病原體毒性進(jìn)化多樣性的動(dòng)力學(xué)模型

原博

（山西工程職業(yè)學(xué)院，山西太原 030009）

生物上現(xiàn)在對(duì)于病原體毒性的適應(yīng)性進(jìn)化的一個(gè)比較合理的解釋是病原體毒性與病原體誘導(dǎo)的宿主死亡率之間存在一定的權(quán)衡關(guān)系，對(duì)于這種關(guān)系我們沒有具體的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，因此我們有必要建立一個(gè)具體的模型來研究病原體毒性的適應(yīng)性進(jìn)化的機(jī)制。利用臨界函數(shù)分析的方法來研究模型可能出現(xiàn)的進(jìn)化效果。因此本文考慮宿主的出生率和自然死亡率都不依賴于種群密度的SI模型，利用進(jìn)化入侵分析的方法研究單同態(tài)病原體毒性是否能夠產(chǎn)生進(jìn)化分支，能夠產(chǎn)生進(jìn)化分支前提下進(jìn)一步是變成兩種具有不同毒性的病原體；還是進(jìn)化到一個(gè)連續(xù)穩(wěn)定的策略而停下來。

1 病原體毒力的進(jìn)化穩(wěn)定策略分析

1.1 死亡率不具有密度依賴的SI模型

本研究考慮這種由病原體誘發(fā)的傳染病會(huì)造成終身感染（即沒有恢復(fù)者R），宿主遷入率是常數(shù)，所有的新出生個(gè)體均為易感者，并且病原體只會(huì)水平傳播，不會(huì)垂直傳播（所有新出生個(gè)體均是無病的）。其中，S為易感者，I為帶有毒性α的病原體感染的感染者，單個(gè)感染者感染易感者的傳染率是與易感者的種群密度成正比即βS。

SI模型如下：

其中，b表示宿主的遷入率，m表示宿主的自然死亡率，v表示帶有毒性α的病原體的因病死亡率，β表示與病原體毒性α相關(guān)的傳染率。當(dāng)毒性α增加時(shí)，相應(yīng)的將會(huì)增加病原體的感染率β，但是同時(shí)也增加了因病死亡率v；假設(shè)因病死亡率v是毒性α的線性函數(shù)，不同的因病死亡率表示具有不同毒性的病原體，反之亦然。因此不失一般性，令v=α，所以β(α)可以看作β(v)。并且注意到傳染率是不可能無限增加的，當(dāng)病原體毒性v很大時(shí)，β(v)接近飽和。因此，得到β(v)是關(guān)于v的一個(gè)單調(diào)增加且并具有飽和狀態(tài)的函數(shù)，此時(shí)SI模型就簡(jiǎn)化如下：

其中β'(v)＞0。

當(dāng)條件

1.2 模型（2）正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

經(jīng)過計(jì)算雅可比矩陣Jres的特征值的實(shí)部均為-bβ(v)/2(m+v)。

1.3 突變病原體的入侵適合度

下面推導(dǎo)帶有變異病原體的種群動(dòng)力學(xué)模型。當(dāng)突變很稀少并且突變很小的時(shí)候，進(jìn)一步假設(shè)不存在交叉感染的情況（一旦易感者宿主被一種病原體感染以后就不會(huì)被另一種病原體感染）。因此，由易感者宿主S，帶有毒性v的病原體感染的感染者I，帶有突變毒性vm的病原體感染的感染者Im組成的種群動(dòng)力學(xué)模型如下：

其中，b為宿主的遷入率，m為宿主的自然死亡率，參數(shù)vm是變異病原體的因病死亡率，β(vm)為變異病原體相應(yīng)的傳染率。模型（4）隱含的假設(shè)就是具有不同毒性的病原體可以對(duì)不同的易感者S進(jìn)行感染，因此兩種不同毒性的病原體對(duì)于易感者的爭(zhēng)奪形成競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制。

令I(lǐng)m=0，可以得到?jīng)]有變異病原體的平衡點(diǎn)：

因此當(dāng)條件

1.4 病原體毒力的進(jìn)化動(dòng)力學(xué)模型

當(dāng)突變是稀少的并且突變很小時(shí)，通過成功的入侵與替代，病原體的毒性特征將一步一步地進(jìn)化，并且進(jìn)化的方向是由局部選擇梯度g(v)決定的，其中g(shù)(v)如下：

