淺析第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

袁田　王琴　李本雄

摘 要 18世紀(jì)，英國貝克萊大主教抓住了當(dāng)時(shí)微積分中一些不合邏輯的問題，由此引起了數(shù)學(xué)界長達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭論，造成第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是圍繞微積分誕生初期的基礎(chǔ)定義展開的一場曠日持久的爭論。

關(guān)鍵詞 第二次數(shù)學(xué)危機(jī) 牛頓 貝克萊悖論 極限理論

中圖分類號：O172.1文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1第二次數(shù)學(xué)危機(jī)及其產(chǎn)生背景

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)生在牛頓創(chuàng)立微積分的17世紀(jì)。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)是由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派內(nèi)部提出的，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)則是由牛頓學(xué)派的外部，甚至是數(shù)學(xué)家群體的外部提出的，是對牛頓“無窮小量”說法的質(zhì)疑引起的。

牛頓的微積分是一項(xiàng)劃時(shí)代的科學(xué)成就，但也有邏輯上的問題。我們先從一個(gè)例子看看，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是如何引發(fā)的。在牛頓之前，人們只能求物體在一段時(shí)間內(nèi)的平均速度，無法求物體的某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。

我們以自由落體運(yùn)動為例，來看看牛頓的思考。

設(shè)自由落體在時(shí)間t下落的距離為S（t），則有S（t） = gt2其中g(shù)為重力加速度，求物體在t0時(shí)刻的速度。

分析：先求在[t0，t1]這段時(shí)間內(nèi)速度的平均值，用下落距離的改變量除以時(shí)間的改變量。

推導(dǎo)如下，取一段時(shí)間[t0，t1]，

S= S（t1）? S（t0） = gt12? gt02

= g[（t0 +t）2? t02] = g[2t0 t+（ t）2]

∴ =? gt0 + g（ t）

將上式記為（*）式。

這個(gè)（*）式右邊有兩項(xiàng)，一項(xiàng)是gt0，它是不依賴于時(shí)間的改變量，另一項(xiàng)是g（ t），它是依賴于時(shí)間的改變量。

牛頓考慮：當(dāng) t越小的時(shí)候，這個(gè)平均速度就越接近物體在時(shí)間t0這個(gè)時(shí)刻的瞬時(shí)速度;如果讓 t變成無窮小量，那么這個(gè)平均速度就成為物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度了呢？而當(dāng) t變成無窮小量的時(shí)候，右端的g（ t） 也變成無窮小量。因而，（*）式右端可以認(rèn)為就是gt0。gt0就是物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度。

由于時(shí)間的改變 t為無窮小量時(shí)，距離的改變 S也是無窮小量，因此牛頓認(rèn)為瞬時(shí)速度是兩個(gè)無窮小量（）的比。牛頓的這個(gè)方法很好用，解決了大量過去無法解決的問題，因此微積分的方法被廣泛接受，并得以迅速推廣。

但是牛頓的理論在邏輯上不嚴(yán)格，遭到了責(zé)難。英國大主教貝克萊發(fā)表文章，對牛頓的理論進(jìn)行猛烈攻擊。貝克萊質(zhì)問，這個(gè)無窮小量 t作為一個(gè)量，究竟是不是零？在牛頓的推導(dǎo)中，有邏輯上的問題。在（*）式 = gt0 + g（ t）中，如果無窮小量是零，那么（*）式的左端中分母就沒有意義;如果無窮小量 t不是零，那么右端就不能把g（ t）任意去掉，變成gt0。

貝克萊還質(zhì)疑，在推出（*）式，假設(shè)的前提是 t不等于零，才能作除法。他指出這種方法很荒謬，還反唇相譏，既然 t和 S都變成無窮小量，而無窮小量作為一個(gè)量，既不是零又不是非零，那它就是量的鬼魂。這就是著名的“貝克萊悖論”。這一悖論的發(fā)現(xiàn)，在當(dāng)時(shí)引起了一定的思想混亂，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次危機(jī)，引起了持續(xù)200多年的微積分基礎(chǔ)理論的爭論。

2第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)及解決

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)，是“極限”的概念不清楚，極限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是說微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。牛頓曾說明“最終的比”，分母、分子要成為零還不是零時(shí)的比，比如 = gt0 ，不是最終量的比，而是比最終趨于的極限。牛頓雖然提出和使用了極限這個(gè)詞，但是并沒有在嚴(yán)格意義下，說清楚這個(gè)詞的意思。德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨雖然也同時(shí)發(fā)明微積分，但是也沒有明確給出極限的定義。正因?yàn)槿绱耍撕笠话俣嗄觊g的數(shù)學(xué)家都無法滿意解釋貝克萊提出的悖論。由無窮小量引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，實(shí)質(zhì)上是缺少嚴(yán)密的極限概念和極限理論作為微積分學(xué)的邏輯基礎(chǔ)。

隨著時(shí)間的推移、微積分研究范圍的擴(kuò)大，微積分中類似的悖論日益增多。數(shù)學(xué)家在研究無窮級數(shù)的時(shí)候做出了很多錯(cuò)誤的證明，從而得到了很多錯(cuò)誤的結(jié)論。比如對于1+（-1）+1+（-1）…的和，數(shù)學(xué)家也爭論不休。

進(jìn)入19世紀(jì)時(shí)，為微積分奠定一個(gè)嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)已成為亟待解決的問題。這需要建立嚴(yán)格的極限理論和實(shí)數(shù)理論。嚴(yán)格的極限理論的建立經(jīng)歷了一個(gè)逐步的、漫長的過程。在18世紀(jì)，人們建立了極限理論，但那只是一個(gè)粗糙的理論。達(dá)朗貝爾在1754年指出，必須用可靠的理論去代替當(dāng)時(shí)使用的粗糙的極限理論。但他本人沒能提供這樣的理論。19世紀(jì)初，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾開設(shè)將嚴(yán)格的論證引入數(shù)學(xué)分析。他寫的《無窮的悖論》一書中，包括很多真知灼見。法國數(shù)學(xué)家柯西在1821年-1826年間出版的《分析教程》、《無窮小計(jì)算講義》，是數(shù)學(xué)史上劃時(shí)代的著作。他對極限給出比較精確的定義，然后用它定義連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分和無窮級數(shù)的收斂性，建立起以極限為基礎(chǔ)的現(xiàn)代微積分體系。

現(xiàn)在再回到（*）式 = gt0 + g（ t） （ t≠0）。

瞬時(shí)速度定義為上述平均速度當(dāng) t趨于0時(shí)的極限。

物體在t0 時(shí)刻的瞬時(shí)速度 =? 。

對（*）式兩端同時(shí)取極限：

=? ?gt0 + g（ t）

=? gt0 + g（ t）

第一個(gè)極限不依賴于 t，就是gt0，第二個(gè)極限當(dāng) t趨于0時(shí)，極限就是0，得到：

= gt0 + 0

= gt0

上述所得的結(jié)論與牛頓原先的結(jié)論是一致的，在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度都是gt0，但現(xiàn)在的每一步都有了嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)。“貝克萊悖論”的焦點(diǎn)“無窮小量 t是不是0”，在這里給出了明確的回答： t≠0。確切的說，無窮小量是極限為0的變量。貝克萊悖論中的無窮小量 t極限為0，但是 t自己可以不等于0。這樣，通過建立起嚴(yán)格的極限理論，貝克萊悖論在經(jīng)歷了200年后終于被消除了。

參考文獻(xiàn)

[1] 歐陽耿.重新認(rèn)識第二次數(shù)學(xué)危機(jī)[J].喀什師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2002（05）.