Tent混沌和變鄰域局部搜索優化的GSA

婁 奧，姚敏立，賈維敏，袁 丁

(1.火箭軍工程大學 作戰保障學院，陜西 西安 710025；2.火箭軍工程大學 核工程學院，陜西 西安 710025)

智能算法又稱“軟計算”，是人們受自然界規律啟迪，模仿其原理求解優化問題的算法。其中，群集式智能算法通過相互合作的簡單個體搜索復雜問題的最優解，具有可擴充性好、實現簡單等優點[1-2]。

引力搜索算法(Gravitational Search Algorithm, GSA)是伊朗科學家RASHEDI等[3]提出的一種新型群集式智能算法。有研究表明，當對基準函數測試時，引力搜索算法的全局搜索性能優于遺傳算法、粒子群算法等其他智能算法[4]。但是，引力搜索算法存在易陷入局部最優、搜索精度有待提高等問題。為改善算法性能，文獻[5]引入歷史經驗的思想，較好地提高了搜索精度；文獻[6]基于進化程度和種群極值，設置自適應算子引導種群的搜索方向；文獻[7]根據算法互補思想，設計新的粒子速度公式，也取得不錯的實驗效果。

筆者引入混沌和局部搜索思想優化引力搜索算法的全局尋優性能，提出一種Tent混沌和變鄰域局部搜索優化的引力搜索算法(GSA optimized by Tent chaos and Variable neighborhood Local search，TVL-GSA)。首先設計一種遍歷均勻性更好的Tent混沌模型初始化種群；再對粒子速度和引力系數進行改進；最后基于萊維飛行作變鄰域局部搜索。

1 Tent混沌和變鄰域局部搜索優化的引力搜索算法

1.1 引力搜索算法

引力搜索算法吸收牛頓第二定律的特點，賦予個體質量屬性，使粒子之間存在吸引力。粒子的適應值越優，其質量也越大。粒子質量公式如下所示:

(1)

式中，t表示當前迭代次數，Mi,t是粒子i在t時刻的質量，fi,t是粒子i的適應值，wt是t時刻所有粒子的最差適應值，N是粒子總數。粒子i和j在第d維的引力大小的更新式為

(2)

1.2 改進Tent混沌

文獻[8]指出，利用Tent混沌的遍歷性初始化種群，可以改善其分布均勻性，增強算法的全局搜索能力。但是，標準Tent混沌序列的相鄰點有較強的相關性，易迭代到固有不動點而失去意義。為解決該問題，文獻[8]提出一種分段式改進Tent混沌模型，不足之處是削弱了Tent混沌遍歷均勻性強的優勢。

筆者設計一種基于小隨機附加項的改進Tent混沌模型，在避開固有不動點的前提下，盡可能維持Tent混沌的結構屬性，保留其均勻性特征。改進Tent混沌的表達式如下:

(3)

式中，r是區間[0,1]內的隨機數(下同)，T是最大迭代次數(下同)。取h=0.5，T=1 000，生成文獻[8]和筆者改進的Tent混沌序列。序列分布直方圖如圖1及圖2所示。

圖1 文獻[8]混沌序列分布直方圖

圖2 筆者改進的Tent混沌序列分布直方圖

由圖1和圖2直觀可見，兩種混沌序列在[0,1]內各個子區間都有點分布，沒有小周期和迭代歸零的現象。而且，筆者改進的Tent混沌序列的點分布得更加均勻，遍歷性更好。

1.3 基于萊維飛行的變鄰域局部搜索策略

當求解多峰函數時，引力搜索算法的粒子一旦靠近局部峰值，極易因聚集效應驅使種群陷入局部最優。因此，對可能接近局部峰值的粒子作局部搜索，理論上可以抑制甚至避免種群落入局部最優陷阱的趨勢。

(1)設種群第t次迭代后最優粒子的位置是Xb,t，對其作基于萊維飛行的局部搜索[9]:

(4)

式中，Xn b,t是搜索得到的新位置,Lβ是搜索步長。其中,μ～N(0,σ2)，ν～N(0,1)，1<β<3，o(Xb,t-1-Xb,t)是Xb,t-1和Xb,t的歐幾里德度量,

(5)

(2)在式(4)中引入線性變化的慣性權重系數ω[10]。更新后公式為

(6)

其中，ωmax是最大權重,ωmin是最小權重，文中分別取其經驗值1和0。

(3)計算Xn b,t的適應值。若其不小于Xb,t的適應值，則需要擴大鄰域范圍繼續搜索。為式(6)添加鄰域擴變系數γ：

(7)

