一種TOA聯合同步與定位的CWLS算法

田 強，馮大政，胡豪爽

(西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室，陜西 西安 710071)

無線目標定位技術廣泛應用于雷達、麥克風陣列和傳感器網絡等領域[1-3]，一直以來都是信號處理方向的研究熱點。常見的定位技術分為：基于到達時間(Time Of Arrival, TOA)定位，基于到達時間差(Time Difference Of Arrival, TDOA)定位，基于到達角定位以及基于接收信號強度定位等[4-6]。其中，基于到達時間的定位技術所需的測量設備相對簡單，具有定位方程非線性程度低，定位精度高等優點，因而受到越來越多的關注。

到達時間定位的原理是利用傳感器獲取目標信號到達時的傳輸時延，并計算出二者之間的距離，然后以此構建定位方程，確定目標的位置。傳感器獲取信號傳輸時延需已知目標信號的發射時間，因此，傳統的達到時間定位技術一般要求目標與傳感器之間是精確同步的。而在實際應用中，二者往往存在時鐘偏差，尤其在對非合作目標定位時，更加難以滿足與傳感器網絡時鐘同步的要求。考慮到目標信號在空氣中近似以光速傳播，因此，即便是非常微小的時鐘偏差，也會導致較大的距離估計誤差，進而嚴重影響目標定位精度。目前針對以上不同步問題的解決方法主要分為兩種：一是將傳感器接收的數據相減，消除時鐘偏差，轉化為時差定位進行求解；二是將時鐘偏差也當作未知變量與目標位置一起進行聯合估計。文獻[7]研究表明，這兩種方法理論上都不存在信息損失，具有相同的克拉美羅界(Cramér-Rao Lower Bound，CRLB)。但第一種處理方法進行量測數據相減，不僅會引入有色噪聲，而且導致非線性程度變高，增加了實際解算的難度，更容易引起較大的定位誤差。相對而言，聯合估計處理方法在實際解算中可以獲得更高的定位精度。

聯合時鐘同步與目標定位本質上是一個非線性求解問題，解算方法主要分為迭代類算法、閉式解算法和凸優化方法。常用的迭代類方法包括泰勒級數法(Taylor Series, TS)[8]，牛頓法[9]等。這類方法需要一個接近真實值的迭代初始值來保證全局收斂性；在初始值選取不好的情況下，容易落入局部極小點，難以得到令人滿意的解。閉式解算法無需進行迭代運算，具有計算量小的優點。文獻[10]利用加權最小二乘(Weighted Least Square, WLS)準則，將原問題轉化為對二次方程的求解，得到目標位置和時鐘偏差的閉式解。然而，實驗表明其定位精度并不能達到克拉美羅界。文獻[11]提出了兩步加權最小二乘(Two-Step WLS, TSWLS)算法，首先引入輔助變量將原非線性觀測方程轉化為偽線性方程，并利用加權最小二乘準則獲取初值，然后利用變量之間的關系對初值進行校正，最終得到目標參數估計的解析解。該方法在測量誤差較小時，定位精度逼近克拉美羅界；但是當測量誤差較大時，定位性能將嚴重下降。凸優化方法是通過利用凸松弛技術，將原非凸的定位問題轉化為半正定規劃[12]或者二階錐規劃[13]等凸優化問題進行求解。這類方法的優勢是迭代優化過程不依賴于初始值的選取，且能夠保證全局收斂性[14]。然而，由于對原問題進行了松弛近似，該方法在大部分情況下只能得到次優解。因此，筆者提出了一種新的聯合估計算法，該算法利用變量之間的相互關系構造約束條件，將原問題轉化為約束加權最小二乘問題進行求解。理論分析了該算法的有效性，實驗表明該算法性能優于現有的聯合估計算法。

1 定位模型

假設在二維平面內分布了M個時鐘相互同步的傳感器錨節點，其坐標已知且分別表示為si=[xi,yi]Τ,i=1,2,…M；待估計的目標節點坐標為x=[x,y]Τ。目標x與傳感器si之間的距離可表示為

di=‖x-si‖2,i=1,2,…,M。

(1)

假設目標與各傳感器節點之間存在的時鐘偏差為τ，不考慮非視距傳播的影響，則第i個傳感器節點接收到目標信號時的本地時間為

(2)

式中，c為信號傳播速度，一般近似為光速；Δti表示時間測量誤差。將式(2)乘c轉化為距離量，有

ri=cti=di+r0+ni,i=1,2,…,M,

(3)

令r=[r1,r2,…,rM]Τ，d=[d1,d2…,dM]Τ，則式(3)可以寫成如下的矢量形式：

r=d+r0+n，

(4)

式中，n=[n1,n2,…,nM]Τ，為測量誤差矢量，其協方差矩陣表示為Qn=E[nnΤ]。由此易得關于目標位置x和時鐘偏差r0的最大似然估計等價于如下最小化問題：

