基于子域法的游標混合電機電磁性能解析計算

楊玉波 劉國鵬 陳鵬 楊小童

摘要：針對游標混合電機（VHM）設計時難以實現快速準確的電機磁場求解問題，提出采用子域法推導游標混合電機的解析分析模型，實現電機磁場和電磁性能的快速準確計算。根據電機結構和各部分電磁特性，將電機求解區域劃分為定子槽、定子槽口、永磁體（PM）、氣隙和轉子槽5個子域，根據各子域磁場偏微分方程和矢量磁位通解，結合邊界條件求解各子域矢量磁位，計算氣隙磁密、磁鏈、反電勢（EMF）、齒槽轉矩和電磁轉矩。研究定轉子槽寬對轉矩脈動和平均轉矩的影響，在不減小平均轉矩的情況下，得到削弱轉矩脈動的定轉子槽寬組合。設計制造一臺樣機，實驗結果驗證了解析模型的正確性。

關鍵詞：游標混合電機;子域法;矢量磁位;邊界條件;有限元法

DOI：10.15938/j.emc.2019.09.002

中圖分類號：TM 351

文獻標志碼：A

文章編號：1007-449X（2019）09-0009-09

Electromagnetic performance investigation of vernier hybrid machine

YANG Yu?bo，LIU Guo?peng，CHEN Peng，YANG Xiao?tong

（School of Electrical Engineering， Shandong University， Jinan 250061， China）

Abstract：

Accurate and rapid calculation of magnetic field distribution is the key point of motor design and optimization. The analytical subdomain model of vernier hybrid machine （VHM） was first developed. The whole domain was divided into several subdomains， including the stator slot， stator slot opening， permanent magnet （PM）， air gap and rotor slot， according to the geometric configuration and electromagnetic properties. The magnetic vector potentials were obtained according to the general solutions and boundary conditions between the adjacent subdomains. Then the air?gap flux density， flux linkage， back electromotive force （EMF）， cogging torque and electromagnetic torque were calculated. The effect of stator slot opening width and rotor slot width on the average torque and torque ripple was studied as well. The prototype machine was designed and produced， and the analytical model was verified with the experimental results.

Keywords：vernier hybrid machine; subdomain method; magnetic vector potential; boundary conditions; finite element analysis

0引言

游標混合電機（vernier hybrid machine， VHM）是一種新型的雙凸極電機，其永磁體位于定子內表面，繞組安放于定子槽內，轉子鐵心上只有調制齒，不安放繞組。VHM具有高轉矩密度和優秀的低速大轉矩輸出能力，散熱性能好，轉子結構簡單可靠，適用于風力發電、潮汐發電和電動汽車等領域。

相關文獻對VHM的結構和性能分析方法進行了分析與研究。通過分析VHM拓撲結構與工作原理，發現VHM難以同時兼顧高轉矩密度和高功率因數。將傳統游標混合電機的表面式磁極改為內置V字型，并在定子槽內增加勵磁繞組，能夠提高磁場調節能力。在旋轉VHM的基礎上，設計了單初級和雙初級的VHM直線電機，提出了通過磁鏈、電流和位置數據預測電機性能的方法。采用直流偏置正弦電流控制游標混合電機，能夠提高電機的轉矩密度、功率因數和效率，擴大電機恒功率運行區域。

目前，游標混合電機的分析方法主要為有限元法。有限元法可以充分考慮鐵心飽和、端部效應和漏磁等問題，求解精度高，但是計算時間長，建模復雜。作為一種解析分析方法，子域法具有計算時間短和計算精度較高等優點，已被用于表面式永磁同步電機和游標電機的磁場計算。本文采用子域法對VHM進行建模與分析，根據電機各部分電磁特性，將求解區域分解為多個子域，基于各子域的磁場偏微分方程和矢量磁位通解，根據各個子域交接處的邊界條件求解得到各子域矢量磁位，并基于磁場進行電機性能計算。

