分類思想在數學教學中的滲透

李友明

四川省江油實驗學校 621700

引言：所謂數學分類討論方法，就是將數學對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種數學方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性。

分類討論思想，貫穿于整個中學數學的全部內容中。需要運用分類討論的思想解決的數學問題，就其引起分類的原因，可歸結為：①涉及的數學概念是分類定義的；②運用的數學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的；③求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能；④數學問題中含有參變量，這些參變量的取值會導致不同結果的。應用分類討論，往往能使復雜的問題簡單化。分類的過程，可培養學生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進學生研究問題，探索規律的能力。分類思想不象一般數學知識那樣，通過幾節課的教學就可掌握。它根據學生的年齡特征，學生在學習的各階段的認識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內涵。

教學中可以從以下幾個方面，讓學生在數學學習過程中，通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對分類思想的主動應用。

一、滲透分類思想，養成分類的意識

每個學生在日常中都具有一定的分類知識，如人群的分類、文具的分類等，我們利用學生的這一認識基礎，把生活中的分類遷移到數學中來，在教學中進行數學分類思想的滲透，挖掘教材提供的機會，把握滲透的契機。如數的分類，絕對值的意義，不等式的性質等，都是滲透分類思想的很好機會。

整數、分數正有理數、零、負有理數，教授完負數、有理數的概念后，及時引導學生對有理數進行分類，讓學生了解到對不同的標準，有理數有不同的分類方法。

認識數a 可表示任意數后，讓學生對數a 進行分類，得出正數、零、負數三類。

講解絕對值的意義時，引導學生得到如下分類：通過對正數、零、負數的絕對值的認識，了解如何用分類討論的方法學習理解數學概念。

又如，兩個有理數的比較大小，可分為：正數和正數、正數和零、正數和負數、負數和零、負數和負數幾類情況來比較，而負數和負數的大小比較是新的知識點，這就突出了學習的重點。

結合“有理數”這一章的教學，反復滲透，強化數學分類思想，使學生逐步形成數學學習中的分類的意識。并能在分類討論的時候注意一些基本原則，如分類的對象是確定的，標準是統一的，如若不然，對象混雜，標準不一，就會出現遺漏、重復等錯誤。如把有理數分為：正數、負數、整數，就是犯分類標準不一的錯誤。在確定對象和標準之后，還要注意分清層次，不越級討論。

二、學習分類方法，增強思維的縝密性

在教學中滲透分類思想時，應讓學生了解，所謂分類就是選取適當的標準，根據對象的屬性，不重復、不遺漏地劃分為若干類，而后對每一子類的問題加以解答。掌握合理的分類方法，就成為解決問題的關鍵所在。

分類的方法常有以下幾種：

1、根據數學的概念進行分類

有些數學概念是分類給出的，解答此類題，一般按概念的分類形式進行分類。

2、根據數學的法則、性質或特殊規定進行分類

學習一元二次方程，根的判別式時，對于變形后的方程，用兩邊開平方求解，需要分類研究大于0，等于0，小于0 這三種情況對應方程解的情況。而此題的符號決定能否開平方，是分類的依據。從而得到一元二次方程的根的三種情況。

例1、解關于x 的不等式：ax+3＞2x+a

分析通過移項不等式化為（a-2）x＞a-3 的形式，然后根據不等式的性質可分為a-2＞0，a-2=0，和a-2＜0 三種情況分別解不等式。

當a-2＞0，即a＞2 時，不等式的解是x＞(a-3)/（a-2）

當，a-2=0，即a=2 時，不等式的左邊=0，不等式的右邊=-1

因為0＞-1，所以不等式的解是一切實數。

當a-2＜0，即a＜2 時，不等式的解是x＜(a-3)/（a-2）

3、根據圖形的特征或相互間的關系進行分類

如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，直線和圓根據直線與圓的交點個數可分為：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交。

例2、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，底邊長為a，則其腰上的高是？

分析：根據題意，把等腰三角形分為銳角三角形和鈍角三角形兩類作高CD。

三、引導分類討論，提高合理解題的能力

初中課本中有不少定理、法則、公式、習題，都需要分類討論，在教授這些內容時，應不斷強化學生分類討論的意識，讓學生認識到這些問題，只有通過分類討論后，得到的結論才是完整的、正確的，如不分類討論，就很容易出現錯誤。在解題教學中，通過分類討論還有利于幫助學生概括，總結出規律性的東西，從而加強學生思維的條理性，縝密性。

一般來講，利用分類討論思想和方法解決的問題有兩大類：；其一是涉及代數式或函數或方程中，根據字母不同的取值情況，分別在不同的取值范圍內討論解決問題。其二是根據幾何圖形的點和線出現不同位置的情況，逐一討論解決問題

例3、已知函救y=（m-1）x+（m-2）x-1（m 是實數）。如果函數的圖象和x 軸只有一個交點，求m 的值。

分析：這里從函數分類的角度討論，分m-1=0 和m-1≠0 兩種情況來研究解決問題。

解：當m=l 時函數就是一個一次函數y=-x-1，它與x 軸只有一個交點（-1，0）。

當m≠1 時，函數就是一個二次函數y=（m-1）x+（m-2）x-1

當△=（m-2）+4（m-1）=0，得m=0.

拋物線y=-x-2x-1，的頂點（-1，0）在x 軸上.

由以上的幾個例子，我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復雜的問題變得異常簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。另一方面在討論當中，可以激發學生學習數學的興趣。注意幾種思想方法的綜合使用，給學生提供足夠的材料和時間，啟發學生積極思維。使學生在認識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的效果。