注重概念形成過程，深刻理解概念本質

蒙正紅

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）21-0-02

本節課是上教版九年級義務教育教材上學期第26章的第一節課——二次函數的概念。二次函數是初中數學學習中的重要內容之一，它是在學習了正比例函數、反比例函數、一次函數之后的學習內容，它不僅強化了學生對函數概念的深入理解、對研究函數方法進一步熟悉、而且也為高中繼續學習其它函數打好基礎。因此本節課采用了整體感知的教學方法，讓學生從已學概念函數出發，通過類比一次函數的學習過程，即通過實例，概括、歸納逐步形成，來學習二次函數。同時，函數的學習也與其他數學知識內容相聯系，從而使學生逐步形成運用模型解決問題的意識。在教學中要重視學生經歷二次函數概念的形成和建構過程，在概念的學習過程中，讓學生體驗用函數思想去描述、研究變量之間變化規律的意義，從而發展學生的學習能力。現以“二次函數的概念”一課的課堂教學片段為例，談談自己在概念教學中的一些想法。

一、課堂教學實錄及策略分析

（一）聯系生活，引出概念

1.復習提問，回顧舊知：

（1）什么是函數？

（2）我們之前已經學習過哪些函數？

（3）這些函數解析式和定義域分別是怎樣的？

課堂實錄：通過老師的一系列問題，使學生理解學習函數的基本套路，對于函數的定義域是怎樣確定的，可以追問：三個函數的定義域都是一切實數嗎？生：不是，正比例函數和一次函數的定義域是一切實數，反比例函數的定義x≠0的一切實數。師追問：為什么？生：因為正比例函數和一次函數是表示自變量的代數整式，而反比例函數是表示自變量的代數分式。在一次函數y=kx+b中，這里的k取值有什么要求？生答：k≠0。當k=0時，解析式為y=b（b為常數），這就不是一次函數了。師：此時是什么函數？生：常值函數。師：這里的b可以為零嗎？生：可以。層層設問目的是讓學生會對之后學習的二次函數的解析式的表達形式有初步的印象。）

2.聯系實際，情境引入

師：函數在我們的日常生活中應用十分廣泛，下面我們一起來看4個實際問題，其中兩個變量之間又會存在怎樣的函數關系呢？

（1）一個邊長為x厘米的正方形，若它的面積是y平方厘米，則y關于x的函數關系式是________________;

（2）一個圓的半徑是x米，另一個圓的半徑是1米，若它們的面積和是y平方米，則y關于x的函數關系式是________________;

（3）某廠四月份的產值是100萬元，設第二季度每個月產值的增長率相同，都為x（x>0），六月份的產值為y萬元，則y關于x的函數解析式是__________;

（4）如圖，用長為20米的籬笆，一面靠墻（墻的長度超過20米），圍成一個矩形花圃，設AB邊的長為x米，花圃的面積為y平方米，則x的函數關系式是________________;

策略分析1：在教學設計時我沒有選擇直接給出概念，而是把教學重點放在了概念的形成過程。復習已學的函數舊知是為了幫助學生回憶函數的思想方法及討論的內容，弄清變量、函數、常量等概念的內涵，為新知二次函數的概念的學習做好鋪墊。其中“類比”是幫助學生正確理解概念的有效方法，因此在引入概念的教學過程中，我設計與一次函數作類比，體會函數學習一般過程;對于實際問題的選擇，我引入了公式例題和生活實際問題，同時利用這4個實際問題在講解實際問題中的定義域時，貫穿整個課堂的始終，使整個課堂有渾然天成的感覺。

