函數(shù)極限的幾種常用求法

楊丹　李本雄　張敏

摘 要 函數(shù)極限是微積分知識(shí)的基礎(chǔ)，是微積分學(xué)中各種計(jì)算方法和概念得以應(yīng)用與建立的前提，其應(yīng)用也十分廣泛。但函數(shù)極限種類繁多，在實(shí)際解題中容易出錯(cuò)。因此，本文詳細(xì)的闡述了函數(shù)極限的幾種常用方法，而且把每一種方法的特點(diǎn)及注意事項(xiàng)作了詳細(xì)重點(diǎn)說(shuō)明，并以實(shí)例加以解釋。

關(guān)鍵詞 函數(shù)極限 求解方法

中圖分類號(hào)：G712文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

函數(shù)極限理論是微積分的重點(diǎn)，同時(shí)函數(shù)極限也為微積分的發(fā)展奠定基礎(chǔ)，這部分內(nèi)容的掌握直接影響到后面導(dǎo)數(shù)和積分的學(xué)習(xí)。下面對(duì)求函數(shù)極限的幾種常用方法進(jìn)行總結(jié)，并分別輔以例子加以解釋，使學(xué)生能夠更靈活的運(yùn)用這些方法來(lái)求極限。

1四則運(yùn)算法則法

定理：設(shè)則

（1）;

（2）;

特殊地，設(shè)為常數(shù)，則

。

（3）

推廣：

（1）有限個(gè)函數(shù)之代數(shù)和的極限等于各個(gè)函數(shù)的極限之代數(shù)和;

（2）設(shè)，則。

（3）設(shè)為常數(shù)，則。

利用函數(shù)的四則運(yùn)算法則對(duì)有理函數(shù)及有理分式函數(shù)求極限。這是極限運(yùn)算中，算常見的方法，不過(guò)要著重強(qiáng)調(diào)運(yùn)算法則中的充分非必要條件（分母不為零），所以，在運(yùn)用這種方式解題時(shí)，要對(duì)每個(gè)已知條件進(jìn)行驗(yàn)證。

例1：求極限。

解：

2兩個(gè)重要極限公式法

兩個(gè)重要極限是和。利用兩個(gè)重要極限公式來(lái)求函數(shù)的極限時(shí)，要對(duì)函數(shù)形式仔細(xì)觀察，只有形式符合或經(jīng)過(guò)變形后符合這兩個(gè)重要極限的形式才能運(yùn)用此公式法來(lái)求極限，如、、。一般常用的方法是換元法和配指數(shù)法。

例2：求極限。

分析：是型的未定式且式中含有正弦函數(shù)，但分母和分子中方框沒(méi)代表同一量，須變?yōu)橄嗤?/p>

解：。

例3：求極限。

分析：不能直接利用重要極限，先要化簡(jiǎn)。將其底變?yōu)椤?+無(wú)窮小”，（中間必須是“+”），而指數(shù)為無(wú)窮小的倒數(shù)。

解：

。

3運(yùn)用無(wú)窮小量求極限

無(wú)窮小量在求解函數(shù)極限中主要有三種應(yīng)用：一是利用無(wú)窮小的定義、二是利用“有界無(wú)窮小”性質(zhì)、三是使用等價(jià)無(wú)窮小代換法求極限。

例4：求極限。

解：將分子分母分別提取，從而有

例5：求極限

解：當(dāng)時(shí)，是有界變量（因?yàn)椋覟楫?dāng)時(shí)的無(wú)窮小量，根據(jù)有界變量與無(wú)窮小的乘積仍是無(wú)窮小的性質(zhì)得

。

例6：求極限

解：當(dāng)時(shí)，，所以

.

4運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限

在函數(shù)極限問(wèn)題的求解中，洛必達(dá)法則多用來(lái)求未定式極限，要求在點(diǎn)的空心鄰域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且作分母的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不為零。在求函數(shù)極限時(shí)，對(duì)于型或型未定式，以及像型、型、型、型型等利用取倒數(shù)，通分或取對(duì)數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為或型未定式。這時(shí)，如函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則不適用，但極限仍可能存在，求這類未定式極限的有效方法就是洛必達(dá)法則。但并不是所有的或型未定式都能利用洛必達(dá)法則求極限，若無(wú)法斷定的極限狀態(tài)或能斷定它振蕩而無(wú)極限，則洛必達(dá)法則失效，這是函數(shù)極限存在的充分條件，值得注意的是洛必達(dá)法則可循環(huán)使用。

例7：求極限。

解：這是型未定式，運(yùn)用洛必達(dá)法則

。

利用洛必達(dá)法則求極限，由于分類明確，規(guī)律性強(qiáng)，且可連續(xù)進(jìn)行運(yùn)算，可以簡(jiǎn)化一些較復(fù)雜的函數(shù)求極限的過(guò)程，但運(yùn)用時(shí)需注意條件。

5利用夾逼定理計(jì)算函數(shù)極限

利用夾逼定理計(jì)算函數(shù)極限，基本定理為：若對(duì)于的某去心鄰域內(nèi)的一切，都有，且，則。

若函數(shù)極限不容易通過(guò)直接的計(jì)算方式獲取，我們可以考慮適當(dāng)?shù)膶O限的變量放大或縮小，要求放大或縮小后的極限容易求出，此時(shí)常將其放大到最大項(xiàng)的整數(shù)倍，縮小到最小項(xiàng)的整數(shù)倍，但是要保證放大或縮小之后，所獲取的極限值與原有極限值相同，即兩者是等價(jià)無(wú)窮小，這樣便可以有效的實(shí)現(xiàn)等價(jià)計(jì)算。

本文總結(jié)了求函數(shù)極限的幾種常用方法。如能熟練掌握本文總結(jié)的幾種方法，已經(jīng)能夠?qū)瘮?shù)極限的求解問(wèn)題有一個(gè)較全面和深刻的認(rèn)識(shí)，也能夠解決一大部分函數(shù)極限求解問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)

[1] 劉金舜，羿旭明.高等數(shù)學(xué)教程[M].科學(xué)出版社，2013.