2019年全國(guó)卷Ⅱ理科第21題的解法探究

陜西

解析幾何的核心內(nèi)容是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題. 首先，恰當(dāng)建系并選取合適的基本量將幾何問(wèn)題代數(shù)化；其次，運(yùn)用代數(shù)方法和技巧解決問(wèn)題. 而代數(shù)方法的關(guān)鍵是“運(yùn)算”，這就涉及一些運(yùn)算的技巧以及如何簡(jiǎn)化運(yùn)算的問(wèn)題. 這里以2019年全國(guó)卷Ⅱ理科第21題為例，探究如何用代數(shù)方法解決幾何證明和最值問(wèn)題的常見(jiàn)解法，希望有益于理解解析幾何的本質(zhì)，同時(shí)可以體會(huì)在解題過(guò)程中，如何適時(shí)實(shí)施簡(jiǎn)化運(yùn)算的方法.

1.試題呈現(xiàn)

(Ⅰ)求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；

(Ⅱ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.

(ⅰ)證明：△PQG是直角三角形；

(ⅱ)求△PQG面積的最大值.

2.解法分析

2.1探究第(Ⅱ)問(wèn)的第(ⅰ)問(wèn)

一般地，要證明△PQG是直角三角形，需要證明某兩條邊所在直線的斜率之積為-1.根據(jù)圖象，本例實(shí)質(zhì)上就是證明直線PQ和PG的斜率之積為-1.

證法1：設(shè)P(x0,y0),G(x1,y1)，則E,Q的坐標(biāo)分別是E(x0,0)，Q(-x0,-y0)，

證法2：設(shè)P(x0,y0),G(x1,y1)，則E,Q的坐標(biāo)分別是E(x0,0)，Q(-x0,-y0)，

所以△PQG是直角三角形.

證法3：(點(diǎn)差法)設(shè)P(x0,y0),G(x1,y1)，則E,Q的坐標(biāo)分別是E(x0,0)，Q(-x0,-y0)，

2.2探究第(Ⅱ)問(wèn)的第(ⅱ)問(wèn)

第(Ⅱ)問(wèn)的第(ⅱ)小問(wèn)是高考解析幾何的熱點(diǎn)問(wèn)題——最值(范圍)問(wèn)題，常見(jiàn)的解法就是引入變量構(gòu)造函數(shù)，至于選擇哪個(gè)變量來(lái)構(gòu)造函數(shù)，關(guān)鍵是對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程的分析，一般有兩種方案：①如果是過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線，那么一般選斜率為自變量，比如官方的解答；②如果是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則選擇點(diǎn)的坐標(biāo)，從而利用函數(shù)最值的求法進(jìn)行求解.

解法1：將△PQG分割成△PQE和△PEG，求△PQG面積的表達(dá)式.

解法2：注意到PE⊥x軸，考慮選擇水平寬乘以鉛垂高,求△PQG面積的表達(dá)式.

下面有兩種方法可以求其最值，一種是注意到分母兩式的和正好是分子一個(gè)式子的倍數(shù)，可考慮均值不等式：

另一種是官方的參考答案：

解法4：注意到PE⊥x軸，考慮面積的求法選擇水平寬乘以鉛垂高.

以下同解法3.

解法5：由于△PQG各邊所在直線的斜率都知道，可考慮用夾角公式表示面積.

以下同解法3.

3.源與流

本題第一問(wèn)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡是利用橢圓的“第三定義”——斜率乘積為定值，但要注意驗(yàn)證，挖掉多余的點(diǎn)；第二問(wèn)中的第一小問(wèn)，也是常見(jiàn)的問(wèn)題，源于2011年江蘇高考題第18題第(Ⅲ)問(wèn)：

(Ⅰ)當(dāng)直線PA平分線段MN，求k的值；

(Ⅱ)當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；

(Ⅲ)對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB.

2012年湖北高考數(shù)學(xué)理科第21題第(Ⅱ)問(wèn)也是此類(lèi)題，只是x,y軸交換了一下而已：

(2012·湖北卷·21)設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1).當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(Ⅰ)求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

(Ⅱ)過(guò)原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P,Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H，是否存在m，使得對(duì)任意的k>0，都有PQ⊥PH?若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

篇幅所限，不再給出這兩道題的解答，相信讀者可以發(fā)現(xiàn)這三道題的淵源.

本題第二問(wèn)中的第(Ⅱ)小問(wèn)技巧性強(qiáng)，運(yùn)算比較復(fù)雜，首先要表達(dá)出面積，最后構(gòu)造函數(shù)，用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)完成證明，需要在平時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練，尤其要積累簡(jiǎn)化運(yùn)算的方法.

本題的解答充分體現(xiàn)了解析幾何的核心思想——用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量大，也體現(xiàn)了對(duì)高中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

解析幾何中求面積最值問(wèn)題在歷年高考題中經(jīng)常出現(xiàn)，一般涉及求三角形或四邊形面積的最值，解決的思路都是根據(jù)題目的已知條件，先把面積表達(dá)式用某個(gè)量表示出來(lái)，再利用求函數(shù)最值法或基本不等式等知識(shí)來(lái)求解其最值.

求面積表達(dá)式通用的模式是引入變量構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.一般常見(jiàn)的構(gòu)造方法有兩種：一種是根據(jù)曲線上的動(dòng)點(diǎn)，選擇動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為自變量，如第(Ⅱ)問(wèn)第(ⅱ)小問(wèn)的思路一；另一種是根據(jù)過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線，選擇直線的斜率為自變量，如第(Ⅱ)問(wèn)第(ⅱ)小問(wèn)的思路二.

函數(shù)構(gòu)造好后求最值(范圍)，常常從下面幾個(gè)方面考慮：

(1)利用基本不等式求出范圍或最值；

(2)利用換元法簡(jiǎn)化函數(shù)的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性或?qū)?shù)求出范圍或最值；

(3)有些題目還可以利用二次函數(shù)的判別式或單調(diào)性求范圍或最值.

正確計(jì)算是解決解析幾何問(wèn)題的基本功，數(shù)形結(jié)合是轉(zhuǎn)化解析幾何問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn).針對(duì)圓錐曲線的解題能力提升，給出以下建議：

(1)重視運(yùn)算能力

運(yùn)算量大是圓錐曲線題目的特點(diǎn)，心態(tài)上要放平和，克服畏難情緒，制定合理運(yùn)算順序后，按部就班計(jì)算即可；另外，平時(shí)要注意一些減少計(jì)算量的技巧的積累.

(2)強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想

解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，善于用幾何圖形尋找解決突破口，選擇盡量?jī)?yōu)化的算法與順序，再用代數(shù)方法推演解決問(wèn)題.