基本知識為載體、能力選拔為目的、學科素養(yǎng)為核心
——2019年全國卷Ⅰ理科第21題折射出的高考命題規(guī)律

安徽

一、高考試題呈現(xiàn)

【試題呈現(xiàn)1】(2019·全國卷Ⅰ理·21)為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假設α=0.5，β=0.8.

(ⅰ)證明：{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為等比數(shù)列；

(ⅱ)求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

【試題分析】本題是2019年全國卷Ⅰ最具代表性的題目之一.命題角度新，命題立意廣，無論是知識立意，還是能力立意都體現(xiàn)了命題者的別具匠心.通過一道題把數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算以及數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)融為一體.這種把能力立意提升到學科素養(yǎng)立意，目的就是以數(shù)學知識為載體，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和數(shù)學精神，同時也滿足了高校對人才選拔的需求.

【解法剖析】(Ⅰ)要解決的問題就是概率統(tǒng)計的常規(guī)性問題——分布列的求法，通過對題意的分析不難得出隨機變量X的可能取值為-1,0,1，不同的是，通常我們接觸的概率值是具體的數(shù)值，而本題需要用字母來表示，在無形中增加了難度，對考生審題能力和處理數(shù)據(jù)能力的要求都提高了.(Ⅱ)第二問把概率問題與數(shù)列遞推公式、等比數(shù)列以及方程思想和迭代思想結合在一起.

【解析】(Ⅰ)X的所有可能取值為-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β，P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β)，P(X=1)=α(1-β)，所以X的分布列為

X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)

(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1，故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1)，即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因為p1-p0=p1≠0，

所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)為公比為4，首項為p1的等比數(shù)列.

【解題反思】從解答過程可以知道，本題第一問的切入點并不高，只是一個基本的離散型隨機變量的概率分布列問題，整個解題過程中的計算難度也并不復雜，本題的難度主要體現(xiàn)在審題困難、抽象困難、建模困難和數(shù)據(jù)處理困難上，這些困難恰恰是本題對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查，也恰恰是高考對學生能力的考查.

二、命題規(guī)律探尋

縱觀歷年的高考數(shù)學試題，數(shù)學試題一直穩(wěn)中求進，立足考綱、考查能力和選拔人才.把概率統(tǒng)計問題作為高考壓軸題，是在繼續(xù)保持以往高考數(shù)學試題的特點之外，讓高考數(shù)學的應用性更強，實用性更強，試題的背景和來源更加貼近生活.這也是新時代對數(shù)學教學、數(shù)學核心素養(yǎng)和數(shù)學考試的新要求.高考的這種變化不是偶然，而是必然，也為廣大一線教師指明，在今后的高考的壓軸題會打破一成不變的命題方式，命題的立意和廣度上都需要更加貼切數(shù)學應用和數(shù)學實用的思想，能夠全面地考查數(shù)學核心素養(yǎng)，同時能夠體現(xiàn)知識性、實用性、學科素養(yǎng)以及數(shù)學能力.

早在2014年江西省高考理科數(shù)學第21題就把概率統(tǒng)計、排列組合以及數(shù)學歸納法結合在一起來考查，那年這一題對考生的殺傷力也是很大的.

【試題呈現(xiàn)2】(2014·江西卷理·21)隨機將1,2,…,2n(n∈N*,n≥2)這2n個連續(xù)正整數(shù)分成A,B兩組，每組n個數(shù)，A組最小數(shù)為a1，最大數(shù)為a2；B組最小數(shù)為b1，最大數(shù)為b2，記ξ=a2-a1,η=b2-b1.

(Ⅰ)當n=3時，求ξ的分布列和數(shù)學期望；

(Ⅱ)令C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”，求事件C發(fā)生的概率P(C)；

【解析】略.