其中，χ是區間[0,0.5]內實數。為控制成本，最多搜索3次。若找到更優解，則Xnb,t替換Xb,t。

1.4 改進粒子速度更新策略

引力搜索算法的速度公式為

vi,t=rvi,t-1+ai,t。

(8)

TVL-GSA在此基礎上添加歷史記憶信息，改進后公式為

.

vi,t=rvi,t-1+1.5ai,t+0.5(Xb,t-1-Xi,t-1),

(9)

其中，vi,t、ai,t是粒子i第t次迭代的速度、加速度；Xi,t-1是粒子i第t-1次迭代的位置。

1.5 改進引力系數公式

由式(2)可知,引力系數Gt與引力大小相關，會直接影響粒子移動(種群搜索)的速率。TVL-GSA為Gt增添系數d改變其下降速率:

Gt=G0(exp(-αt/T))d，

(10)

其中，G0是引力系數初值，一般取100;α是引力衰減系數，一般取20。d取不同值使Gt變化趨勢差異較大，如圖3所示。隨著d值變大，Gt的下降加快，使引力搜索算法更早地進行精細搜索。這樣的設計有利于單峰函數加速收斂到全局最優解，但也可能使多峰函數錯過全局最優，陷入局部最優。為中和效果，d取經驗值3。

1.6 TVL-GSA算法流程

TVL-GSA的主要思想包括3部分:第1部分，引入改進Tent混沌初始化種群，增加種群多樣性，避免粒子在迭代早期就陷入局部最優;第2部分，改進引力搜索算法的速度和引力系數公式，對所有粒子完成引力搜索;第3部分，種群更新后，對最優粒子執行基于萊維飛行的變鄰域局部搜索，引導種群脫離局部最優，并影響后續迭代中種群的搜索方向。

TVL-GSA的具體流程如圖4所示。

圖3 引力系數變化曲線

圖4 TVL-GSA流程圖

1.7 基準函數測試

在Intel (R)Core (TM)i3-2100 CPU@3.10 GHz，內存12.00 GB，Windows7系統和Matlab 2014b環境下做仿真實驗。引入9個經典基準函數對GSA、I-GSA/PSO[5]、GGSA[6]、GPS[7]和TVL-GSA進行測試，函數說明如表1所示。

表1 基準函數說明

為減少誤差影響，每個函數各測試20次，記錄最優值、平均值和標準差，結果見表2。圖5給出了算法對部分函數的迭代曲線(縱坐標是適應值的自然對數)。

表2 函數測試結果

圖5 算法對部分函數的迭代曲線

對于高維單峰函數F1～F3，TVL-GSA的尋優精度優于其他算法，展現絕對的優越性。以F1為例，TVL-GSA的均值比GPS等低86 ～ 90個數量級。圖5中，TVL-GSA收斂速度也快于其他算法。

高維多峰函數有較多局部極值點，可以考查算法抑制局部最優的能力。表2中，TVL-GSA對F4～F6都取得較好的尋優效果。對于典型的非線性多模態函數F6，5種算法都得到其理論最優值0，但TVL-GSA的均值與標準差都最小。圖5也顯示TVL-GSA的收斂速度更快，付出的時間成本更少。

低維多峰函數的局部極值點較少，求解較易，但能檢驗算法的魯棒性。表2中，TVL-GSA對F7～F9的指標均最小，且只有其對F7和F9的標準差均為0。這些數據說明TVL-GSA的全局搜索穩健性更強。

2 TVL-GSA對非線性系統辨識的應用

2.1 基于TVL-GSA優化徑向基函數神經網絡

徑向基函數神經網絡(Radial Basis Function Neural Network, RBFNN)是一種基于多變量插值徑向基函數的神經網絡，包含輸入層、隱含層和輸出層[11]。從模式識別角度看，非線性隱含層空間維數較高，能把低維非線性不可分問題映射到高維空間而線性可分[12]。因此徑向基函數神經網絡常用作辨識非線性系統的有效工具。

圖6 TVL-GSA尋優徑向基函數神經網絡數據中心

隱含層徑向基函數的數據中心是徑向基函數神經網絡的重要參數之一。工程中常用動態聚類算法，如K均值聚類對數據中心作自組織選擇[13]。但是，K均值聚類存在對初始點敏感和全局搜索弱的缺陷，一定程度上會影響數據中心的選擇結果?？紤]到徑向基函數的作用范圍是局部的，不恰當的數據中心可能使徑向基函數神經網絡無法正確反映輸入空間的實際情況，從而影響其逼近和泛化能力。上文證明，TVL-GSA有很強的全局尋優能力，將其與K均值聚類結合，理論上能彌補聚類的缺陷，提高數據中心的選擇質量。TVL-GSA尋優徑向基函數神經網絡數據中心的策略如圖6所示。