（二）合作交流，提煉概念

仔細觀察上述4個函數是我們之前學的三類函數嗎？歸納它們的共同點，并嘗試寫出2個具有上述特點的函數關系式。（學生歸納：4個等式的右邊都是整式，而且都有二次項。）

課堂實錄：根據學生敘述揭示課題——二次函數。師：那么到底什么是二次函數呢？根據剛才的觀察和歸納，請哪位同學用比較準確的語言概括一下？（生：我們把具有二次項的整式，叫做關于x的二次整式，4個等式的左邊都是關于x的二次整式，右邊都是關于x的函數，那么我們把具有這樣特征的函數叫做二次函數。（板書課題：二次函數的概念）

【板書：1、概念——一般地，解析式形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數，）（a≠0）的函數叫做二次函數。】

追問：表達式中的為什么不等于0？

師：我們判定一個函數是二次函數，通常是從它的形式上去觀察，如果表示一個的函數的解析式是一個關于自變量的二次整式，那么這個就是二次函數。那么二次函數的定義域又是什么呢？生：一切實數。師：為什么？生：因為右邊的式子是二次整式。【板書：2、定義域——一切實數】

策略分析2：引導學生通過觀察、舉例、討論交流、由學生自己得出二次函數的本質特征和相關概念，讓學生經歷概念的形成過程，發展學生歸納與抽象的能力。問題難易有序，為二次函數的概念提供啟發，讓學生經歷知識的形成過程，經歷二次函數概念的抽象過程（如歸納總結環節），發展學生歸納與抽象的能力，在經歷概念形成的過程中，再次感受函數概念學習的基本思路，使學生積累了基本數學經驗，從整體上提升了學生的數學素養。

（三）全面剖析，理解概念

判斷在下列的關系式中，哪些是y關于x的二次函數？

（1）;（2）;（3）;（4）;

（5）;（6）;（7）（其中a、b、c是常數）

（學生合作交流，教師巡視，答疑）

課堂實錄：共同辨析（7）y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常數）

師：好，請同學來回答下，這個函數到底是什么函數？

生①：我認為當a不等于0時，這個函數是二次函數，當a等于0時，這個函數是一次函數。

生②：同意前半句，因為當a等于0時，只有當且b不等于0時，它才是一次函數，而b也等于0時，就是常值函數了。

生③：我認為當a=0，b不等于0，c=0時，這個函數是正比例函數。

師：我發現，剛才大家在討論的過程當中，有同學告訴我答案是都可以，那考試的時候你們可以直接填答案“都可以”嗎？也有的同學說是二次函數、一次函數和正比例函數，那我想問什么時候是二次函數，什么事一次函數呢？這時需要我們對它答案的每種情況進行分類討論。）

策略分析3：這里緊扣概念中關鍵性的字眼，從二次函數一般式的形上面找特點，再從自變量上反思，最后在各個系數上分類討論，既體現了知其然又知其所以然，又體現了分類化歸的思想，既能使使學生徹底理解了二次函數的概念，又可培養學生嚴謹的科學態度，使他們認識到敘述概念必須確切精煉，從而增強他們運用概念時科學分析的自覺性。本題不僅鞏固對二次函數概念的理解，也是加強對一次函數和其它函數概念的理解。對函數概念的理解有了更強的深度和廣度。

（四）例題講練，運用概念

圓柱的體積V的計算公式π，其中r是圓柱底面積的半徑，h是圓柱的高。（1）當r是常量時，V是h的什么函數？（2）當h是常量時，V是r的什么函數？

課堂實錄：生：第一個V是h的一次函數。師：你是怎么想的？生：因為當r是常量時，就是個常量系數，而就是關于h的一次整式，所以V是h的一次函數。師：當h是常量時呢？生：當h是常量時，我認為V是r的二次函數，因為這時是常量系數，是二次整式，所以V是r的二次函數。

