FAST反射面單元在索網變位中的碰撞分析

李建玲，彭 勃，李 輝，李慶偉，沈宇洲，姜 鵬，羅 斌

(1.中國科學院國家天文臺，北京100101；2.中國科學院FAST重點實驗室，北京100101；3.中國科學院大學，北京100049；4.東南大學土木工程學院，江蘇南京 210096)

500 m口徑球面射電望遠鏡(Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope，FAST)隸屬于國家“十一五”重大科技基礎設施項目。利用貴州省平塘縣喀斯特地形作為臺址，建造世界上最大單口徑射電望遠鏡[1-4]。其反射面采取主動變位的獨特工作方式，即主動反射面技術，根據觀測目標的不同方向，在500 m口徑反射面不同位置，形成300 m照明口徑拋物面[5-8]。

500 m口徑球面射電望遠鏡索網形狀為口徑500 m的球面或300 m的拋物面[9]，有效口徑300 m[10-12]。實現反射面的主動變位特性，500 m口徑球面射電望遠鏡采用柔性索網作為反射面的支撐結構，共包括6 670根主索單元及2 225個主索節點[13]。每個主索節點通過下拉索與促動器連接，通過控制促動器實現索網主動變位，形成拋物面或球面。500 m口徑球面射電望遠鏡主動反射面系統主要由圈梁、索網、反射面單元、下拉索、促動器等組成[14]，圈梁、索網總體結構示意如圖1所示。整個反射面系統是一個柔性索網+剛性反射面面板的組成結構，反射面單元通過專用連接機構與主索節點連接，鋪設在索網上，通過控制促動器調節主索節點實現反射面主動變位。

變位過程中，反射面單元碰撞分析研究是其運行工作的一項重要內容。在此碰撞主要指在某些運行情況下，索網之上與索網連接的相鄰兩個或多個反射面單元發生接觸并相碰，對望遠鏡索網變位產生隱患的情況。由于500 m口徑球面射電望遠鏡反射面系統組成單元數量龐大，實際變位過程中多種因素耦合作用，加之現場環境、促動器故障等影響，實際可能發生的組合效應很難預知。出于對望遠鏡運行整體穩定性的考慮，需對變位中反射面單元碰撞問題進行進一步分析研究。

圖1 500 m口徑球面射電望遠鏡圈梁、索網總體結構示意圖

1 反射面單元碰撞分析

基于索網與反射面單元的結構關系，探討反射面單元之間發生碰撞的主要因素。在某些變位情況下，主索節點受力產生相對位移，與之相關的主索單元承受應力變化，主索單元長度隨之變化，由這些主索單元和主索節點形成的索網空間發生變化，使索網之上與索網相連的相鄰三角形反射面單元之間的間距發生變化，從而可能引起反射面單元之間的接觸相碰。

變位中主索節點受力能夠反映在相關主索單元所受的應力變化上；同時，與索網相連的反射面單元連接機構的位移也在一定約束范圍內。可以在反射面單元發生可能碰撞情況下，將主索單元的應力變化值作為限值，進行碰撞分析，得出一種索網變位中判斷反射面單元碰撞的方法。從這一角度出發，筆者對單個三角形反射面單元及相關主索單元進行變位前后分析研究。

1.1 反射面單元連接機構與連接關系

500 m口徑球面射電望遠鏡反射面由4 450塊反射面單元鋪設而成，每塊三角形反射面單元通過三個頂點上的自適應專用連接機構與索網連接。整體反射面除與圈梁連接的反射面單元外，其余為三角形。由鋁合金結構背架、穿孔鋁板以及連接機構等組成。索網變位過程中，索網節點之間會有相對位移，剛性三角形反射面單元的三個頂點位置則相對固定[15]。

反射面單元連接機構自由度設計如圖2所示。三角形反射面單元通過三個連接機構(“0”、“1”、“2”)與主索節點相連，三個連接機構均為鉸接，完全釋放轉動自由度。連接機構“0”約束節點的三個平動自由度(Ux=Uy=Uz=0)，連接機構“1”釋放節點沿連接桿軸向的平動自由度(Uy=Uz=0)，而連接機構“2”釋放反射面單元平面內的兩個平動自由度(Uz=0)，在此約束條件下，假定與反射面單元連接的主索節點固定不動，則單個反射面單元為靜定結構[15]。其中連接機構“1”沿連接桿軸向的平動范圍約為±50 mm。反射面單元與主索節點連接方式如圖3所示，三角形反射面單元三個頂點處各有一切邊。

圖2 反射面單元連接機構自由度設計

圖3 反射面單元與主索節點連接方式

根據幾何拓撲關系，對于大多數不在索網邊緣的主索節點，有6個反射面單元與之關聯，反射面單元連接機構布置在剛性圓盤上，與主索節點相連接，也就是有6個連接機構放置在同一個主索節點盤上部的剛性圓盤上。由于連接機構“1”和“2”釋放了相應的平動自由度，兩個“1”或兩個“2”相鄰布置容易出現干涉等，“0”、“1”、“2”號連接機構間隔布置的形式被采納[15]，反射面單元連接關系如圖4所示。連接機構布置示意如圖5所示。

