基于修正Z變換法的數字控制系統

楊 栩

（成都師范學院物理與工程技術學院，成都611130）

0 引言

數字控制系統中存在數字部分和連續部分，系統中含有采樣信號，而被控對象大多為連續信號，數字控制系統可以等效為一個數字系統，用Z變換法來分析系統，系統輸出響應為周期采樣點上的輸出。采樣周期之間的輸出信息很難獲得，如果要得到更多的輸出點信息，一般通過改變采樣周期的大小來實現。但是采樣周期T不能隨意改變，減小T可以獲取更多的采樣點信號，信號恢復精度越高，但是T過小，會使執行效率下降，增加運算，在工程實踐中也不允許T過小，這會給信號恢復和分析帶來困難。

修正Z變換法在不改變采樣周期T的前提下，通過對系統輸出增加一個虛擬延時環節，在采樣周期內任意延時，通過修正Z變換法，能得到任意時刻的輸出，從而實現信號的連續輸出。

1 數字控制系統

在計算機控制系統中，控制系統由數字部分和連續部分構成的混合系統，在系統中有離散采樣信號和連續信號，等效為數字部分和連續部分。數字部分表示計算機控制算法，輸入和輸出皆為離散序列，用D(Z)表示；連續部分等效為連續被控對象和零階保持器串聯構成。計算機控制系統結構框圖如圖1所示。

圖1 數字控制系統結構框圖

圖2 控制系統在采樣時刻輸出值

系統分析時，只能得到控制系統在采樣周期整數倍時刻的輸出序列C（k），而被控對象大多是連續部分，實際輸出是連續信號。為了能補齊采樣點時刻之間的連續輸出，可以采用修正Z變換法獲得非采樣點之間的輸出。

2 修正Z變換法

圖3 輸入信號 f（t）延時 βT（0＜β＜1）

號f（t）的修正Z變換F（Z，m）表達式為式（1）：

對于用F(S)表示的連續函數，修正Z變換表達式為式（2）：

當m=0時，β=1，相當于信號延遲一個采樣周期；當m=1時，β=0，若f(0)=0，則修正Z變換為一般Z變換。

3 修正Z變換法在數字控制系統中的應用

系統輸出為連續信號，為了統一數字連續部分，可以給輸出加一虛擬滯后環節（0＜β＜1），等效為時域的延時環節，計算機控制系統結構框圖如圖4所示：零階保持器和連續系統等效為連續系統G(S)。

系統輸出為式（3）：

圖4 計算機控制系統結構框圖

虛擬滯后環節e-βTs（0＜β＜1），Z變換為修正Z變換 C（Z，m）表達式為式 4（m=1-β）。

采樣系統經過修正Z變換后的系統函數為式（5）

圖5 控制系統經修正Z變換法后系統輸出值

其中，紅色圓圈處值為控制系統在整數倍采樣周期時刻的輸出值，不同顏色虛線表示控制系統經βT(0≤β≤1)延時后系統輸出，通過延遲不同的時間，可以得到非整數倍采樣周期時刻的輸出信號。當β=1，輸出與非修正Z變換輸出一致，當β=0，輸出恰好為非修正Z變換的下一采樣點值，當0＜β＜1時，輸出為非整數倍采樣周期時刻的值，其值大小介于非修正Z變換的兩個采樣點值之間，本圖中β取值步長為0.1。

為了更直觀地觀察控制系統非周期整數倍時刻的輸出值，對控制系統采用修正Z變換法，延時時間步長取更小的β為0.01，將系統輸出值與采樣時刻對應，可以獲取更多的非周期采樣點上的輸出值，控制系統經修正Z變換法后系統輸出如圖6所示。

圖6 控制系統經修正Z變換法連續輸出響應

4 小結

通過仿真圖可以看出，系統輸出為連續輸出，除了采樣點處有值外，采樣點之間也不失真的還原了連續系統的輸出。本方法達到了預期效果。修正Z變換法在不改變采樣周期T的前提下，通過對系統輸出增加一個虛擬延時環節，能夠得到任意時刻的輸出，從而實現信號的連續輸出。