空間幾何體外接球的解題研究

四川

空間幾何體外接球問題往往是高中的重點和難點，各種模擬考試甚至高考也是非常熱衷于考這種類型的題目，常常作為選填題的壓軸題，比如2019年全國卷Ⅰ理科就在選擇題第12題出現了與球相關的題，之前的全國卷中也多次出現和球相關的題，根據難易程度，一般都在選擇題10，11，12題的位置，這就意味著，想要取得好成績，必須攻克這種類型的題目.但是往往這種題目變換多樣，大部分學生經常摸不著頭腦，暈頭轉向，甚至對這種題目產生畏懼心理，最終選擇放棄，導致對數學失去興趣，失去信心.根據教學經驗，筆者認為，這種題目是有一定規律可循的，因此，對外接球問題的常見題型和考點做一個總結是非常有必要的，如果學生已經了解出題人大概會從哪些方面去考查外接球問題，那么學生就能在平時有意識地加強練習，以便能夠熟練掌握和應用，再看到這類題，就不會擔心沒有思路，也不會擔心算不出來了.對于高中生而言，事先知道外接球問題的考點，打有準備之仗，非常必要.

一、外接球問題常見題型

題型一 找出球心位置

找出球心位置這種題型是考查得最多的，然而這種題型不具有巧妙解法，只能通過球心位置的確定，利用勾股定理找到一些關系式，列方程求解.

例1已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此三棱錐的體積為

( )

解：如圖，設O1為O在平面ABC內的投影，設三棱錐S-ABC的高為h.

∵OA=OB=OC，∴O1為△ABC的外心，∴O1C為△ABC的外接圓半徑，

例2已知三棱錐D-ABC的四個頂點都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，DB⊥平面ABC，DB=12，則球O的半徑為________.

解：如圖，設球O的半徑為R，

∵O為球心，∴O到四點的距離相等，∵AB⊥AC，

∴△ABC為直角三角形，

解：由題意，如圖，兩圓錐的高所在直線必過球心O，且AB⊥O1C,

設體積較小的圓錐的高為h，則體積較大的圓錐的高為3h，即|AB|=4h.

例4一個六棱柱的底面是正六邊形，側棱垂直于底面，所有棱的長都為1，頂點都在同一個球面上，則該球的體積為

( )

解：由題意，如圖，六棱柱的底面是正六邊形，其外接圓半徑r=1，六棱柱的高h=1，

以上四個例題都可以找到球心的大致位置，利用球心的性質，把球心投影到底面，其投影都是底面多邊形的外心或是底面圓的圓心，然后用勾股定理列出關系式進行求解，從而得到答案.

題型二 已知線面垂直，構造矩形模型

例5已知三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD,△BCD是邊長為2的正三角形，AB=2，則三棱錐的外接球體積為________.

解：如圖，設其外接球球心為O，其在底面BCD的投影為O1，取AB中點E,連接O1B,OE，

∵OD=OB=OC，∴O1為△BCD的外心，

∵OO1⊥底面BCD,AB⊥底面BCD，∴OO1∥AB,

∴O，O1，A，B四點共面，

∵|OA|=|OB|,E為AB中點，∴OE⊥AB，∴∠OEB=∠OO1B=∠O1BE=90°，

( )

解：如圖，設其外接球球心為O，其在底面ABC的投影為O1，取PA中點D,連接O1A,OD,

由例5，易證O1為△ABC的外心，四邊形OO1AD為矩形(這里不再贅述)，

以上兩個例題，有個共同特點，就是空間幾何體都具有線面垂直的特點，這樣，我們可以大致假設一個球心O的位置，并將其投影到底面于O1，從而構造一個矩形，得到空間幾何體的高h與|OO1|的關系是h=2|OO1|，再利用勾股定理得到關系式，進而求解出答案.

題型三 三個兩兩垂直的墻角模型，補形成長方體或正方體

例7側棱長為a的正三棱錐P-ABC的三個側面都是直角三角形，且四個頂點都在同一個球的球面上，則該球的表面積為

( )

例8三棱錐A-BCD中，AB,AC,AD兩兩垂直，其外接球半徑為2，設三棱錐A-BCD的側面積為S,則S的最大值為

( )

A.4 B.6

C.8 D.16

∵a2+b2≥2ab，當且僅當a=b時取等；

b2+c2≥2bc，當且僅當b=c時取等；

a2+c2≥2ac，當且僅當a=c時取等.