1VHM工作原理

圖1為VHM電機模型，永磁體和三相繞組都位于定子上。永磁體位于定子齒表面，箭頭指向為永磁體的磁化方向。轉子為開槽鐵心，無繞組。

VHM的工作原理為磁場調制理論。定子永磁體的磁動勢基波為

F=Fpmsin（Qpmθ+θ0）。（1）

式中：Fpm為永磁體磁動勢基波幅值;Qpm為永磁體基波磁動勢極對數;θ為機械角度;θ0為相位角。

由于轉子的旋轉，氣隙磁導會發生周期性的變化，當轉子沿逆時針方向旋轉時，只考慮恒定值和基波，可將其表示為

Λ=Λ0+Λmsin（Qrθ-ωt）。（2）

式中：Λ0是氣隙磁導恒定值;Λm為氣隙磁導基波幅值;Qr為轉子齒數;ω為轉子旋轉角速度;t為時間。

氣隙磁密徑向分量可以表示為

Br=FΛ=FpmΛ0sin（Qpmθ+θ0）+

FpmΛm2{cos[（Qpm-Qr）θ+θ0+ωt]-

cos[（Qpm+Qr）θ+θ0-ωt]}。（3）

氣隙磁密主要包含3個分量，第1項是靜止分量，極對數為永磁體磁動勢基波磁極數Qpm;第2項是極對數為|Qpm-Qr|的旋轉分量，若（Qpm-Qr）為正值，則該分量轉向和轉子運動方向相反，若為負值，則轉向和轉子運動方向相同;第3項是極對數為（Qpm+Qr）的旋轉分量，轉向和轉子運動方向相同。兩旋轉分量會在電樞繞組中感應出交變磁鏈，轉子旋轉一周，磁鏈變化周期數等于轉子槽數。

