（1）題通過證明△ABD≌△ACEC(SAS)即可，屬于基礎知識和基本能力范圍，第（2）題則異彩紛呈，方法較多，通過全年級試卷的批改，發現學生的證法主要有以下四種：

證法1：如圖2，由三角形三條中線交于一點的性質，連接AF并延長交BC于點H，得出AH也是BC的中線。

證法2：證了四次全等，先證△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，BD=CE，再證△BEF≌△CDF，△AEF≌△ADF，前三次全等都是為了第四次全等準備條件，最后才有△ABH≌△ACH,得出AF垂直平分BC。

證法3：通過證明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，BD=CE，再得到∠FBH=∠FCH，根據等角對等邊，則有FB=FC，根據邊角邊，進而證明△ABF≌△ACF,得到AF平分∠BAC,再由等腰三角形三線合一的性質，得出AF垂直平分BC。

證法4：通過證明FB=FC,且AB=AC,由線段垂直平分線的判定方法，得出AF垂直平分BC。

錯因分析：

（1）信息加工偏差，導致目標不明確。部分學生目標指向不明確，信息加工指向需證明多次全等，說明這部分學生有思維定勢，不能靈活識別出圖中還有等腰三角形、線段的垂直平分線，繞了彎路，雖然方法正確（比如證法2），但是浪費了很多時間，使后續題目的解決增加了緊張的情緒，無法靜心做后面的能力題。

（2）課本定理和真命題混淆。部分學生把“三角形三條中線交于一點”作為定理，直接在證明過程中使用，學生沒能弄清楚課本上的定理性質有哪些，一些性質雖然是經過探索、發現的新結論，卻不可以作為定理在解題中直接使用(比如證法1)。在教學中，定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，它的逆命題是真命題，卻不可以用來判定直角三角形。所以對于這些易混淆的定理和真命題，要反復強調。

（3）沒有學會分析和綜合的思考方法。在解題過程中，靈活運用分析法和綜合法能降低解題難度，提高解題速度。本題需要證明線段的垂直平分線，那么應該聯想到垂直平分線的判定，判定的條件是什么，然后再看證明這兩組線段相等需要什么（比如證法4）。不僅要由已知想可知，還要善于由未知找需知，教學中，教師應引導學生從多角度觀察圖形，善于把復雜圖形分解為基本圖形，不斷提高學生發散思維和演繹推理能力。證法3 屬于一般的思路，學生容易想到。

二、 結合學生的答卷情況作出教學調整

1.重視對數學思想方法的教學

在學業水平考試與中考命題建議中，明確要求關注學生核心素養的達成，考查學生的思維力。近年來的中考試卷對平面幾何的考查中，對數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養的考查也是各地中考命題的熱點，數學作為研究思維的學科，培養學生的思維能力，平面幾何的教學是推動思維發展的第一載體，數學知識作為一個顯性載體，數學思想隱含于圖形性質的考查之中。本文的第一個案例考查了幾何直觀、轉化與劃歸的數學思想。

傅種孫先生指出“平面幾何的教學不在知其然，而在知其所以然，幾何的教學在于啟發學生，示以思維之道爾”。學生在平時的思考中也暴露了幾點問題：思維混亂、選擇性矛盾。教師可以在幾何學習的過程中引導學生有序思考，擇優而入，按照一定的邏輯規律展開思考，抓住問題的主要矛盾開展一系列探究，在一題多解時，根據實際情況分析哪一種方式更簡捷。

2.重視對數學基本概念和定理的教學

目前平面幾何的學習存在一個現狀，就是學生對基礎知識的概念和定理的引入一知半解，僅僅停留在用概念和定理來解題的層面，當條件發生變化時，學生就不能分析出有關的概念和所能用的定理。比如本文中的第一個案例，學生不能分析圖中可以使用等腰三角形“三線合一”的性質或者垂直平分線的判定。在平面幾何概念的教學中，數形結合可以幫助學生直觀理解概念，生活實際可以幫助學生經歷知識建構過程。數學概念之間也存在橫向聯系和縱向聯系，比如《四邊形》這一章，平行四邊形、矩形、菱形、正方形，若從橫向比較，各種概念的形成和判定與性質的區別與聯系，若從縱向比較，彼此之間有一般到特殊的關系。再比如《圓》一章的內容可以分為三塊，一是與圓有關的概念，從線段、曲線、角的角度來定義相關概念，二是研究直線與圓的三種位置關系，推理證明了圓周角定理，切線的判定與性質，三角形的外接圓、內切圓，切線長定理，有一定的系統性與連貫性，三是與圓有關的計算問題，與圓有關的正多邊形的計算問題，三角形或四邊形與圓相交產生的線段的計算。

3.用好學生的錯題資源

關注學生對當前知識點的認識程度，在會而不對的學生中去體會他們的思維過程和障礙。我經常在學生做練習時進行巡視，體會他們的問題所在點，然后改善自己的教學策略，及時對一些學生給予知識方面的鞏固和方法的指導。在一輪專題復習時，可以采用典型的錯題復習重要知識點，在易混淆處可以采用小組討論，引導他們歸納錯誤的原因，以加深對知識點的理解。也可以用類比的思想方法展示給學生看，然后歸納總結。在平時的講義中，充分運用錯題來檢查學生是否掌握牢固，強化中考考點。

4.滲透研究幾何與圖形的一般規律，為學生過渡到高中幾何的學習打好基礎

在高中學習階段，圖形的研究從平面圖形過渡到空間圖形，從二維到三維轉化，但是研究空間圖形的方法又是轉化為平面圖形的研究方法。在能力要求方面，對于證明和計算，立體幾何初步的要求是不高的，但是對于解析幾何的要求比較高，也就是說在初中階段要加強平面幾何的計算的要求，包括拋物線有關的計算。另外，在培養能力方面，注重能夠培養和形成的主要幾何學習能力和思想方法，尤其是幾何直觀和數學運算。