圖4 反射面單元連接關系

圖5 連接機構布置示意圖

1.2 基本假定與分析

單個反射面單元與主索單元在變位前及設定變位后的關系示意如圖6所示。內三角形表示反射面單元，a、b、c分別表示從三角形頂點處計算的反射面單元各邊長。外三角形表示主索單元，A、B、C分別表示三根主索單元的長度。

變位前基準態如圖6(a)所示，對于單個三角形反射面單元，圖中L表示此時與連接機構“0”對應的主索節點編號，L0表示與連接機構“0”對應的反射面單元三角形頂點處編號，變位后相應的點分別用L′和L0′表示。同理，用M、M1和N、N2分別表示與連接機構“1”和“2”對應的主索節點及反射面單元三角形頂點處編號，變位后相應的點分別用M′、M1′和N′、N2′表示。

d0、d1、d2分別表示與連接機構“0”、“1”、“2”對應的反射面單元三角形三個頂點與主索節點中心投影在反射面平面內節點的連線長度。球面基準態下，d0、d1、d2分別位于其相鄰兩主索夾角的平分線(平分角如圖分別為：∠α/2、∠β/2、∠γ/2)在節點盤平面內的投影方向上。

圖6 反射面單元與主索單元變位前及設定變位后關系示意圖

設定變位，如圖6(b)所示，以與連接機構“2”對應的反射面單元頂角切邊的中點為圓心做圓，設定變位后，與連接機構“2”對應的主索節點相關聯的兩根主索單元分別與此圓相切，留有冗余，此時反射面單元與主索單元在反射面平面內的投影處于可能接觸狀態。若反射面單元越過主索，則可能出現反射面單元相碰風險。在此時的設定情況下進行反射面單元的碰撞分析。

為簡化分析計算求解過程，忽略影響較小的因素，做出如下假定：

①反射面單元剛度較大，不考慮其彈性變形；

②主索節點盤盤面基本朝向索網球面法線方向，在運行過程中偏轉幅度很小，不考慮主索節點的轉動位移；

③結構中，連接機構軸向為相鄰兩主索夾角的平分線在節點盤平面內的投影方向，由于主索節點盤在實際運行過程中偏轉幅度不大，可以認為變位后“0”、“1”號連接機構也位于其夾角平分線上[15]，則上述與“0”、“1”號連接機構對應的d0、d1在變位后也位于其夾角平分線上。

1.3 碰撞模型基本公式

索網作為反射面單元的支撐結構，根據索網與反射面單元的構成關系，球面基準理論狀態時，可以認為反射面單元三角形與其關聯的主索單元各對應邊基本平行，且兩者所在平面基本平行。如圖6(a)，可以得出球面基準態時，從三角形反射面單元頂點處計算得出的邊長a、b、c與相鄰主索單元長度A、B、C的關系如下：

(1)

變位時，連接機構“1”發生沿連接桿軸向位移。如上所述，連接機構軸向為相鄰兩主索夾角的平分線在節點盤平面內的投影方向，故連接機構“1”軸向位移量可以體現在與其對應的d1值變化上。剛性反射面單元的邊長a、b、c在變位前后不變，以與連接機構“0”對應的主索節點L′為坐標原點，建立坐標系統。

在此坐標系下，如圖6(b)所示，進行反射面單元與主索單元在設定變位后的分析計算。隨著連接機構的軸向位移，與連接機構“1”相對應的d1也發生變化。記設定變位后主索單元的長度分別為A1、B1、C1，則依據設定變位后各主索節點的坐標，可計算得出各主索單元的長度，此時可知

a2=(A1-d0cos(α/2)-d1cos(β/2))2+(d0sin(α/2)-d1sin(β/2))2，

(2)

可得A1，則M′點的坐標為

(3)

則依據∠α/2，∠β/2，可得M′1的坐標；依據a、b、c及M1′的坐標，可求得∠1，∠2以及∠3，c不變，可得N2′的坐標。

如圖6(b)所示，n2′為與2號連接機構對應的反射面單元三角形頂角切邊的中點，可求出∠4，則依據∠3、∠4 、N2′點的坐標以及N2′到n2′的連線長度m，可得n2′坐標

(4)

以n2′為圓心做圓，此時計算主索單元L′-N′、M′-N′與圓相切，可得主索單元L′-N′在當前坐標系下的斜率kL’-N’，則反射面單元與主索單元在反射面平面內的投影可能接觸。另取M′點為坐標原點建立坐標系，橫、縱坐標方向不變，可得主索單元M′-N′在此坐標系下與圓相切的斜率kM’-N’，兩根主索單元相交于N′點，則N′點在原坐標系下的坐標

