三種設計，各美其美
——一次“余角、補角、對頂角”同課異構活動引發的思考

☉江蘇省濱海縣第一初級中學 陳月玲

近期，在一次市級同課異構活動中，筆者有幸聆聽了三節“余角、補角、對頂角”第1課時的現場課，聽后受益匪淺.下面就三位老師針對對頂角和互余（互補）的性質所做的設計進行簡單介紹，并給出自己的思考，不當之處，敬請指正.

一、三種設計

1.第一位教師的設計

第一位教師雖然按照教材進行設計，但是對教材內容進行了大膽取舍和改進，具體如下：

首先，讓學生觀察現實生活中的一組圖片，引導學生發現其中蘊含的余角、補角的關系，然后啟發學生去發現現實生活中更多的類似的實物，進而得出余角和補角的概念.在此基礎上，再讓學生去發現和探究對頂角的概念和性質.

圖1

問題1：∠1和∠2的頂點和兩邊有什么位置關系？

問題2：∠1和∠2有什么數量關系？如果將直線AB繞點O轉動，上述關系還成立嗎？∠3和∠4呢？

問題3：∠1和∠3有什么數量關系？還有其他成對的角有這樣的數量關系嗎？

在處理余角（補角）的性質時，將教材提供的情境以動態的形式呈現，并在教材的基礎上進行簡單改編，具體設計如下：

圖2

圖3

將圖2簡化為圖3，ON與CD相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2.

問題1：有哪些角互為余角？∠3和∠4有什么關系？為什么？

問題2：有哪些角互為補角？∠AOC和∠BOD有什么關系？為什么？

2.第二位教師的設計

第二位教師在處理“對頂角”時基本采用了教材呈現的方式：

將剪刀的構造看作兩條相交直線（如圖1），進而提問：

問題1：∠1和∠3有怎樣的位置關系？∠1和∠2呢？

問題2：分別量一下角數，∠1和∠3的度數有什么關系？∠1和∠2呢？在剪刀剪東西的過程中，這個關系還保持嗎？為什么？

在此基礎上，教師引導學生得出對頂角的概念和性質.

在處理余角（補角）的性質時，也沒有采用教材呈現的方式，而是先以一個微課的形式向學生介紹了“入射光線、反射光線和法線”的相關知識，實現了與教材提供材料的“異曲同工”.具體設計如下：

圖4

圖5

將圖4簡化為圖5，ON與CD相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2.

問題1：圖中哪些角互為余角？

問題2：∠3和∠4有什么關系？為什么？

問題3：圖中哪些角互為補角？

問題4：∠AOD和∠BOC有什么關系？為什么？

3.第三位教師的設計

第三位教師則采用了一種全新的處理方式，將“畫圖”貫穿于課堂教學的整個過程，給人一種耳目一新的感覺.

畫圖1：（1）畫直線AB，（2）畫直線CD，（3）假設它們的交點為點O，（4）將形成的四個夾角分別表示為∠1、∠2、∠3和∠4（如圖1）.

在畫圖1的基礎上，采用與第一位教師或第二位教師類似的方法引導學生自主探究對頂角的定義和性質.在得出互余和互補的概念后，再次引導學生畫圖.

畫圖2：（1）先畫銳角∠AOB，（2）作CO⊥OB，垂足為點O，（3）作DO⊥OA，垂足為點O（如圖6）.

圖6

圖7

問題1：圖中哪些角互為余角？

問題2：∠1和∠2有什么關系？為什么？

問題3：你能得出什么結論？

通過上述三個問題引導學生得出：同角的余角相等，然后拋出問題4：

問題4：等角的余角有什么關系呢？你能用畫圖的方式進行說明嗎？

畫圖3：（1）畫∠AOB，（2）反向延長OB到點C，（3）反向延長OA到點D（如圖7）.

問題1：圖中哪些角互為補角？

問題2：∠3和∠4有什么關系？為什么？

問題3：你能得出什么結論？

通過上述三個問題引導學生得出：同角的補角相等，然后拋出問題4：

問題4：等角的補角有什么關系呢？你能用畫圖的方式進行說明嗎？

二、各美其美

1.貫徹課標，落實理念

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：情境的創設可從生活現實、數學現實或其他學科現實進行，上述三位教師的設計可以說是對上述理念的積極踐行.

第一位教師采用了學生熟悉的給人以平行或相交感覺的大量實物得出平行線和相交線的定義，在研究余角（補角）的性質時則采用了學生熟悉的“臺球游戲”，以上所選情境貼近學生的現實，可以說是一種很好的從“生活現實”創設情境的嘗試.

第二位教師除了與第一位教師類似，以生活現實的形式引出平行線和相交線，在后續教學中還采用微課的形式向學生介紹“入射光線、反射光線、法線”的相關知識，這是一種“其他學科現實”，可以看出與第一位教師的設計異曲同工.

第三位教師則完全以作圖的形式貫穿整節課，這是一種從數學內部出發，發現問題，進而提出問題和解決問題的方式，這是一種典型的以數學現實創設情境的有益嘗試.

2.源于教材，用教材教

教材是專家和一線教師集體智慧的結晶.

本節課主要涉及對頂角的概念和性質、互余（互補）的概念及性質，可以看出本節課的課時容量非常大，基本上融合了教材兩個課時的內容.但是，執教教師并沒有畏難情緒，而是迎難而上，結合教材的設計特點設計出了三節“源于教材，用教材教”的優秀課例.

三、實踐跟進

同課異構活動結束后，筆者所任教的班級也要上這節課，此時在綜合上述三節課例優點的同時，筆者給出了另外一種設計，教學中重在培養學生的分類意識和類比的數學思想，在學生剛剛接觸幾何學習的開端“埋下一粒種子”，傾心澆灌，靜待花開.

如圖1，所形成的四個角中，兩兩之間有什么關系？（提示：可以從數量和位置關系兩個角度回答）

顯然，這是一種開放性的設問，可以很好地鍛煉學生的思維能力，更有利于培育學生的核心素養，而且在教學中也收到了意想不到的教學效果.

期待更多的一線教師加入進來，針對本節課設計出更多優秀的案例，為實現初中數學課堂教學的百花齊放貢獻一份自己的力量.