2子域劃分與矢量磁位通解

根據VHM結構，求解區域可以被分為5個子域，分別為氣隙、永磁體、定子槽口、定子槽和轉子槽。子域劃分和各子域主要結構尺寸如圖1和圖2所示。

在子域I（氣隙）內，矢量磁位AI滿足拉普拉斯方程：

2AIr2+1rAIr+1r22AIθ2=0。（4）

其通解可表示為

AI=∑k{[A1（rRm）k+B1（rRr）-k]cos（kθ）+

[C1（rRm）k+D1（rRr）-k]sin（kθ）}。（5）

在子域Ⅱ，對于徑向充磁永磁體，磁化強度Mr可表示為

Mr=∑kMrkcos（kθ）。（6）

子域內矢量磁位AII滿足泊松方程：

2AIIr2+1rAIIr+1r22AIIθ2=-μ0r∑kkMrksin（kθ）。（7）

式中μ0為真空磁導率。

其通解可表示為

AII=∑k{[A2（rRs）k+B2（rRm）-k]cos（kθ）+

[C2（rRs）k+D2（rRm）-k+μ0rkMrkk2-1]sin（kθ）}。（8）

在子域III（定子槽口）內，矢量磁位AIIIi滿足拉普拉斯方程，其通解可表示為

AIIIi=C30+D30lnr+∑m[C3i（rRt）Fm+

D3i（rRs）-Fm]cos[Fm（θ-θi+α0/2）]。（9）

式中Fm=mπ/α0。

在子域IV（定子槽）內，由于槽內導體中存在電流密度Ji，對其進行傅立葉分解，表達式為

Ji=Ji0+∑nJincos[En（θ-θi+αa/2）]。（10）

其中：

Ji0=1αa∫θi+αa/2θi-αa/2Jidθ， （11）

Jin=2αa∫θi+αa/2θi-αa/2Jicos[En（θ-θi+αa/2）]dθ。（12）

式中En=nπ/αa。

該子域內矢量磁位AIVi滿足泊松方程：

2AIVir2+1rAIVir+1r22AIViθ2=-μ0Ji。（13）

其通解可表示為

AIVi=C40+μ0Ji04（2R2sblnr-r2）+

∑n{D4i[G1（rR2sb）En+（rRt）-En]+

μ0JinE2n-4[r2-2R2sbEn（rRsb）En]}×

cos[En（θ-θi+αa/2）]。（14）

式中G1=（Rt/Rsb）En。

在子域V（轉子槽）內，矢量磁位AVj滿足拉普拉斯方程，其通解可表示為

AVj=C50+∑mD5j[（rRrb）Gm+（rRrb）-Gm）×

cos[Gm（θ-θj+αra/2）]。（15）

式中Gm=mπ/αra。

3邊界條件與未知系數求解

在5個子域的矢量磁位通解表達式中，系數A1、B1、C1、D1、A2、B2、C2、D2、C3i、D3i、C30、D30、D4i、C40、D5j和C50為未知系數，需要結合相鄰子域的邊界條件，即矢量磁位連續和磁場強度切向分量連續，建立包含未知系數的方程組，進行求解。

在子域I（氣隙）和子域II（永磁體）的交界面（r=Rm）上，矢量磁位A和磁場強度的切向分量Hθ滿足邊界條件：

AI（Rm，θ）=AII（Rm，θ），

HIθ（Rm，θ）=HIIθ（Rm，θ）。 （16）

從而可得：

A1+B1（RmRr）-k-A2（RmRs）k-B2=0， （17）

C1+D1（RmRr）-k-C2（RmRs）k-D2=μ0Rmkk2-1Mrk， （18）

μr[A1-B1（RmRr）-k]-A2（RmRs）k+B2=0， （19）

μr[C1-D1（RmRr）-k]-C2（RmRs）k+D2=μ0Rmk2-1Mrk。（20）

在子域II（永磁體）和子域III（定子槽口）的交界面（r=Rs）上，邊界條件為：

AII（Rs，θ=θi±α0/2）=AIIIi（Rs，θ=θi±α0/2），

HIIθ（Rs，θ=θi±α0/2）=HIIIiθ（Rs，θ=θi±α0/2）。（21）

將矢量磁位AII統一到上，可得

AII=AII0+∑mAIImcos[Fm（θ-θi+α0/2）]。（22）

其中：

AII0=1α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIIdθ，（23）

AIIm=2α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIIcos[Fm（θ-θi+α0/2）]dθ。（24）

