全國名校不等式測試題（A 卷）

河南省鄭州七中 陳紅周

編者的話：強化對核心考點的演練、注重對經典題型的歸納，是學好數學的秘訣，基于此，本刊編輯部特開設此欄目，希望同學們能認真練習。

一、選擇題

20.某加工廠采購的原料的用途包括：由甲車間加工出A產品，由乙車間加工出B產品。甲車間加工一箱原料需耗費工時10 小時，可加工出7千克A產品，每千克A產品獲利40元。乙車間加工一箱原料需耗費工時6小時，可加工出4千克B產品，每千克B產品獲利50元。甲、乙兩車間每天至多完成70箱原料的加工，每天甲、乙車間耗費工時總和不得超過480小時，甲、乙兩車間每天獲利最大的生產計劃為( )。

A.甲車間加工原料10 箱，乙車間加工原料60箱

B.甲車間加工原料15箱，乙車間加工原料55箱

C.甲車間加工原料18箱，乙車間加工原料50箱

D.甲車間加工原料40箱，乙車間加工原料30箱

22.規定符號“☉”表示一種運算，定義：(a，b均為正實數)。若1☉k＜3，則k的取值范圍為( )。

A.1＜k＜4 B.0＜k＜1

C.-1＜k＜0 D.0＜k＜2

23.若a，b，c為實數，則下列命題正確的是( )。

A.若a＞b，則ac2＞bc2

B.若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2

C.若a＜b＜0，則

D.若a＜b＜0，則

24.在平面直角坐標系中，若不等式組(a為常數)所表示的平面區域的面積等于2，則a的值為( )。

A.-5 B.1 C.2 D.3

26.若關于x的不等式x2+ax-2＞0在區間[1，5]上有解，則實數a的取值范圍為( )。

27.一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集為，則ab的值為( )。

A.-6 B.6 C.-5 D.5

28.設m，n∈R，給出下列結論：①m＜n＜0?m2＜n2；②ma2＜na2?m＜n；③其中正確的結論有( )。

A.①④ B.②④

C.②③ D.③④

29.若M=x2+y2+1，N=2(x+y-1)，則M與N的大小關系為( )。

A.M＞NB.M＜N

C.M=ND.不能確定

30.若集合A={x|ax2-ax+1＜0}=?，則實數a的取值范圍是( )。

A.0＜a＜4 B.0≤a＜4

C.0＜a≤4 D.0≤a≤4

34.已知二次函數f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z)，且函數f(x)在(-2，-1)上恰有一個零點，則不等式f(x)＞1 的解集為( )。

A.(-∞，-1)∪(0，+∞)

B.(-∞，0)∪(1，+∞)

C.(-1，0)

D.(0，1)

35.設實數x，y滿足不等式組若x，y為整數，則3x+4y的最小值是( )。

A.14 B.16 C.17 D.19

36.小王從甲地到乙地的時速為a，從乙地到甲地的時速為b，且a＜b，其全程的平均時速為v，則( )。

37.實數α，β是方程x2-2mx+m+6=0的兩根，則(α-1)2+(β-1)2的最小值為( )。

38.設a＞0，b＞1，若a+b=2，則的最小值為( )。

39.設x，y滿足約束條件且z=x+ay的最小值為7，則a的值為( )。

A.-5 B.3

C.-5或3 D.5或-3

二、填空題

40.已知集合A={x|x2-16＜0}，B={x|x2-4x+3＞0}，則A∩B=____。

41.某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6 萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元。要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是____。

42.設實數x，y滿足的最大值是_____。

43.已知直線過點(1，2)，則2a+b的最小值為____。

45.若x，y滿足約束條件則z=x+3y的最小值是____，最大值是_____。

46.對于實數a，b，c，有下列命題：①若a＞b，則ac＜bc；②若ac2＞bc2，則a＞b；③若a＜b＜0，則a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，則⑤若，則a＞0，b＜0。

其中是真命題的是_____(寫出所有真命題的序號)。

47.若正數a，b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是_____。

48.若正數a，b滿足ab≥a+b+3。則a+b的取值范圍是____。

49.對任意實數x，不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4＜0恒成立，則實數a的取值范圍是_____。

50.若不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0，1]恒成立，則a的最小值為____。

51.若x，y滿足不等式則的取值范圍是_____。

52.已知x∈R+，不等式，x+，…，可推廣為，則a的值為_____。

53.不等式的解集為____。

54.設a+b=2，b＞0，則的最小值為_____。

55.若關于x的不等式(2x-1)2＜ax2的解集中整數恰好有3 個，則實數a的取值范圍是_____。

56.已知a，b∈R，且a-3b+6=0，則的最小值為____。

57.已知實數x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是_____。

58.若關于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1，2]上恒成立，則實數a的取值范圍為____。

59.已知點P的坐標(x，y)滿足：若A(2，0)，則的最大值是_____。

三、解答題

60.記函數的定義域為A，g(x)=lg［(x-a-1)(2a-x)］(a＜1)的定義域為B。

(1)求A；

(2)若B?A，求實數a的取值范圍。

圖1

61.如圖1 所示，某村計劃建造一個室內面積為800 m2的矩形蔬菜溫室。在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留1 m 寬的通道，沿前側內墻保留3 m 寬的空地。求當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積是多少。

62.解關于x的不等式ax2-(a+1)x+1＜0。

63.已知函數f(x)=ax2+a2x+2ba3，當x∈(-∞，-2)∪(6，+∞)時，f(x)＜0；當x∈(-2，6)時，f(x)＞0。

(1)求a，b的值；

64.某廠使用兩種零件A、B裝配兩種產品P、Q，該廠的生產能力是月產P產品最多2 500件，月產Q產品最多1 200件；而且組裝一件P產品要4個A、2個B，組裝一件Q產品要6個A、8個B；該廠在某個月能用的A零件最多14 000 個，B零件最多12 000個。已知P產品每件利潤1 000 元，Q產品每件2 000 元，欲使月利潤最大，需要組裝P、Q產品各多少件?最大利潤多少萬元?

65.圍建一個面積為360 m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為2 m 的進出口。已知舊墻的維修費用為45 元/m，新墻的造價為180元/m。設利用的舊墻長度為x(單位：m)，修建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位：元)。

(1)將y表示為x的函數；

(2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最少，并求出最少總費用。

66.設x，y為正實數，a=

(1)試比較a，c的大小；

(2)若p=1，試證明：以a，b，c為三邊長一定能構成三角形；

(3)若對任意的正實數x，y，不等式a+b＞c恒成立，試求p的取值范圍。

67.函數f(x)=x2+ax+3，當x∈[-2，2]時f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍。

68.如圖2，公園有一塊邊長為2 的等邊三角形ABC的邊角地，現修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，點D在AB上，點E在AC上。

圖2

(1)設AD=x(x≥0)，ED=y，求y關于x的函數關系式。

(2)如果DE是灌溉水管，為節約成本，希望它最短，則DE的最小值應為多少?如果DE是參觀線路，則希望它最長，則DE的最大值應為多少?

69.設f(x)=3ax2+2bx+c，已知a+b+c=0，且f(0)＞0，f(1)＞0。

求證：(1)方程f(x)=0有實根。

(2)a＞0，且

(3)方程f(x)=0 在(0，1)內有兩個實根。