噪聲野值下的學生t分布混合CPHD濾波

王明杰，姬紅兵，劉 龍

(西安電子科技大學 電子工程學院，陜西 西安 710071)

日益復雜的戰場環境對多目標跟蹤技術提出了越來越嚴格的要求，也使得多目標跟蹤領域受到更多國內外學者的關注。由于目標會在未知時間和未知地點新生或消亡，因此多目標跟蹤的目的不僅需要估計多目標運動狀態，而且需要估計時變的目標數目?；陔S機有限集[1](Random Finite Set, RFS)的多目標濾波算法因可以避免計算目標與量測之間的數據關聯問題而得到廣大學者的青睞。由于在濾波過程中聯合傳遞目標強度和目標數概率分布，基于隨機有限集的勢概率假設密度(Cardinalized Probability Hypothesis Density, CPHD)[2-3]濾波能夠獲得較高的多目標狀態和數目估計精度。因此，勢概率假設密度濾波的高斯混合實現(Gaussian Mixture, GM)[3]被廣泛應用于各種復雜的多目標跟蹤問題[4-5]。高斯混合勢概率假設密度(Gaussian Mixture Cardinalized Probability Hypothesis Density, GM-CPHD)濾波通常假設過程噪聲和量測噪聲均服從高斯分布。然而，在實際應用中，過程噪聲與量測噪聲難以滿足這一假設，尤其當噪聲出現野值時，將不再服從高斯分布。野值可以被定義為位于整體分布之外的采樣值[6-7]。在多目標跟蹤場景中，當目標突然發生系統動態模型無法匹配的機動時，則可認為出現了過程噪聲野值。觀測目標背景變化、傳感器自身的不穩定性將導致量測噪聲野值。同時，由于目標散射特性產生的閃爍噪聲亦可看作為量測噪聲野值[8]。含有野值的過程噪聲或量測噪聲服從重尾的非高斯分布，GM-CPHD濾波對噪聲野值非常敏感，當噪聲野值出現時，其跟蹤性能會急劇下降，這是由于高斯分布的輕尾特性無法匹配重尾的過程噪聲和量測噪聲野值。

文獻[9]將過程噪聲和量測噪聲建模為學生t分布，且將目標后驗概率近似為學生t分布，從而得到了基于學生t分布的線性卡爾曼濾波[9]并被擴展到非線性系統中[10,12]。但上述方法只能處理單目標場景。文獻[13],[14]提出了基于學生t分布的概率假設密度(Probability Hypothesis Density, PHD)濾波，然而，該算法的勢估計精度會隨著目標數增大而降低。

針對以上問題，筆者提出了學生t分布混合勢概率假設密度(Student’s T Distribution Mixture CPHD, STM-CPHD)濾波算法，該算法將過程噪聲和量測噪聲均建模為學生t分布，并將多目標概率假設密度近似為學生t分布混合形式，利用學生t分布的重尾特性確保在出現噪聲野值時目標能夠獲得一個不可忽略的權值，所提算法可以有效處理噪聲野值下的多目標跟蹤問題。

1 學生t分布

假設V>0,V∈R，服從分布V～Gam(υ/2,υ/2)，其中Gam(α,β)表示形狀參數為α>0，尺度參數為β>0的伽馬分布。令隨機變量z∈Rd，服從均值為0，方差為Σ的高斯分布N(0,Σ)。則

x=μ+(1/V1/2)z，

(1)

其中，服從參數為μ，Σ和υ的多維學生t分布[9,15]St(x;μ,Σ,υ)，其概率密度函數可以表示為

(2)

為了方便，筆者用St(x;μ,Σ,υ)來表示式(2)。

2 學生t分布混合勢概率假設密度濾波

針對過程噪聲和量測噪聲導致GM-CPHD濾波性能下降的問題，提出學生t分布混合勢概率假設密度(STM-CPHD)濾波。在提出STM-CPHD濾波前，首先需要給出一些基本假設和兩條引理。

假設1過程噪聲wk和量測噪聲vk均服從如下學生t分布：

p(wk)=St(wk;0,Qk,υ1),p(vk)=St(vk;0,Rk,υ2) 。

(3)

假設2每個目標的狀態轉移函數和量測似然均服從線性學生t分布模型，即

(4)