將磁場強度切向分量HIIIθi統一到上，可得

HIIIθi=∑k[CIIIkcos（kθ）+DIIIksin（kθ）]。（25）

其中：

CIIIk=1π∫π-πHIIIθicos（kθ）dθ，（26）

DIIIk=1π∫π-πHIIIθisin（kθ）dθ。（27）

結合式（21），可得：

AII0=C30+D30lnRs， （28）

AIIm=C3i（RsRt）Fm+D3i，（29）

CIIIk=0， （30）

DIIIk=-kμrμ0RsMrkk2-1。（31）

在子域III（定子槽口）和子域IV（定子槽）的交界面（r=Rt）上，邊界條件為：

AIIIi（Rt，θ=θi±α0/2）=AIVi（Rt，θ=θi±α0/2），

HIIIθi（Rt，θ=θi±α0/2）=HIViθ（Rt，θ=θi±α0/2）。（32）

將矢量磁位AIVi統一到上，可得

AIVi=AIVi0+∑mAIVimcos[Fm（θ-θi+α0/2）]。（33）

其中：

AIVi0=1α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIVidθ，（34）

AIVim=2α0∫θi+α0/2θi-α0/2AIVicos[Fm（θ-θi+α0/2）]dθ。（35）

將磁密BIIIθi統一到上，可得

BIIIθi=B0+∑nBncos[En（θ-θi+αa/2）]。（36）

其中：

B0=1αa∫θi+αa/2θi-αa/2BIIIθidθ，（37）

Bn=2αa∫θi+αa/2θi-αa/2BIIIθicos[En（θ-θi+αa/2）]dθ。（38）

結合式（32）可得：

AIVi0=C30+D30lnRt，（39）

AIVim=[C3i+D3i（RtRs）-Fm]，（40）

B0=-μ0Ji02（R2sbRt-Rt），（41）

Bn=-EnD4iRt[G2（RtRsb）En-1]-

2μ0JinE2n-4[Rt-R2sbRt（RtRsb）En]。（42）

在子域I（氣隙）和子域V（轉子槽）的交界面（r=Rr）上，邊界條件為：

AI（Rr，θ=θi±αra/2）=AVj（Rr，θ=θi±αra/2），

HIθ（Rr，θ=θi±αra/2）=HIVjθ（Rr，θ=θi±αra/2）。（43）

將矢量磁位AI統一到上，可得

AI=AI0+∑mAImcos[Fm（θ-θj+αra/2）]。（44）

其中：

AI0=1αra∫θj+αra/2θj-αra/2AIdθ，（45）

AIm=2αra∫θj+αra/2θj-αra/2AIcos[Fm（θ-θj+αra/2）]dθ。（46）

將磁密切向分量BVθj統一到上，可得

BVθj=∑k[CVkcos（kθ）+DVksin（kθ）]。（47）

其中：

CVk=1π∫π-πBVθjcos（kθ）dθ，（48）

DVk=1π∫π-πBVθjsin（kθ）dθ。（49）

結合式（43）可得：

AI0=C50，（50）

AIm=D5j[（RrRrb）Gm+（RrRrb）-Gm]，（51）

CIIIk=kRr[A1（RrRm）k-B1]，（52）

DIIIk=kRr[C1（RrRm）k-D1]。（53）

結合式（17）～式（20）、式（28）～式（31）、式（39）～式（42）、式（50）～式（53），可以求解未知參數，進而得到各個子域內矢量磁位。

4計算結果與仿真驗證

基于子域法解析模型，對一臺定子6槽轉子16槽VHM的性能進行了分析計算，樣機的主要結構參數如表1所示。

圖3為電機空載氣隙磁密徑向和切向分量曲線，解析法和有限元法的結果吻合，磁密徑向分量曲線中，在0°、60°、120°、180°、240°、300°這6個角度所在區間的磁密為0，對應6個定子槽口。

對電機的空載氣隙磁密徑向分量進行快速傅里葉變換，主要諧波的幅值和相位角隨轉子位置的變化曲線如圖4所示。氣隙磁密徑向分量中，幅值最大的諧波極對數為18，且相位保持不變，代表式（3）中的Qpm對極靜止磁場分量;旋轉分量的極對數分別為Qpm-Qr=2和Qpm+Qr=34，根據相位角的變化可知，轉子旋轉1個齒距，兩旋轉分量均變化1個周期。

圖5為施加幅值為10 A的三相正弦電流負載時的電機氣隙磁密徑向和切向分量的計算結果，解析法和有限元法的結果較為吻合。通過與圖3的對比可以看出，當電流幅值為10 A時，氣隙磁場徑向和切向分量與空載相差不大，說明電機的電樞反應較弱，電樞電流產生的磁場對氣隙中的磁場分布影響較小。

電機的定子繞組位于子域IV（定子槽）中，可通過矢量磁位AIVi計算第i個定子槽內線圈邊的磁鏈，從而得到每相繞組的磁鏈。線圈邊的磁鏈可表示為

Φ=LefNAc∫RsbRt∫θ2θ1AIVirdrdθ。（54）

式中：Ac為線圈邊的截面積;θ1和θ2為線圈邊的起止角度。

電機轉速為300 r/min時的空載和負載三相磁鏈波形如圖6所示，解析法和有限元法的計算結果非常吻合，空載磁鏈幅值為0.04 Wb，負載磁鏈幅值為0.069 Wb。

