數學基本不等式問題求解策略

河南省新密市第二高級中學 王紅娟

不等式是高中數學的重要內容之一，而運用基本不等式求最值以及利用均值不等式證明是本章的重點，也是難點，同時又是高考考查的熱點。運用基本不等式有很大的靈活性及較高的解題技巧，本文旨在幫助同學們掌握這些技巧，從而輕松解決基本不等式問題。

一、基本不等式的基礎形式

1.a2+b2≥2ab，其中a，b∈R，當且僅當a=b時等號成立。

3.常用不等式：，其中a，b∈(0，+∞)，當且僅當a=b時等號成立。

二、應用

(一)基本不等式與最值

(1)積定，和最小：若ab是定值，那么當且僅當a=b時，(a+b)min=，其中a，b∈(0，+∞)。

(2)和定，積最大：若a+b是定值，那么當且僅當a=b時，(ab)max=其中a，b∈(0，+∞)。

利用基本不等式求最值的問題在高考中經常出現，是高考的熱點之一，下面將通過一些例題對高考中利用基本不等式解題的基本特征和基本類型進行分類解析。

1.應用基本不等式解題，一定要注意應用的前提：一正、二定、三相等。“一正”是指均為正數；“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值；“三相等”是指滿足等號成立的條件。

2.在利用基本不等式求最值時，要根據式子的特征靈活變形，配湊出積或和為常數的形式，然后再利用基本不等式解題。

3.條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據條件建立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數“1”代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值。

解題技巧1：湊項

例1已知x＞-2，則的最小值為____。

解析：由題意可知x+2＞0，(x+2)×，明顯積為定值。根據和定積最大法則，可得當且僅當時取等號，此時可得

變式：已知求函數y=4x-2+的最大值。

解析：因為4x-5＜0，所以首先要“調整”符號。又因為不是常數，所以對4x-2要進行拆、湊項。

故當x=1時，ymax=1。

評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的系數，使其積為定值。

例2若實數a，b滿足2a+2b=1，則a+b的最大值是____。

變式：函數y=ax-1(a＞0，a≠1)的圖像恒過定點A，若點A在直線mx+ny=1上，則mn的最大值為____。

解析：由題意可知函數圖像恒過定點A(1，1)，將點A(1，1)代入直線方程mx+ny=1可得m+n=1。明顯和為定值，根據和定積最大法則，可得當且僅當時取等號。

故mn的最大值為

例3若對任意恒成立，則a的取值范圍是_____。

解析：觀察題中的不等式，可以考慮采用常數分離的方法。

解法 1：將化簡可得觀察分母，很明顯可以得到積為定值的形式，根據積定和最小的法則，可得當且僅當時取等號。故可得分式的分母

解法 2：將化簡可得，這是一個對勾函數，故f(x)而分母f(x)+3≥5，代入分式函數取倒數可得0＜

解題技巧2：湊系數

例4當0＜x＜4時，求y=x(8-2x)的最大值。

解析：由0＜x＜4 知，8-2x＞0。利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x+(8-2x)=8 為定值，故只需將y=x(8-2x)湊上一個系數即可。

故x=2時，y=x(8-2x)的最大值為8。

評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數后可得到和為定值的形式，從而可利用基本不等式求最大值(當然，此題也可直接利用二次函數求最值)。

變式：設，求函數y=4x(3-2x)的最大值。

(二)已知條件求最值

例8求x+y的最小值。

解析：要求x+y的最小值，應構建某個積為定值，這需要對條件進行必要的變形，下面給出三種解法，請仔細體會。

解法1：利用“1”的代換。

解法3：由，得y+9x=xy。

故(x-1)(y-9)=9。

因此，x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10，當且僅當x-1=y-9時取得等號。

故當x=4，y=12時，x+y取得最小值16。

評注：本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對式子進行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經常需要使用的方法，同學們要學會觀察，學會變形。另外解法2，通過消元，化二元問題為一元問題，要注意根據被代換的變量的范圍對另外一個變量的范圍的影響。

變式：已知正數a，b，x，y滿足a+b=10，=1，x+y的最小值為18，求a，b的值。

解析：本題屬于“1”的代換問題。

因為x，y＞0，a，b＞0，所以x+y≥10+

結合a+b=10，解得

例9若實數滿足a+b=2，則3a+3b的最小值是____。

解析：3a和3b都是正數，故3a+3b≥，當且僅當3a=3b時等號成立。

由a+b=2及3a=3b，得a=b=1，即當a=b=1時，3a+3b的最小值是6。

變式：若log4x+log4y=2，求的最小值，并求x，y的值。

解答略。

例10已知x，y為正實數，3x+2y=10，求函數的最值。

解法1：若利用算術平均與平方平均之間的不等關系，解答很簡單。

解法2：條件與結論均為和的形式，設法直接用基本不等式，應通過平方化函數式為積的形式，再向“和為定值”的條件靠攏。

評注：本題將解析式兩邊平方構造出“和為定值”，為利用基本不等式創造了條件。

總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正、二定、三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用基本不等式。

例11已知a，b為正實數，2b+ab+a=30，求函數的最小值。

解析：這是一道二元函數的最值問題，通常有兩個途徑。一是通過消元，轉化為一元函數問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，故不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進行。

解法2：由已知得30-ab=a+2b。因為，所以

變式：已知a＞0，b＞0，ab-(a+b)=1，求a+b的最小值。

解答略。

(三)不等式與其他問題結合

1.不等式與恒成立。

例12已知x＞0，y＞0且求使不等式x+y≥m恒成立時實數m的取值范圍。

解得k≥16，故m∈(-∞，16]。

2.不等式與向量。

例13已知b＞0)，且A，B，C三點在同一條直線上，則的最小值為_____。

解析：由三點共線可得a+b=1，觀察形式采用“1”的代換，故等式右側積為定值，可利用積定和最小法則得，當且僅當時取等號。

3.不等式與解析幾何。

例14若直線ax-by+2=0(a＞0，b＞0)被圓x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦長為4，則的最小值為_____。

解析：將圓化為標準方程可得(x+1)2+(y-2)2=4，根據弦長為4 可得直線經過圓心。將圓心(-1，2)代入直線方程可得a+2b=2。觀察求解形式可得采用“1”的代換方法，即化簡可得，很明顯積為定值，根據積定和最小法則，可得當且僅當時取等號，故

4.不等式與解三角形。

例15△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2+c2-a2-bc=0。

(1)求角A的大小；

解析：(1)由題意與余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc，解得cosA=

(2)由余弦定理可得a2=b2+c2-bc=3，故bc+3=b2+c2。由基本不等式≥ab可得bc+3=b2+c2≥2bc?bc≤3，當且僅當時取“=”號。

(3)由余弦定理可得a2=b2+c2-bc=3，故bc=b2+c2-3，b2+c2+2bc-3=3bc?，當且僅當時取“=”號。故三角形的周長C△ABC=a+b+c≤