其中，fk|k-1(x|ξ)和gk(z|x)分別表示轉移概率密度和量測似然函數。Fk-1和Hk分別為單目標狀態轉移矩陣和量測矩陣。

假設3目標的存活概率和檢測概率均假設為狀態獨立的，即

pS,k(x)=pS,pD,k(x)=pD。

(5)

假設4新生目標隨機有限集的強度表示為學生t分布混合形式，即

(6)

引理1給定F、m、P和Q，且P和Q為正定矩陣，則下式成立：

(7)

引理2給定H、m、P和R，且P和R為正定矩陣，則下式成立，

(8)

其中，

(9)

以上兩條引理的證明可以參考文獻[9]和文獻[10]。

1.STM-CPHD預測

給定假設1～4，假設k-1時刻多目標后驗概率假設密度Dk-1和后驗勢分布pk-1已知，且Dk-1近似為如下學生t混合形式:

(10)

則k時刻預測勢分布pk|k-1和概率假設密度分別為

(11)

Dk|k-1(x)=DS,k|k-1(x)+bk(x) ,

(12)

其中，bk(x)由式(6)給出，

(13)

(14)

下面將給出STM-CPHD預測的證明推導過程。

證明：根據勢概率假設密度濾波勢分布預測公式[3]以及假設3，k時刻多目標預測勢分布pk|k-1計算為

(15)

根據勢概率假設密度濾波存活目標概率假設密度預測公式[3]以及假設2和假設3，k時刻存活目標預測PHD為

(16)

根據引理1，式(16)可進一步寫為

(17)

證明完畢。

2.STM-CPHD更新

假設k時刻多目標預測勢分布pk|k-1(n)和預測概率假設密度Dk|k-1(x)已知，且Dk|k-1(x)表示為學生t混合形式

(18)

則k時刻后驗勢分布pk可由下式計算:

(19)

且多目標后驗概率假設密度Dk(x)可以表示為學生t混合形式，表示如下

(20)

其中，

(21)

下面給出STM-CPHD濾波的更新證明。

(22)

根據假設2和引理1進一步可得

(23)

同理，量測更新的概率假設密度Dz,k|k-1(x)表示為

(24)

根據引理2，可進一步得

(25)

因此,可得式(19)～式(21)。證明完畢。

3.矩匹配

由式(21)可知，隨著遞歸算法的進行，學生t分布的自由度會隨著遞歸的進行會無限增大，導致學生t分布混合收斂為高斯混合。所提濾波會因此失去學生t分布的重尾特性，無法處理過程噪聲和量測噪聲野值。筆者采用矩匹配算法[9-10]解決該問題，按照式(26)來匹配學生t分布的一二階矩，

(26)

則量測更新部分的概率假設密度Dz,k|k-1(x)可以表示為

(27)

4.狀態提取和修剪合并

5.STM-CPHD與GM-CPHD的關系

如上所述，當自由度參數趨于無窮大時，學生t分布將收斂為高斯分布。因此，GM-CPHD濾波可以被看做為STM-CPHD濾波的一種特殊形式，證明如下。

證明：當自由度趨于無窮，STM-CPHD濾波中各學生t分布混合將收斂為高斯混合，即

(28)

(29)

(30)

(31)

證明完畢。

3 實驗仿真分析

為了驗證所提算法的有效性，分別將所提算法與GM-CPHD濾波，學生t分布混合概率假設密度(STM-PHD)濾波[13]對多目標跟蹤性能進行對比，并采用最優子模式分配[16](Optimal Subpattern Assignment, OSPA)距離作為性能評價指標。

3.1 參數設置

多目標場景與文獻[17]類似，含有野值的過程噪聲和量測噪聲分別建模為

(32)