電機反電勢和磁鏈的關系為

E=-dΦdt。（55）

電機空載和負載三相反電勢波形如圖7所示。解析法和有限元法的計算結果非常吻合，空載時的反電勢幅值為20 V，負載時的反電勢幅值為34.5 V。

采用麥克斯韋應力張量法，轉矩計算公式為

T=Lefr2μ0∫2π0BIrBIθdθ。（56）

式中：r為轉子外徑Rr和永磁體內徑Rm的平均值;BIr和BIθ分別為氣隙磁密的徑向和切向分量。

圖8為電機的齒槽轉矩和電磁轉矩計算結果，子域法和有限元法的仿真結果非常接近。電機電磁轉矩的平均值為9.55 N·m，解析法的結果略大于有限元法的結果。齒槽轉矩和電磁轉矩的波形對比說明齒槽轉矩是轉矩脈動的主要來源。

通過改變電機定轉子槽口寬度，計算了齒槽轉矩幅值和電磁轉矩平均值，如圖9所示。定子槽口寬和轉子槽寬對齒槽轉矩和電磁轉矩均有較大的影響。當定子槽口寬度為8°，轉子槽寬度為14.625°時，電機的負載電磁轉矩為11.065 N·m，相比原尺寸的9.55 N·m提高了15.9%，此時電機齒槽轉矩為0.208 N·m，相比原尺寸的1.35 N·m降低了84.6%，證明通過改變VHM轉子槽寬和定子槽口寬，能夠在不減小平均轉矩的前提下，削弱電磁齒槽轉矩。

5樣機試驗

樣機定轉子結構如圖10所示，永磁體和繞組排布方式如圖1所示。

樣機試驗中，樣機由一臺原動機拖動，轉速為300 r/min。樣機的三相反電勢如圖11所示，解析法、有限元法的計算結果和樣機試驗的結果非常吻合，反電勢幅值為15 V。

通過改變原動機轉速，得到VHM在不同轉速下的反電勢幅值，結果如圖12所示，解析法、有限元法和樣機試驗的結果非常吻合，電機反電勢幅值與電機轉速成正比。

為了更好地觀察電機氣隙中的磁場分布，在樣機的定子槽口安放了導線和單匝線圈，觀察額定轉速下導線和單匝線圈產生的反電勢。導線共6根，分別安放在6個定子槽口中，按轉子轉向的位置順序，定義為導線1～導線6;單匝線圈共3組，節距分別為1、2和3個定子齒距，定義為線圈1～線圈3。

樣機導線1、2、3反電勢的解析法、有限元法和樣機試驗結果分別如圖13所示。在樣機中，調制后的磁場基波極對數為2，相鄰槽口導線的反電勢相位差應為120°，所以導線1、2、3的反電勢相位分別為0°、-120°、-240°。

樣機線圈1、2、3反電勢的解析法、有限元法和樣機試驗結果如圖14所示。

線圈1、2和3的第1節距分別為1、2和3，其節距因數分別為0.866、0.866和0。繞組反電勢與節距因數成正比，所以線圈1和線圈2的反電勢幅值相同，線圈3反電勢為0。

作為對比，對轉子17槽的VHM進行分析，結果如圖15所示。當轉子槽數為17時，調制后的磁場基波極對數p為1，電機極距為3，線圈1、2、3的節距因數分別為0.5、0.866和1。根據仿真結果，線圈1、2、3的反電勢幅值分別為206.8 mV、369.1 mV和430.8 mV，其比例0.48∶0.857∶1，與繞組節距因數比例非常吻合。

6結論

本文利用子域法建立了游標混合電機的解析模型，通過磁場偏微分方程和邊界條件求解各個子域的矢量磁位方程，在此基礎上進行電機的磁密、磁鏈、反電動勢和轉矩的計算，并與有限元仿真和樣機試驗結果進行了對比，結果表明解析法能夠快速建立電機結構尺寸和性能之間的關系，特別適用于游標混合電機的初設設計和優化。

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