(5)

依據設定變位后L′、M′以及N′的坐標，可分別得出主索單元A1、B1、C1的長度分別為

(6)

則可以分別得出不同d1值在變位后對應的三根主索單元的長度變化量ΔA=A1-A,ΔB=B1-B，ΔC=C1-C，同時可以求出三根主索單元與基準態比較的應力變化值為

(7)

其中，E為每根主索單元材料的彈性模量。

2 碰撞判別準則

基于索網與反射面單元的結構關系以及合理假定，若反射面單元越過主索在反射面平面內有投影，則可能出現相碰風險。另外，考慮長期循環往復變位對主索應力以及索網疲勞的影響，上述設定變位后，計算出的每組主索單元應力值需滿足

(8)

同時還需滿足

(9)

其中，σA、σB、σC分別為主索單元的應力值，σA=ΔσA+σA0，為變位后應力變化值ΔσA與球面基準態時的預應力值σA0之和。σmax為正常變位主索應力的最大限值，主索材料的抗拉強度約為1 860 MPa[16],取冗余系數為2.5，則主索應力最大限值約為744 MPa；Δ為正常變位疲勞應力幅最大限值，約為500 MPa[17]。

另外，索網在500 m口徑范圍內連續變位，選取該范圍內的550個主索節點作為拋物面中心軌跡，可以在足夠精度下，得到主索應力變化歷程[17]，進而得到變化歷程中每根主索最大應力值σAmax、σBmax、σCmax。同時，每根主索最大應力值與最小應力值的差值小于應力幅最大限值Δ，故σAmax-Δ到σAmax涵蓋了當前主索單元變化歷程的最小應力值到最大應力值的范圍。

若上述設定變位后計算的每一組σA、σB、σC同時滿足上述條件，則反射面單元存在相碰可能，將其作為碰撞判別準則。每根主索單元在基準態下的預應力值可通過計算求出。

3 算例與討論

圖7 1/5區域(A區)主索單元及主索節點布置示意圖

500 m口徑球面射電望遠鏡主索及反射面單元布置分為A～E五個區，且滿足1/5旋轉對稱。A～E區的主索節點號采用“各區域字母+節點位置編號”的方式編制。由于其對稱性，選取1/5區域(A區)，其主索單元及主索節點布置示意如圖7所示。根據主索及反射面單元布置形式，選取一典型位置的主索單元以及對應的反射面單元進行計算，圖中標出了算例對應的主索單元及反射面單元。

參照1.3節表示方式，計算得出設定變位后，對應于反射面單元的主索單元應力值。由于實際上每塊反射面單元及相應主索單元的具體尺寸與長度不完全相同，故對于不同尺寸的反射面單元及主索單元需單獨再進行計算。

圖8 設定變位條件下算例計算的主索單元應力值

基準態時，算例中主索單元三邊的長度分別約為11 825.2 mm、11 795.2 mm、12 373.6 mm，取d1的初始值約為60 mm。前述設定變位后主索單元應力值表示為σA、σΒ、σC。設定變位條件下算例計算的主索單元應力值如圖8所示。其中σA=ΔσA+σA0,即主索單元A的應力值σA為設定變位后計算出的應力變化值ΔσA與基準態時的預應力值σA0之和，主索B、C同理。基準態時，算例中主索單元A、B、C的預應力值分別約為555 MPa、552 MPa、550 MPa。需將同一對應條件下三根主索單元應力值σA、σB、σC作為一組情況進行分析。

對算例結果進行對比發現，對應于同一個反射面單元的三根主索單元計算出的應力值中，有的主索單元的應力值小于零。由于主索在正常過程中僅受拉不受壓，故應力值小于零的情況一般不會出現，且應力值不處于主索應力變化歷程中應力值范圍之內，不滿足2節的條件。基于上述條件的計算方法可作為用于分析反射面單元碰撞的一種方法。

4 結束語

500 m口徑球面射電望遠鏡索網變位過程中，與索網相連的反射面單元的變位是必須考慮的因素。基于500 m口徑球面射電望遠鏡索網與反射面單元結構關系，從構成索網的主索單元變位前后應力的角度來分析反射面單元的碰撞，并從整體反射面系統中提取單個三角形反射面單元及對應主索單元，進行了分析和計算，同時提供了算例。總結如下：

(1)對于文中設定條件下反射面單元算例，基于上述假定及近似計算方法，在主索已有的各安全及疲勞應力設計限值下，正常變位中(不包括促動器故障或失控、連接機構異常、主索及下拉索材料性能參數變化、反射面控制問題或控制異常等)，沒有出現碰撞風險。

(2)提出了索網變位中，通過計算主索應力實現對反射面單元碰撞問題分析的方法，為變位整體運行提供冗余保障。

(3)提供了反射面單元在可能出現相碰風險的設定條件下主索應力的近似計算方法。