∴a2+b2+b2+c2+a2+c2≥2ab+2bc+2ac，當且僅當a=b=c時取等，

以上兩個例題，有一個共同特點，就是空間幾何體都具有三個兩兩垂直的墻角模型，那么可以理解為長方體或者正方體的一個角，通過補形法，可以將幾何體補成長方體或正方體，那么原幾何體的外接球，其實也是所補成的長方體或正方體的外接球，那么球的直徑就是長方體或正方體的體對角線，就非常容易求解了.

二、外接球問題中的偏難題的解決方法

此外，還有一些題目，看似讓人摸不著頭腦，因為這些題目的特征沒有以上題目中那么鮮明，但實際上，只要大家認真分析題目，就會發現他們就是以上三種類型之一.當然，這樣的題，肯定比前面的例題難度大.

例9設正三棱錐A-BCD的所有頂點都在球O的球面上，BC=1,E,F分別是AB,BC的中點,EF⊥DE,則球O的半徑R為

( )

解：如圖，取BD中點為M,連接AM,CM,

∵A-BCD是正三棱錐,∴|AB|=|AD|,|BC|=|CD|,∴AM⊥BD,CM⊥BD，

∵AM∩CM=M,AM?平面ACM,CM?平面ACM,∴BD⊥平面ACM，

∵AC?平面ACM，∴BD⊥AC，

∵E,F分別是AB,BC的中點，∴EF∥AC，BD⊥EF，

∵EF⊥DE,BD∩DE=D,BD?平面ABD,DE?平面ABD，∴EF⊥平面ABD，

∵EF∥AC，∴AC⊥平面ABD，

∵AB?平面ABD,AD?平面ABD，

∴AC⊥AB,AC⊥AD，

∵A-BCD是正三棱錐,∴△ABC≌△ABD，

∴AB⊥AD，

故選B.

( )

解：如圖，過C點作CO1⊥平面ABDE,過O1作O1F⊥AB于F,則由三垂線定理可知,CF⊥AB,

結合等邊三角形△ABC與正方形ABDE可知,此四棱錐為正四棱錐,此時就是題型一的情況,可以找到球心的大致位置,利用勾股定理解決.

例11已知正三棱錐S-ABC內接于半徑為6的球,過側棱SA及球心O的平面截三棱錐及球面所得截面如圖,則此三棱錐的側面積為________.

解：如圖，過S作SO1⊥平面ABC于O1,∵S-ABC是正三棱錐,∴SO1必過點O.

由截面圖可分析出點O和點O1重合,∴O為△ABC的重心，

根據解題過程可以看出,此題屬于題型一的情況,確定了球心位置,再利用勾股定理進行求解.

例12如圖,在球的內接三棱錐A-BCD中,AB=8,CD=4,平面ACD⊥平面BCD，且△ACD與△BCD是以CD為底邊的全等的等腰三角形,則三棱錐A-BCD的高與其外接球的直徑的比值為

( )

解：如圖，取AB,CD的中點分別為E,F,連接EF,AF,BF.

∵球心O到C,D距離相等，∴球心O在線段CD的垂直平分線上，

易得平面ABF⊥平面BCD，∴球心O在平面ABF內，

由題意得|BF|=|AF|,且在△ABF中,EF為AB邊上的中垂線,設球的半徑為R，

∴球心O在線段EF上,連接OA,OC,在Rt△AOE中，有R2=|AE|2+|OE|2=16+|OE|2①,

根據解題過程,可以看出此題也屬于題型一的情況,找到球心位置,再利用勾股定理進行求解.

三、空間幾何體外接球問題的解題思路

通過以上題型的總結和分析，建議在解決外接球問題時，先看看空間幾何體是否有線面垂直條件，如果有，則聯想題型二——做矩形模型的思路，如果沒有，看看空間幾何體是否有三個兩兩垂直的墻角模型，如果有，則聯想題型三——補形法的思路，如果沒有，則只能老老實實找到球心的大致位置，再利用勾股定理進行求解.另外強調一點，如果遇到的題目中，沒有線面垂直，也沒有三個兩兩垂直，也找不到球心大致的位置，那么此時，這個題的難度肯定較大，需要靜心分析題目的已知條件，挖掘出隱藏在題目中的信息，等條件挖掘出來后，此時一定是上面三種題型中的一種，從而進行求解.