例談高中數學解題技術

浙江

對于高考數學問題的求解，雖然考生已經掌握一些數學知識、方法，但面對復雜問題時，仍需要數學解題技術的幫助才能解決.經常有一些學生在數學解題中會遇到思維痛點，不是不知道知識本身，也不是不知道具體方法，只是鏈接知識與方法的數學技術沒有掌握，導致思維受阻.因此，高考數學應試除了要具有扎實的數學基礎知識，必備的審題能力與運算能力，還需要有把它們鏈接在一起的“數學解題技術”.

一、什么是高考數學解題技術

1.什么是技術？

技術是人類為了滿足自身的需求和愿望，按照自然規律，在長期利用和改造自然的過程中，積累起來的知識、經驗、技巧和手段，是人類利用自然改造自然的方法、技能和手段的總和.

2.什么是數學技術？

數學的思想和方法與高度發展的計算技術的結合已經形成了技術，而且是一種關鍵性的、可實現的技術，稱為“數學技術”.在這種技術中起核心作用的是數學，數學的內涵物化為計算機的軟件，成為技術的一個重要組成部分，從而可以直接地轉化為生產力.現在，“高科技本質上是一種數學技術”的說法已為愈來愈多的人們所認同.

3.什么是高考數學解題技術？

高考數學解題技術是在數學解題過程中尋找解題方法的一種經驗與智慧，它不僅要有解題方法作為基礎，數學知識作為鋪墊，而且在解決復雜數學問題時，更需要具備符合數學邏輯的智慧來找到數學解題方法.高考數學解題技術把復雜的解題過程分解成一些簡單的基本過程，然后經過聯想、變換、分析、發現、安排和表達等一系列十分重要的基本思維過程，所以數學解題技術也是數學思維技術.

4.高考數學解題技術與技巧的關系

技巧是數學解題技術的一部分，技術就像一個智慧的系統；技巧只是一個系統的一個分支或一些點，而技術更像是一個系統的關聯與鏈接，更加關注知識點與知識點之間的聯系.用集合論的觀點看，技巧集是技術集的子集.

二、高考數學應試有哪些解題技術

高考數學應試有許多數學解題技術，這里介紹其中最常用的一些，通過試題的解析與解讀來解釋，由于涉及數學思維的分解與分析，有些只能從表達形式上解釋.隨著腦科學的深入研究，會更加清楚地認識到數學解題技術的真面目.

1.“1”代換技術

________.

解析：由于給定的目標是一個二次齊次式，

于是有2sin2x-3sinxcosx+5cos2x

解析：設A(am，bm)，B(an，-bn)，

此函數當x∈(1,2)時單調遞增，當x∈(2,+∞)時單調遞減，因此所求取值范圍是(7，9].

解讀：這是一個綜合性很強的問題，在關鍵性一步(*)利用了“1”代換技術，使問題順利求解.

“1”代換技術，就是“無中生有”出“1”，然后利用公式或給定的信息進行變形或運算的技術，“1”代換技術在三角函數變換和代數式變形中起到十分重要的作用，“1”代換技術體現著一種優化意識，簡潔意識，它是一種黏合劑.

2.函數構造技術

解析：設任意x1,x2∈(0,+∞)，x1

由已知條件，F(x1)—F(x2)=x1f(x1)—x2f(x2)>0，所以F(x)在(0，+∞)上單調遞減，

解讀：當挖掘出信息“sinxf′(x)-cosxf(x)”時，從導數求導法則角度去構造函數是一個智慧點，也是解決問題的關鍵.對函數f(x)、f′(x)以及F(x)的性質的研究是基本功，一是單調性研究，二是奇偶性判斷.根據對F(x)性質的研究，畫出F(x)的草圖，再利用“f(x)=F(x)sinx”求不等式f(x)<0的解集.

構造函數要充分通過給定信息的結構特點，構造相關的函數，與函數性質相關聯或與另一函數相配對，或構造新的函數幫助尋找求解思路.函數構造技術在高等數學中也起著非常重要的作用.

3.圖形構造技術

解析：挖掘代數結構中幾何意義，由余弦定理可得

x2+xy+y2=x2+y2-2xycos120°=12

z2+zx+x2=z2+x2-2xzcos120°=22

在△ABC內取一點P，使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,

由原題條件可知，PA=x，PB=y，PC=z是原方程的一組解，

將△APC繞C點順時針旋轉60°，得△A1P1C，所以△PP1C為正三角形，所以A1,P1,P,B共線，則x+y+z=PA+PB+PC=A1B，由∠A1CB=∠P1CA1+60°+∠BCP=∠PCA+60°+∠BCP=60°+30°=90°，△A1BC為直角三角形，

解讀：此解法就是根據給定方程組的代數結構“x2+xy+y2=1”發現“幾何關系”，通過構造幾何圖形來實現突破.

圖形構造技術：能夠在熟悉的數學情境中，借助圖形的性質和變換(平移、對稱、旋轉)發現數學規律；能夠描述簡單圖形的位置關系、度量關系及其特有性質，方程組變量間的結構與余弦定理的結構間的聯系是條件挖掘的著力點；能夠通過圖形直觀認識數學問題，能夠用圖形描述和表達熟悉的數學問題，啟迪解決這些問題的思路，體會數形結合的方法.

4.綜合分解技術

例4.(2018·浙江卷·8)已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側棱長均相等，E是線段AB上的點(不含端點).設SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S-AB-C的平面角為θ3，則

( )

A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1

C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1

解讀：問題核心是理解線線角、線面角、面面角的概念與特點.分析從哪個角入手研究，如何將綜合問題分解比較，是很重要的.

思維鏈分解1：認識四棱錐——正四棱錐，所以頂點S在底面ABCD上的射影是底面正方形的中心；

思維鏈分解2：∠SEO就是直線SE與平面ABCD所成的角θ2，BE是平面ABCD內的一條直線，由線面角的最小角特征，得θ2≤θ1；

思維鏈分解4：過O作AB的平行線，分別交BC，AD于點P，Q，過E作AB的垂線，交PQ于點H，則∠SHE為直角；

思維鏈分解5：根據異面直線所成角定義，θ1=∠SEH，則

又SO≤SH，EN=OM，所以tanθ3≤tanθ1，因此θ3≤θ1，選擇D.

綜合分解技術就是高考數學解題時，將題設信息按照一定的順序逐步分解到一個個基本的單一的概念或方法上.是認清問題的本質，化綜合為簡單，化復雜為單一的思維過程.

三、如何掌握高考數學解題技術

1.關注知識鏈接

在數學學習中不僅要了解數學知識本身的內涵與外延，而且還要關注知識與知識之間的關系與鏈接方式，因為數學解題技術的核心要點就是鏈接，在學習中積累鏈接的智慧點是聰明之舉，教學中教師也要引導或指明學生關注鏈接的要義，使學生掌握.

2.實踐數學技術

任何一門技術都需要多次的實踐才能掌握，所以在介紹數學解題技術的要點后，最重要的是體驗.編制變式題組，讓學生實踐，并糾正錯誤，直到熟練掌握.

3.強化技術意識

數學解題技術的應用有一個前提，就是面對復雜信息時，運用技術的意識要強，善于分析技術的前置條件，明確數學解題技術的操作程序.