(5)

求解問題(5)可以得到x和r0的估計值。然而，式(5)中的代價函數是非線性、非凸的，難以直接求解。

2 算法描述

2.1 構造約束加權最小二乘估計

在式(5)中，將r0移到方程的左邊，然后兩邊同時取平方，經過整理可得

(6)

Aφ-b=ξ，

(7)

可以看到，式(7)是關于φ的線性方程，根據加權最小二乘理論，可得到關于φ的代價函數為

(8)

qΤφ+φΤpφ=0 ，

(9)

在問題(8)中加入約束條件(9)，原聯合估計問題可以轉化為如下約束加權最小二乘估計問題：

(10)

2.2 利用拉格朗日乘子法求解

式(10)是一個具有二次等式約束的二次優化問題，根據拉格朗日乘子法，式(10)等價于如下最小化問題：

(11)

式中，λ為拉格朗日乘子。用式(11)的目標函數對φ微分，并讓結果等于0，經整理可得φ的估計值為

(12)

然而，在上式中需要進一步求解未知參數λ。將式(12)代入到式(10)的約束條件中，可得

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

式中，aj=0.25γjejgj-0.5ejgjγj，bi=ejfjγj-0.5ejgj-0.5γjhjgj-0.5γjejfj，cj=ejfj+γjhjfj。

式(17)是一個高次多項式方程，利用Matlab中的卷積運算(conv)和多項式求根運算(root)可以很容易求得λ的解，然后進一步得到φ的估計值。具體步驟如下：

步驟1 利用Matlab中的conv和root函數求解式(17)，得到拉格朗日乘子λ的多個解。

2.3 性能分析

克拉美羅界確定了所有無偏估計誤差協方差理論上所能達到的下界，以此為標準可以有效分析文中算法的定位性能。設θ=[xΤ,r0]Τ，由文獻[10]和[11]可知，基于到達時間的聯合同步與定位問題的克拉美羅界為

(18)

將A按列分解為A=[A12,A3,A4]，其中A12、A3和A4分別表示A的1～2列、第3列和第4列。則代價函數式(10)可以重新寫為

f(θ)=gΤWg，

(19)

(20)

其中，J=[A12+2A4xΤ,A3-2A4r0]是f(θ)的雅克比矩陣。下面對g進行一階小誤差擾動分析。

g=Bn+JΔθ。

(21)

(22)

(23)

3 仿真實驗

下面將文中算法的估計性能與文獻[8]中的泰勒級數法(TS)、文獻[10]中的加權最小二乘算法(WLS)、文獻[11]中的兩步加權最小二乘算法(TSWLS)、文獻[12]中的最小-最大算法(MMA)[12]以及式(23)的克拉美羅界(CRLB-TOA)進行對比來評估算法的性能。文中算法還對比了時差定位的CRLB[15](CRLB-TDOA)和時差定位中經典的Chan算法[15](Chan-TDOA)。為了方便比較，采用估計偏差和均方根誤差來衡量算法的性能，其定義分別為

(24)

圖1描繪了在不同的測量誤差下各算法的估計偏差。從圖中可以看出，當測量誤差較小時，文中算法和其他算法的估計偏差都趨于0，近似為無偏估計；這與2.3節中理論分析結果是一致的。隨著測量誤差的增大，各算法的估計偏差都有所增大，而文中算法的估計偏差增加的相對緩慢且一直保持最小。

圖1 各算法的估計偏差隨測量誤差變化的統計結果

圖2 各算法的估計均方根誤差隨測量誤差變化的統計結果

圖3 定位誤差累積分布函數

值得注意的是，文中算法與TSWLS算法一樣都是通過引入輔助變量對原問題進行偽線性化的，而文中算法的性能優于TSWLS算法。其中的主要原因是，TSWLS算法在第一步中忽略了變量之間的耦合關系而直接對偽線性方程進行加權最小二乘求解，人為地引入了額外的誤差；而且在第二步中進行誤差校正時，所使用加權矩陣又是通過一階擾動分析近似求解的，當測量誤差較大時，定位精度明顯降低。文中算法將變量之間的關系當成約束條件與代價函數一起求解，避免了分步運算，最大限度地減少了人為誤差的引入，從而提升了目標定位的精度。

4 結束語

目標與傳感器之間的時鐘偏差的存在會嚴重影響傳統到達時間定位的性能，筆者針對這一問題提出了一種聯合同步與定位算法。利用變量之間的耦合關系構造約束條件，將原問題轉化為約束加權最小二乘問題，然后利用拉格朗日乘子法進行優化求解。理論上分析了該算法的有效性。實驗結果表明，相比較傳統的迭代類算法、閉式解算法以及凸優化類算法，文中算法具有較高的估計精度。