病原體的毒性特征v一步一步的進(jìn)化過程可以用下面的典型方程去近似。其中典型方程如下：

1.5 病原體毒力的連續(xù)穩(wěn)定策略

當(dāng)v*滿足條件g(v*)=0，時(shí)，就稱v*為進(jìn)化奇異策略。

將（7）代入上式，可知v*滿足如下條件：

當(dāng)在進(jìn)化奇異策略v*處，

因此可以得到奇異策略v*是收斂穩(wěn)定的條件如下：

當(dāng)進(jìn)化奇異策略v*滿足條件

時(shí)，那么稱此進(jìn)化奇異策略v*是進(jìn)化穩(wěn)定的（ES）。由此，可以得到如下的結(jié)論：當(dāng)條件（3）和（5）滿足時(shí)，如果權(quán)衡函數(shù)β(v)在進(jìn)化奇異策略v*滿足β''(v*)＜0，那么進(jìn)化奇異策略v*既是收斂穩(wěn)定的，也是進(jìn)化穩(wěn)定的。即進(jìn)化奇異策略v*為連續(xù)穩(wěn)定[3]的進(jìn)化策略。

由以上分析，可以看到：當(dāng)權(quán)衡函數(shù)曲線β(v)是全局凹時(shí)，如果進(jìn)化奇異策略v*是收斂穩(wěn)定的，那么它必定是進(jìn)化穩(wěn)定的。因此進(jìn)化奇異策略是連續(xù)穩(wěn)定的，不可能產(chǎn)生進(jìn)化分支。

2 參數(shù)對(duì)進(jìn)化奇異策略的影響

2.1 自然死亡率對(duì)進(jìn)化奇異策略影響

接下來研究隨著宿主的自然死亡率m的增加，毒性特征v的進(jìn)化穩(wěn)定性（ESS）的改變。

假設(shè)β(v)滿足上面的限制條件即在奇異策略處是凹的，并且是關(guān)于v的增函數(shù)，因此只要模型中選擇的β(v)為飽和函數(shù)形式就同時(shí)滿足上面的兩個(gè)條件。

進(jìn)化奇異策略v*必須滿足

從（12）可以發(fā)現(xiàn)，變異增長率r依賴于參數(shù)vm和v。因?yàn)関m和v同時(shí)在v*處取值，所以方程（12）可以寫成：F(v*,m)=0。

本研究的目標(biāo)是弄清楚進(jìn)化奇異策略v*是如何隨著參數(shù)m的增加而改變的。通過把關(guān)于m的隱式微分方程F(v*,m)=0中的v*看作是m的函數(shù)[4]，可以得到

通過變形，可以得到

可以利用定義的F(v,m)將（13）寫成

對(duì)于進(jìn)化奇異策略v*來說，假設(shè)ESS是連續(xù)穩(wěn)定的，那么方程（14）的分母必定是負(fù)的，因此就有：

通過條件（11），可以計(jì)算方程（15）得到

給定的β(v)必定是正的并且在v*處的值是增加的才能出現(xiàn)ESS，此時(shí)方程（16）的右邊必定是正的，因此對(duì)于本模型來說，只要存在收斂穩(wěn)定的ESS，那么無論β(v)與v的具體關(guān)系如何，進(jìn)化奇異策略的毒性水平v*都必將隨著宿主自然死亡率v*的增加而增加。

2.2 出生率對(duì)進(jìn)化奇異策略的影響

通過類似的方法，可以研究進(jìn)化奇異策略的毒性水平v*隨著宿主出生率b的增加是如何變化的[5]。

從圖1a可以看出，進(jìn)化奇異策略v*隨著宿主死亡率m的增加而增加，類似的，從圖1b可以看出當(dāng)宿主出生率b增加時(shí)，進(jìn)化奇異策略v*是不變的。還可以發(fā)現(xiàn)無論出生率和死亡率如何變化，毒性水平的進(jìn)化奇異策略v*都不可能出現(xiàn)進(jìn)化分支的情形[6]。

3 結(jié)論

本文研究了病原體毒性的進(jìn)化多樣性，主要分析最初的單同態(tài)病原體是否可以通過進(jìn)化分支產(chǎn)生雙同態(tài)的病原體，討論了自然死亡率不具有種群密度依賴的SI模型，研究了模型（1）的進(jìn)化動(dòng)力學(xué)模型并得出進(jìn)化奇異策略進(jìn)化穩(wěn)定和收斂穩(wěn)定的條件，發(fā)現(xiàn)此模型下只要進(jìn)化奇異策略是收斂穩(wěn)定的，就必定是進(jìn)化穩(wěn)定的。因此不會(huì)出現(xiàn)進(jìn)化分支的現(xiàn)象。最后討論了自然死亡率和出生率對(duì)毒性特征的進(jìn)化奇異策略的影響。發(fā)現(xiàn)奇異策略v*隨著宿主死亡率m的增加而增加，而當(dāng)宿主出生率v*的增加時(shí)，進(jìn)化奇異策略v*是不變的，還發(fā)現(xiàn)無論出生率和死亡率如何變化，毒性水平的進(jìn)化奇異策略v*都不可能出現(xiàn)進(jìn)化分支的情形。

圖1 自然死亡率m和出生率b對(duì)進(jìn)化奇異策略的影響