【解題反思】本題的特點與2019年全國卷Ⅰ理科第21題的命題立意高度相似，試題從邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析等方面全面考查學生的核心素養(yǎng)，尤其是第(3)問的處理，要冷靜不怕麻煩，找到數(shù)據(jù)的生成過程，問題必然迎刃而解.

三、高考折射命題趨勢

通過對高考試題的分析，我們不難得出，概率統(tǒng)計問題在高考中的地位舉足輕重，尤其是在全面考查學生的核心素養(yǎng)以及能力方面更是起到空前的作用.這也必將是今后高考壓軸題、各地區(qū)模擬考試和學生學業(yè)水平綜合素質測試的命題方向.

2019年4月，筆者參與蚌埠市第三次質量檢測命題，在試題討論環(huán)節(jié)，命題組長陳耀忠老師就提出2019年全國卷Ⅰ理科數(shù)學壓軸題應該是概率統(tǒng)計問題，但遺憾的是，由于第三次質量檢測是高考前最近的一次大型?？迹瑸榱俗非笤囶}與往年高考題型的“穩(wěn)定”，又能體現(xiàn)概率統(tǒng)計問題在高考中的地位越來越重要，我們把概率統(tǒng)計題從通常的18或19題的位置，大膽地移到了20題的位置，其目的就是要考生和老師知道概率統(tǒng)計問題在高考中的地位.

【試題呈現(xiàn)3】(蚌埠市2019屆高三年級第三次教學質量檢測)某地種植常規(guī)稻α和雜交稻β，常規(guī)稻α的畝產穩(wěn)定為485公斤，今年單價為3.70元/公斤，估計明年單價不變的可能性為10%，變?yōu)?.90元/公斤的可能性為70%，變?yōu)?.00元/公斤的可能性為20%.統(tǒng)計雜交稻β的畝產數(shù)據(jù)，得到畝產的頻率分布直方圖如圖①.統(tǒng)計近10年雜交稻β的單價(單位：元/公斤)與種植畝數(shù)(單位：萬畝)的關系，得到的10組數(shù)據(jù)記為(xi,yi)(i=1,2,…,10)，并得到散點圖如圖②.

圖①

圖②

(Ⅰ)根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計明年常規(guī)稻α的單價平均值；

(Ⅱ)在頻率分布直方圖中，各組的取值按中間值來計算，求雜交稻β的畝產平均值；以頻率作為概率，預計將來三年中至少有二年，雜交稻β的畝產超過795公斤的概率；

(Ⅲ)(ⅰ)判斷雜交稻β的單價y(單位：元/公斤)與種植畝數(shù)x(單位：萬畝)是否線性相關？若相關，試根據(jù)以下的參考數(shù)據(jù)求出y關于x的線性回歸方程；

(ⅱ)調查得知明年此地雜交稻β的種植畝數(shù)預計為2萬畝.若在常規(guī)稻α和雜交稻β中選擇，明年種植哪種水稻收入更高？

【試題分析】本題從考查的知識性、能力性和核心素養(yǎng)方面都與高考壓軸題較為接近，不同的是，本題側重考查的是線性回歸，并把決策性問題和不等式知識相結合，這是本題的亮點，唯一遺憾的就是本題未能與數(shù)列知識相交匯.

【解析】(Ⅰ)設明年常規(guī)稻α的單價為ξ，則ξ的分布列為

ξ3.703.904.00P0.10.70.2

E(ξ)=3.7×0.1+3.9×0.7+4×0.2=3.9，

估計明年常規(guī)稻α的單價平均值為3.9元/公斤.

(Ⅱ)雜交稻β的畝產平均值為：

[(750+810+820)×0.005+(760+800)×0.01+(770+790)×0.02+780×0.025]×10=78.2×10=782.

依題意知雜交稻β的畝產超過795公斤的概率為P=0.1+0.05×2=0.2，

(Ⅲ)(ⅰ)因為散點圖中各點大致分布在一條直線附近，

估計明年雜交稻β的每畝平均收入為782×2.50=1 955元/畝，

估計明年常規(guī)稻α的每畝平均收入為485×E(ξ)=485×3.9=1 891.5元/畝，

因為1 955>1 891.5，所以明年選擇種植雜交稻β收入更高.

