一類立體幾何試題的模式化解法分析
——以2019年全國卷Ⅰ試題為例

云南

在歷年高考數學選擇題與填空題中總會設置一道以立體幾何知識為背景的壓軸題，球的切接問題、點到平面的距離和線面角等知識是考查的熱點.垂直關系是命制這一類立體幾何試題的核心要素，同時也是解答該類問題的關鍵點和突破口.如何抓住垂直關系合理構建模型是正確解答的前提，文章以2019年全國卷Ⅰ試題為例談如何用特殊值(位置)法、分析法和補體法等模式化方法解答該類問題.

例1.(2019·全國卷Ⅰ理·12)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為

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試題分析：從知識的角度看，本題考查多面體外接球體積的求法，首先要根據已知條件構建幾何模型，弄清楚多面體的邊角關系，其次找到球心并求出半徑，最后利用球的體積公式進行計算；從思想方法的角度分析，本題重點考查轉化與化歸的數學思想，如何將已知多面體的幾何關系轉化為與球的半徑有關的幾何關系是解題的關鍵；從考查素養的角度分析，重點考查數學抽象、邏輯推理和數學建模等核心素養，以考查空間想象能力為切入點，考查數學運算能力.

方法一、特殊值(位置)法

鑒于該類問題多以選擇題和填空題的形式出現，可以在符合題目要求的前提下，將幾何關系進行合理的特殊化，以簡化計算過程并快速得出答案.

解法評析：采用特殊位置或者特殊值法具有操作簡單而且有利于簡化推理與計算過程的作用，從而快速得出答案，是高效解答選擇題和填空題的有力武器之一，但不是所有的題目都能特殊化，要具體問題具體分析，比如例1假設了特殊位置后，要有意識地檢驗一下是否符合題設條件∠CEF=90°.

方法二、分析法

分析法指的是用常規方法解題，即立足于已知條件，著眼于解題目標，從目標倒推問題的解決過程.如例1要計算外接球的體積，只需要確定外接球的半徑，而要求出外接球的半徑，首先必須確定球心位置，而確定球心位置必須先弄清楚三棱錐的邊角關系，經歷以上的分析轉化過程可知問題的關鍵在于探究三棱錐的邊角關系和幾何特征，按照這個解題思路問題可迎刃而解.

解法評析：思路2與思路1的出發點不同，思路2先探究PA，PB，PC之間的幾何關系(定性)，即先證明PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，再由∠CEF=90°得出三條側棱PA,PB,PC兩兩互相垂直；思路1則是先從邊的長度(定量)的角度出發，但是殊途同歸，效果一樣.

解法評析：思路3沒有直接構造出多面體與外接球的幾何模型，而是先著眼于探究三棱錐的幾何特征，處理方法和思路1相似，根據定量計算得出三條棱兩兩互相垂直的定性關系，借助正方體模型順利解題.

解法評析：思路4與思路3處理方法一樣，只是著眼點不一樣，都是將空間幾何問題合理轉化為平面幾何問題，從而利用余弦定理得出結論.

解法評析：思路5從三棱錐的定量計算出發，利用平行四邊形“對角線的平方和等于四條邊的平方和”這一重要性質得出4CE2=8+PC2，充分體現了轉化與化歸數學思想的實用性，也說明將立體幾何平面化是處理多面體邊角關系的有效途徑.

方法三、補體法

補體法是解決該類問題的高效方法，根據柱體進行適當切割可得錐體這一幾何特征，往往可以給錐體找一個合適的載體即柱體，將棱錐放置于特殊的棱柱中，若錐體的頂點與柱體的頂點重合，那么錐體的外接球即為柱體的外接球，由于直四棱柱外接球的直徑即為體對角線，所以經過以上的轉化過程即可將復雜問題簡單化.

思路1.如下圖所示，可將該正三棱錐放置于底面是菱形且∠CAB=60°的直四棱柱中，當然也可以是底面為正三角形的直三棱柱中，處理思路可參照方法二中的思路1與思路2.

思路2.如下圖所示，可將該正三棱錐放置于正方體中，當然也可以是底面為等腰直角三角形的直三棱柱中，處理思路與方法一的特殊位置法一致.

方法四、向量法

向量是解決立體幾何問題的有力工具，抓住垂直這一關鍵幾何特征并能建立恰當的空間直角坐標系，用好向量坐標運算能夠有效降低題目的抽象性，從定量計算結果論證空間點線面的幾何關系.

思路2.如下圖，同一個幾何體模型中，選擇不同角度的垂直關系可以建立不同的空間直角坐標系，但是運算的方法和過程基本一樣.

1.特殊值(位置)法

2.分析法

3.補體法

例2仍然可以用補體的思想來解答，既可以將其補體為解法1思路1中所示的長方體，也可以將其補為解法1思路2和思路3所示的直棱柱，解法同上.

4.向量法

例2中存在垂直這一特殊的幾何關系，所以還可以通過建立空間直角坐標系求解，但是由于題目本身難度不大，選用向量法會顯得有些小題大做，但是如果單從解題方法的角度來看，向量法也不失為一種好方法，所建的空間直角坐標系可參考下面兩個圖，具體解答過程略.

通過對以上兩個典型試題從特殊值(位置)法、分析法、補體法與向量法等四個常用方法進行分析可以看出，解決該類以垂直關系為關鍵元素所命制的立體幾何壓軸題具有相對穩定的解題模式，而且方法各有所長，需要在平時的學習過程中不斷總結，積極探索，以期能在解決實際問題的過程中以最短時間選擇最優的解題方法實現正確解答.