題在考卷 根在教材
——2019年數學全國卷Ⅰ第22題的探析

廣東

每年高考都有不少的優質試題，這些試題都是命題專家精心設計的杰作，凝聚了命題專家的集體智慧，對中學教學有良好的導向性，值得我們去品味.要充分認識高考題所蘊含的價值，挖掘高考題的功能，發揮其內在作用，并以此來促進教學.

下面筆者以2019年數學全國卷Ⅰ的一道選考題為例，進行詳細分析與解答，追本溯源，說明立足教材、重視課本例習題的重要性，并給出相應的變式練習，供大家參考，希望能拋磚引玉.

一、題目呈現與分析

(Ⅰ)求C和l的直角坐標方程；

(Ⅱ)求C上的點到l距離的最小值.

試題分析：題目結構清晰，知識方面主要考查參數方程與普通方程互化，極坐標方程與直角坐標方程互化，點到直線的距離公式，圓錐曲線上的點到直線距離的最小值求法及其相關運算；思想方面主要考查轉化與化歸，數形結合等思想.綜合考查考生邏輯思維、推理論證及運算求解等方面的能力，試題的思維過程和運算過程體現了能力立意的思想，較好地體現了對坐標系與參數方程模塊的核心內容和基本思想方法的考查.

二、多視角思考，解法探析

1.問題(Ⅰ)的解答

分析1觀察參數方程的特點，利用完全平方公式消參.

分析2充分挖掘式子結構特征(三角函數萬能公式)，換元化簡，再利用三角函數基本關系式消元.

分析3由分式分離常數，簡化式子，解出參數t，然后代入消元.

分析4反解出t2與t，然后代入消參.

評注：參數方程化為直角坐標方程常用的方法有代入消元、加減消元、整體消元、平方消元和三角恒等式消元等，要觀察參數方程的結構，靈活選取合適的方法.需要注意的是，在參數方程與直角坐標方程的互化中，必須讓x，y的取值范圍保持一致，否則互化就是不等價的.

2.問題(Ⅱ)的解答

解法1(判別式法)

解法2(向量法)

解法3(參數方程法)

解法4(導數法)

解法5(數形結合法)

評注：問題(Ⅱ)要解決點到直線距離的最值問題，解答中分別使用解析幾何、方程、導數、三角、向量和函數等高中核心知識進行解決，體現了知識的橫向聯系.因此要對典型高考題進行深入挖掘，探求試題背后的思想方法，注重一題多解，力求對所學的知識融會貫通.另外，上述解法也能求得C上的點到l距離的最大值.

以上幾種解法，從不同角度出發思考問題，各顯神通.這充分體現高考數學題的不拘一格，一道試題往往考查多種能力、多種思想方法，同時，高考試題在命制時充分考慮到考生數學能力的個體差異，多數試題的解答方法和思維方式并不唯一，給考生提供了較大的發揮空間.由于不同方法的解題時間的長短不同，從而甄別出考生能力的差異，達到精準區分考生能力的目的.另外也說明高考要突出考查知識主干，貼合教學實際，重視對學生數學基本能力與思想方法的考查，所以我們要在平時的學習與訓練中重視知識的儲備和方法的積累，才有可能縮短思維的長度，達到事半功倍的效果.

三、追本溯源

問“題”那得清如許？為有源頭活水來.原試題的題源就來自于教材的例題：

對試題的探源可以讓我們更深刻地認識問題，可以看出2019年考題的“母題”來源于教材的例題，只是將例題進行適當的改編而已.立足教材和選編教材原題，生成教材變題，是高考命題的一個不爭的事實，這體現了高考命題的公平性和基礎性原則.所以教師要善于鉆研教材，用“慧眼”去發現有典型性、可拓展性的例題或習題，善于作解后反思、方法的歸類、規律的總結與技巧的揣摩，再進一步對例習題進行挖掘、拓展和引申，擴大例習題的輻射面，以此提高復習的效率.

四、變式練習

為了加強學生對某一類問題的掌握，適當地對題目加以改編再練習，會起到強化解題思想方法的積極作用，通過“一題多變”能夠加深思維深度，讓學生在親身實踐中尋求變通，悟出問題的本質，從而為今后的解題遷移找到共同的固著點，對于形成完善的數學思維結構和發展數學思維能力具有重要意義.對于本道考題，可以進行如下變式訓練：

1.變曲線：(2006·全國卷Ⅰ·理8)拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是

( )

【答案】A.

【答案】2

(Ⅰ)若a=-1，求C與l的交點坐標.

(Ⅱ)a=8或a=-16.

五、高考鏈接

極坐標與參數方程模塊中，圓錐曲線上的點到直線距離相關類型的考題已成為高考中的重要考點，備受命題者青睞.為了凸現考題的有跡可循，把握復習的側重點，提高復習效率，下面給出部分相關的高考試題，以供參考.

【答案】4.

(Ⅰ)寫出曲線C的參數方程，直線l的普通方程；

(Ⅱ)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30°的直線，交l于點A，求|PA|的最大值與最小值.

(Ⅱ)設點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值.

【答案】(Ⅰ)點P在直線l上.

高考試題是精心之作，每年的高考題從命題角度、題型和難度等方面都進行了充分考慮，是知識、能力和思想方法的載體，是命題思想、命題理念的程序化展現，具有典型性、示范性和權威性.除了具有測試與選拔功能外，還具有良好的教學功能，要了解高考動向，把握高考脈搏，對高考試題的研究分析是重要的路徑.可以看出2019年高考題與上述展示的高考題(含“變式練習”)是同類題，這說明命題專家很重視命題的傳承和相互借鑒.所以在高考的備考中，適當加入高考真題的訓練是必要的，特別是近五年的高考真題.

六、結束語

坐標系與參數方程是高考的選考內容之一，是整個高中數學內容的補充和延伸.在知識上結合解析幾何考查學生曲線方程的轉化能力，以及解析幾何的初步技能，考查數學公式變形能力、運算求解能力和邏輯推理能力等.選考題主要是配合2003年開始的普通高中新課程改革的選修模塊設置，試題較容易，屬于“送分”性質，導致選拔功能不強.近兩年有所變化，根據學生選做坐標系與參數方程偏多(實際是專攻)的情況，對該題難度進行調整，其實是考生在與命題者博弈.今年的兩個選考內容，難度同時增大，應該說是回歸其應有的作用和地位，也消除了命題者內心的糾結，需要考生逐步適應.

羅增儒教授語：教材是課程的載體，因此高考命題最具體、最方便的依據其實是教材.數學高考試題有“源于教材，高于教材”“題在考卷，根在教材”的特點，年年歲歲題相似，歲歲年年意不同，但萬變不離其宗，“宗”就是教材.蘇聯數學教育家奧加涅曾說：“很多習題潛在著進一步擴展其教學功能、發展功能和教育功能的可能性”，教材中的例習題是經過編者精心設計的，具有典型性，大多蘊含著深刻的背景和豐富的數學思想，很多高考題是教材例習題的組合、加工、引申、拓展和類比，這充分體現教材是高考試題的根之所在.因此，高三的數學復習應立足于教材，教師們應鉆研教材，深刻領悟教材中數學知識的作用和所蘊含的文化價值，活用教材，對教材中有潛在規律的材料、例題、習題進行歸納、類比和拓展，充分挖掘，將其價值發揮出來，從而實現教材教學功能的最大化、最優化.