3.2 實驗結果

圖1給出了STM-CPHD濾波、STM-PHD濾波和GM-CPHD濾波在過程噪聲和量測噪聲野值概率均為0.05時的目標數估計結果。從圖1可以看出，本文所提STM-CPHD濾波在過程噪聲和量測噪聲出現野值的情況下能夠獲得更精確的目標數估計，STM-PHD濾波次之，GM-CPHD濾波目標數估計結果最差。這是因為GM-CPHD濾波的輕尾高斯噪聲假設無法匹配重尾的過程噪聲和量測噪聲。通過圖2所示的STM-CPHD濾波與STM-PHD濾波目標數估計和標準差曲線，可以發現所提STM-CPHD濾波勢估計方差明顯小于STM-PHD濾波。這是由于概率假設密度濾波只傳遞了勢分布的均值，且其勢估計方差會隨著目標數增加而增大，勢概率假設密度濾波傳遞的完整后驗勢分布，進而能夠得到更精確的目標數估計結果。

圖3給出了STM-CPHD濾波、STM-PHD濾波和GM-CPHD濾波在過程噪聲和量測噪聲野值概率均為0.05時的最優子模式分配距離。由圖3可以看出，GM-CPHD濾波性能最差，這是由于野值的出現致使目標漏跟，導致較差的目標數估計結果，進而增大了最優子模式分配距離。而所提STM-CPHD濾波的最優子模式分配距離整體上低于STM-PHD濾波。這是因為STM-CPHD濾波具有較小的勢估計方差，從而能夠獲得更精確的多目標狀態估計。但是在第20,40,60,70,80時刻，圖3中STM-CPHD濾波的最優子模式分配距離誤差明顯大于STM-PHD濾波。這是由于在這些時刻有目標新生和消亡，而勢概率假設密度濾波在目標數估計上比較保守，其雖然能保證較低的勢估計方差，但對目標數變化不敏感，導致目標數估計在目標新生和消亡時具有一定的延時。

表1給出了STM-PHD濾波、GM-CPHD濾波和STM-CPHD濾波在過程噪聲和量測噪聲野值概率均為0.05時的平均運行時間。從表1可以看出，STM-PHD濾波所用時間最短，而STM-CPHD濾波需計算勢分布，因此運行時間最長。值得注意的是，GM-CPHD濾波與STM-CPHD濾波的計算復雜度理論上相近，但由于GM-CPHD濾波在跟蹤的過程中發生目標漏跟，導致其運算時間減少。

為了進一步驗證所提算法的性能，實驗比較了幾種算法在不同過程噪聲和量測噪聲概率下的平均最優子模式分配距離，如圖4所示。由圖中可以看出，3種算法性能隨著噪聲野值概率的增加而下降。GM-CPHD濾波性能下降最快，這是因為更高的野值出現概率將導致目標的漏跟幾率增加，進而降低了濾波跟蹤性能。所提STM-CPHD濾波優于其他兩種方法，這是由于STM-CPHD濾波可以利用學生t分布的重尾特性來更好地處理過程和量測噪聲野值，同時具有勢概率假設密度濾波對勢估計穩定的優點。圖4顯示當野值概率較小時，GM-CPHD濾波的平均最優子模式分配距離略低于STM-PHD濾波，這是由于勢概率假設密度濾波穩定的勢估計一定程度上弱化了野值的影響，且概率假設密度濾波本身具有目標數估計不穩定的缺點。

圖1 STM-CPHD濾波、STM-PHD濾波和GM-CPHD濾波的目標數估計對比

圖2 STM-CPHD濾波和STM-PHD的目標數均值和標準差

圖4 STM-CPHD濾波、STM-PHD濾波和GM-CPHD濾波在不同噪聲野值概率下的平均OSPA距離對比

表13種算法平均運行時間

算法STM-PHDGM-CPHDSTM-CPHD運行時間/s1.003 53.215 15.171 7

4 結束語

筆者針對傳統GM-CPHD濾波無法處理過程噪聲和量測噪聲野值的問題，提出了一種基于學生t分布的勢概率假設密度濾波算法。該算法利用學生t分布來匹配重尾的過程噪聲和量測噪聲，并近似多目標后驗概率假設密度為學生t分布混合形式，得到了勢概率假設密度濾波的線性解析解。所提算法是傳統GM-CPHD濾波的廣義形式，當學生t分布的自由度趨于無窮大時，所提算法將收斂為GM-CPHD濾波。仿真實驗表明，所提算法能夠有效解決過程噪聲和量測噪聲下的多目標跟蹤問題。下一步工作將考慮將所提算法處理噪聲野值下的非線性多目標跟蹤問題。