四、命題方向與時俱進

每年的高考試題都具有劃時代的意義和風向標的作用，同時也是教學理念和時代發(fā)展緊密相連的體現(xiàn).2019年高考全國卷Ⅰ理科用概率統(tǒng)計作為解答題的壓軸題，這種導向同時也滲透即將實行的高考改革的理念和為新教材的投入使用奠定了一定的基礎.在即將投入使用的北師大版新教材中關于統(tǒng)計部分在第六章第5節(jié)新增了分層隨機抽樣的均值和方差，這一塊知識在以往的高中教材中沒有涉及，但是這一知識已在地市級模考中出現(xiàn).

【試題呈現(xiàn)4】(山西省2019年高三考前適應性測試)在一次高三年級統(tǒng)一考試中，數(shù)學試卷有一道滿分10分的選做題，學生可以從A，B兩道題目中任選一題作答.某校有900名高三學生參加了本次考試，為了了解該校學生解答該選做題的得分情況，計劃從900名考生的選做題成績中隨機抽取一個容量為10的樣本，為此將900名考生選做題的成績按照隨機順序依次編號為001—900.

(Ⅰ)若采用隨機數(shù)表法抽樣，并按照以下隨機數(shù)表，以方框內的數(shù)字5為起點，從左向右依次讀取數(shù)據(jù)，每次讀取三位隨機數(shù)，一行讀數(shù)用完之后接下一行左端.寫出樣本編號的中位數(shù)；

05 26 93 70 60 22 35 85 15 13 92 03 51 59 77

59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23

58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54

73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48

26 99 61 65 53 58 37 78 80 70 42 10 50 67 42

32 17 55 85 74 94 44 67 16 94 14 65 52 68 75

87 59 36 22 41 26 78 63 06 55 13 08 27 01 50

15 29 39 39 43

(Ⅱ)若采用系統(tǒng)抽樣法抽樣，且樣本中最小編號為008，求樣本中所有編號之和；

(Ⅲ)若采用分層抽樣，按照學生選擇A題目或B題目，將成績分為兩層，且樣本中A題目的成績有8個，平均數(shù)為7，方差為4；樣本中B題目的成績有2個，平均數(shù)為8，方差為1.用樣本估計900名考生選做題得分的平均數(shù)與方差.

【試題分析】本題前兩問都是?？紗栴}，然而第(Ⅲ)問的這種分層隨機抽樣的均值和方差的求解讓考生摸不著頭腦，這類問題依然是以均值和方差的求法作為載體，只是考查的角度不同.(Ⅰ)由題取出十個編號，先將編號從小到大排列再求中位數(shù)；(Ⅱ)按照系統(tǒng)抽樣法抽出的編號可組成以8為首項，以90為公差的等差數(shù)列，求該數(shù)列的前10項和；(Ⅲ)分別求出樣本的平均數(shù)和方差，900名考生選做題得分的平均數(shù)與方差和樣本的平均數(shù)與方差相等.

(Ⅲ)記樣本中8個A題目成績分別為x1，x2，…，x8，2個B題目成績分別為y1，y2，

故估計該校900名考生該選做題得分的平均數(shù)為7.2，方差為3.56.

大數(shù)據(jù)推動著社會高速發(fā)展，這也體現(xiàn)了統(tǒng)計學的研究價值越來越大，概率統(tǒng)計問題無疑是最貼近生活和社會發(fā)展的.高考的命題以基本知識為載體、以能力選拔為目的、以考查學科素養(yǎng)為核心，同時高考的命題也必將與時俱進，概率與統(tǒng)計知識以及一切貼近生活的數(shù)學知識都必將成為高考命題的重要素材，也是高考命題的風向標.