為檢驗優化后徑向基函數神經網絡解決實際問題的能力，以車載“動中通”伺服系統的非線性穩定環為對象，設計辨識實驗。

2.2 辨識實驗設計

動中通是一種在載體運動中實現不間斷衛星通信的地球站[14]，其伺服系統采用四閉環(電流環、速度環、穩定環和位置環)體制。其中穩定環的作用是提高伺服系統抗載體擾動的能力，工程中得到其精確模型對閉環調節器的設計有重要的意義。但因工作時受摩擦阻力、慣性力矩、陀螺噪聲等因素干擾，穩定環呈現明顯的非線性特征。經典辨識方法已得不到穩定環的精確模型，可采用神經網絡的辨識方法。

對0.9 m直徑平板“動中通”的方位軸穩定環進行開環辨識。系統采用東方馬達步進電機驅動，總減速比為425∶1;陀螺儀采用自制的微電機慣性測量單元。實驗平臺如圖7所示。

辨識實驗的具體步驟：首先保持穩定環為開環狀態，為轉臺方位軸步進電機輸入偽隨機序列的激勵信號(偽隨機序列由10個移位寄存器生成，序列長度是210-1，幅值大小為2o/s)；然后從陀螺儀傳感器采集轉臺空間角速度信息作為輸出數據；最后利用優化后徑向基函數神經網絡辨識得到穩定環的開環模型。穩定環輸出數據的采集流程如圖8所示。

圖7 動中通實驗平臺

圖8 穩定環輸出數據的采集流程

2.3 辨識實驗結果

采用標準反向傳播神經網絡(Back Propagation Neural Network, BPNN)、標準徑向基函數神經網絡和優化后徑向基函數神經網絡辨識穩定環。已通過節點刪除法確定隱含層的最佳節點數為6。為保證實驗有效性，各神經網絡的隱含層節點數都相同。

實驗1以穩定環輸出的前1 200個數據為樣本(為減少過渡過程的影響，再舍去前100個)，通過比較模型的精度，檢驗神經網絡的逼近能力。結果如圖9和圖10所示。實驗重復10次，記錄模型的誤差大小，如表3所示。

圖9 不同神經網絡的辨識結果

圖10 不同神經網絡的辨識結果(局部)

表3神經網絡模型逼近誤差

類型最小值最大值平均值標準差標準BPNN1.158 91.448 31.289 90.085 7標準RBFNN0.100 40.169 50.122 00.023 4優化后RBFNN0.087 20.139 40.102 50.015 2

由圖10可見，標準反向傳播神經網絡的逼近誤差很大，不能反映穩定環的實際輸出。標準徑向基函數神經網絡受徑向基函數作用，有較強的局部逼近能力。圖10也證明標準徑向基函數神經網絡和優化后徑向基函數神經網絡的輸出更接近實際響應。表3中，優化后徑向基函數神經網絡逼近誤差的最小最大值、均值比標準徑向基函數神經網絡分別降低13.1%、17.8%和16.1%。

實驗2取實驗1得到的神經網絡模型，擬合穩定環輸出的第1 201至2 000個數據，檢驗神經網絡的泛化能力。曲線擬合如圖11和圖12所示。實驗重復10次，記錄模型泛化的誤差大小，如表4所示。

圖12 不同神經網絡的泛化結果(局部)

表4神經網絡模型泛化誤差

類型最小值最大值平均值標準差標準BPNN1.266 06.189 12.683 31.540 9標準RBFNN0.021 80.144 60.047 50.034 2優化后RBFNN0.009 80.084 10.031 60.022 9

由圖12可知，標準反向傳播神經網絡的泛化能力極差，基本無法表征實際系統。標準徑向基函數神經網絡輸出曲線的擬合程度較好，但當轉臺換向時誤差變大。優化后徑向基函數神經網絡輸出與系統輸出幾乎重合。結合表4數據可知，優化后徑向基函數神經網絡泛化誤差的最小值、最大值和均值比標準徑向基函數神經網絡的分別降低55.0%、41.8%和33.5%。

3 結束語

筆者提出一種Tent混沌和變鄰域局部搜索優化的引力搜索算法(TVL-GSA)。通過比較GSA、IGSA/PSO、GGSA、GPS、TVL-GSA的尋優性能，證明TVL-GSA能有效抑制局部最優，具備更佳的尋優精度和穩定性。利用TVL-GSA優化徑向基函數神經網絡，對車載“動中通”伺服系統的非線性穩定環進行辨識，結果表明其具有更優的逼近精度和泛化能力。下一步將設計徑向基函數神經網絡整定PID的控制系統，探索TVL-GSA更多的工程領域與應用價值。