策略分析4：加強函數中對變量的認識，不斷挖掘二次函數概念的進一步理解二次函數概念，加深學生對二次函數概念理解和掌握的深度。

（五）拓展延伸，升華概念

1.已知函數，當這個函數是二次函數時，求m的取值范圍。

2.變式1，已知函數，當這個函數是二次函數時，求m的值。

3.變式2，已知函數，當這個函數是二次函數時，求m的值，并寫出函數解析式。

課堂實錄：學生獨立思考，教師巡視并提示，在解題時，應時刻注意二次函數的特征。生①：我認為m-1不等于0，且m+2=2，所以m=0，這時函數解析式為。生②：因為這個函數是二次函數，所以我在解析式中找二次項，發現有，而這一項是未知的，可以是二次項，一次項，也可以是常數項，所以我要對這一項進行分類討論，所以有3種情況。

師：很好，那我們按照剛才這位同學的思路，再來解決一下。

生：當是二次項時，m=0，則;當是一次項時，m=-1，則;當是常數項時，m=-2，則。

生③：老師，我覺得還有一種情況，如果是常數項的話，也可以是0，這時只要考慮系數為0，即m=1就可以了，不需要討論這一項的指數。即。

師：非常好，我們在考慮這道題的時候，因為這個函數是二次函數，而它的解析式當中本身就有二次項，前面這一項呢就有可能是二次項、一次項或者常數項。那我們在考慮時應從這三種情況分類討論。

策略分析5：最后變式題的設計和提出，是整節課的一個高潮和精華，學生理解困難較大，為了降低難度，我對題目進行分解，做了變式，層層遞進，目的是為了讓學生變式2有更好的理解。另外培養學生變換角度分析問題，對二次函數概念進一步升華。

（六）歸納小結，整理概念

這節課我們學習了哪些內容？你有什么收獲？

策略分析6：讓學生來談本節課的收獲，可以培養學生自我檢查、自我小結的良好習慣，將知識進行整理并系統化。而且由此可了解到學生還有哪些不清楚的地方，以便在今后的教學中補充。

二、反思與體會

1.重視數學概念的引入方法，激發學習興趣

數學概念學習是對一種數學對象本質屬性的概括抽象，是一個不斷感知經驗的活動過程，是一個主體不斷加工和修正對象，最終達到主體對對象的建構過程。其核心是抽象。這節課讓學生原有的認知的基礎上，通過具體的例子，提供問題情景，使用知識遷移，類比一個函數的概念，形成二次函數的概念，進一步體會二次函數是非常重要的數學模型來描述變量之間的依賴關系，使學生在問題情境在構建二次函數的意義，提高對二次函數概念的理解。讓學生在復習中溫故而知新，在應用中得到發展，從而使知識轉化為能力。

2.挖掘數學概念的本質特征，學透概念

概念引入后，學生初步地了解了概念的定義，并不等于完全理解概念的本質.為此，還必須在感性認識的基礎上，對概念做全面的分析，采用不同的方法從不同角度和方位揭示概念的本質。任何一個概念都有其各自的本質特征，要采用各種手段，分析概念本質特征，以帶動對概念的全面理解。尤其是例1中的第7題，不僅是對二次函數的形式辨析的鞏固，更是對引出二次函數概念實質的理解，過渡自然巧妙，使學生進一步體會數學分類討論的思想。在教師的整體調控下，學生通過動腦思考、層層遞進，對知識的理解逐步深入，使課堂效益達到最佳狀態。

3.不斷發展學習的深度和廣度，強化概念

在教學中，雖然教師講清了概念，但不表示學生也真正弄懂了概念，更不知道學生是否理解了概念。而學生學習數學概念是為了解決數學問題，對數學概念理解不深刻，解題的時候就會出現這樣或那樣的錯誤。因此，教師應該根據學生的知識結構和能力特點，從深度和廣度著手，充分揭示概念的內涵和外延，引導學生正確分析概念，抓住概念的本質，以此加深對概念的理解。通過建立概念體系，習題變式等幫助學生理解概念。

“磨刀不誤砍柴工”，重視概念教學，挖掘概念的內涵和外延，更有利于學生理解概念。這樣學生才能經歷概念形成過程、滲透數學思維思想、發展靈活運用能力。