近世代數中某些問題的幾何解釋

鄭雨婷 陳匯 孫美寧

近世代數又稱抽象代數，其作為數學的一門學科，主要研究對象是代數結構，比如群、環、域、模、矢量空間和代數。近世代數這門課程具有極高的抽象性，在一定程度上，這門課程中的很多概念是從一些具體的數學模型中抽象出的一般結構.另外，每一次抽象回到具體，能夠化解一些具體問題，甚至能解決一些以前不能解決的問題。

幾何學與近世代數相聯系，用幾何的知識如：圖形變換、向量運算和空間曲面等，來解釋近世代數的相關問題，將抽象的近世代數問題具體化，使學者在學習過程中更加直接明了的理解相關理論。

近世代數不同于高等代數的深化具體，更偏向于抽象。國內雖早已對其有研究，還有很大的空間等待我們去發現和思考。我們從學生的角度出發，以課本為基礎，思索問題的方法更新穎。

1 研究背景

近世代數是數學系本科的一門重要專業基礎課， 也是學習代數數論、代數幾何、代數拓撲等基礎數學課程及計算代數、編碼等應用數學課程所必需的一門基礎課。近世代數是數學與應用數學專業一門非常重要的專業必修課， 其特點是高度抽象， 邏輯性強， 推理嚴謹。學生普遍認為是一門難懂難學的課程， 加之課程由大學三年一期開設， 提前到二年一期， 更加加大了學生的壓力。因此讓近世代數變得更直觀，易理解顯得尤為重要。

2 研究內容

為了達到研究目的，我們主要通過參考圖書館文獻，通過已學習的知識，針對確立的具體問題，將近世代數與幾何思想進行轉變與融合。研究內容具體如下：

1. 近世代數也是一些幾何模型的抽象，群的定義引入就可以用幾何對稱圖形

例如，歐氏平面上正交變換構成群，所以正交變換具有下列三個性質：

• 恒等變換是正交變換
• 正交變換的逆變換是正交變換
• 兩個正交變換的乘積仍然是正交變換
• 近世代數的一些思想可以用過具體的幾何圖像得以直觀的解釋，比如配給的分類思想，見下例：
• 是群R關于子群H的包含r的一個陪集。對于一個給定的r，凡是可以寫成2kπ+r的數都在中，它們是實數軸上相距2k的所有點組成的點集。

2.3群的圖像是用平面或空間有向線段來表示群的網絡圖

它是19世紀數學家凱萊首先引進的，因此群的圖像也稱凱萊圖。

例如：設G=〈a〉是3階循環群，G={e，a，a²}。在平面上任取一點e作為起點，e是群的單位元，以標有箭頭的有向線段表示右乘群G的生成元a，有向線段的終點是右乘a的結果。右乘a的逆元a^-1是沿著與箭頭所指方向相反的方向移動一條有向線段。3階循環群G=〈a〉的圖像如圖1所示。

循環群的圖像有以下特點：

①循環群有多少個元素，他的圖像上就有多少個頂點，任何一個頂點都可以作為起點表示單位元e;

②在每一個頂點處有兩條線段，沿箭頭方向移動一條有向線段，表示右乘生成元，沿著與箭頭相反的方向一動一條有向線段，表示右乘生成元的逆元;

③圖像網絡采用什么形狀沒有特殊要求，只要不有損數學意義，可選擇較美觀的形狀。

除以上內容，還可以在近世代數的群，環，域的不同部分，選取適當的知識點理論，對其分析研究，將理論的描述，用幾何中的圖形變換、向量運算和空間曲面等進行，對它的性質，特點進行描述，使抽象的理論具體化，方便應用于解決其他領域相關問題。

3 創新之處

①將近世代數中某些抽象的概念與幾何圖形相聯系，更加突出理論中所強調的重點，加深初學者對于理論內容的理解，記憶程度，便于應用。

②從學生的角度出發，為初學者加深對抽象代數學的理解，學好這門科學提供便利途徑，在教與學的過程中，使代數與幾何相互聯系、相互促進。

③培養學生運用代數與幾何相聯系的方法分析問題解決問題的能力。

4 應用前景

近世代數也是幾何模型的抽象，由幾何對稱圖形引入群的定義;近世代數的一些思想可以通過具體的幾何圖得以直觀的解釋。將近世代數與幾何的相互結合與滲透，在未來近世代數的課程中，將會改變近世代數的教授方法，將代數與幾何聯系起來，使學生們后更直觀地學習近世代數這門學科。而學生通過對近世代數的更深入地學習，將之前認為純理論化的東西，轉換為可以解決生活中實際問題的有效工具（例如，例如在墻紙裝飾上結合群的知識實現圖形覆蓋），并且應用近世代數的視角更好的解決問題，例如，正方形的對稱群問題，二元域，凱撒密碼，分子同構問題等。

項目名稱：近世代數中某些問題的幾何解釋，項目編號：L（B）2018088，項目級別：B級。

（作者單位：沈陽師范大學數學與系統科學學院）