多元表征理論的實踐與探索
——以數列教學為例

☉江蘇省常熟市梅李高級中學 周志杰

所謂表征，就是指外界輸入的信息在主體心理活動中的記錄和作用形式，學習實質上就是學生對于知識這一外界輸入產生對應心理表征的過程，是一個主觀與客觀結合的過程.本文中筆者將結合自身的教學實踐經驗，以數列的概念和表示方法相關內容的教學為例，與各位讀者分享自己在多元表征理論的指導下開展教學的方法策略與心得體會.

一、多元表征理論的內涵及教育價值

所謂表征，就是指外界輸入的信息在主體心理活動中的記錄和作用形式，即外界事物的心理重現，是認知心理學中的一個非常重要的概念，它是人的內在心理世界與外部客觀世界的有機融合產物，一方面，能夠反映客觀事物的特征；另一方面，體現了心理過程的加工作用.教師需要認識到，學生不是計算機，不能將知識完全一致地記錄下來，學習實質上就是學生對于知識這一外界輸入產生對應心理表征的過程，是一個主觀與客觀結合的過程，教師可以做的是設計信息輸入的方式，以及引導學生產生正確的心理表征.因為數學概念的心理表征往往包含著不同方面的成分，具有鮮明且豐富的層次性，教師只有注意到其多元性，從多種角度進行教學，而不是片面強調單一特征，學生才能更為深刻并全面地認識數學概念，才能在應用時更加靈活.

由于強調了學生的心理活動在學習過程中的作用，所以多元表征理論突出了學生的主體性，它指導教師從學生的角度去思考問題，以適應于學生思維和認知特點的方式展開教學，并給學生自主探索和感悟的機會，教師應嘗試利用圖、表、表達式等各種表現形式讓學生體會到數學概念表現形式的多樣性，創設更加多元豐富的教學情境，從不同角度刺激學生的思維，激發學生自主探索數學世界的欲望.

二、讓學生在實例中感悟數列概念的基本特征

在正式介紹數列的概念之前，筆者先篩選出了大量實例幫助學生對概念的特征有一個初步的感知，學生在觀察和研究實例的過程中得以產生內生式的認知，這有利于激發學生的探索欲望和研究興趣，能夠鍛煉學生的觀察和總結能力，同時可以增強學生的課堂參與度，為學生留下了自由探索的空間，從而突出了學習過程中學生的主體地位，下面是筆者當時的教學片段.

1.實例引入

案例1儒家名著《莊子》中有一段話的意思是：對于一根長為一尺的木棍，如果每天取走剩下部分的一半，將永遠也取不凈.如果將一尺作為單位長度1，那么按照這段話的意思，每日剩余部分的長度將會是

案例2三角形數是一類神奇的數，如果某一數目的點能夠在等距離排列的情況下組成一個等邊三角形，那么這一數目就是三角形數，從初始情況開始列舉，它們是1，3，6，10，……

案例3從1984 年洛杉磯奧運會到2016 年里約奧運會，一共舉辦了九次奧運會，中國在這九次奧運會中獲得的金牌數目分別是15，5，16，16，28，32，51，37，26.

案例4無理數按1，0.1，0.01，0.001，……的精度分別取值的結果為1，1.4，1.41，1.414，……

2.師生互動

師：上面給出了不同背景下的四組數字，你們能不能概括一下它們的共同點？

生A：它們都具有一定的規律性，比如案例1 中的數字，后一個數字是前一個數字的一半.

生B：不對，第三組數字感覺沒什么規律.

師：那么生A，你能解釋一下你說的規律性具體是什么含義嗎？

生A：剛才可能觀察得還不夠到位，我覺得有規律性概括來說，就是可以見微知著，我們只需要知道前幾個數字就可以推斷出后幾個數字是多少.

師：那么生B，你覺得第三組數字沒有規律可言，這又是為什么呢？

生B：我認同生A 的說法，在第三組數字中我們沒辦法根據前面的數字推斷出后面的，因為如果是這樣的話，我們豈不是可以預知未來？推斷出2020 年甚至100年后的獲獎情況？

師：很好，那么如果說規律性并不是這些數字的共同特征，你們能再概括一下這些數字的共性嗎？試著從次序的角度考慮一下，比如說如果調換每組數字里某些數字的順序，這組數字還能表達同樣的意思嗎？

生C：不可以隨意調換，比如在第三個例子中如果把第一個數字和第二個數字交換順序，那么代表的意思就完全不一樣了.

師：的確，其實我們就可以把數列看成是一列有順序的數，那么你們覺得1，3，5，7 和1，5，7，3 是數列嗎？它們是同一個數列嗎？

生D：這兩者都是數列，但是它們數字的順序不一樣，所以不是同一數列.

師：沒錯，這個例子說明就算兩個數列中的元素一樣，但只要排列順序不一樣，它們就不是同一個數列.那么1，1，1，1 和1，-1，1，-1 是數列嗎？

生E：一列有順序的數，它們滿足數列的定義，所以是.

師：由此也可以推斷出在同一數列中可以出現重復的數字.

3.教學總結

學生在剛開始學習新知識的時候，教師提供的例題具有很強的引導作用，在多元表征理論的指導下，教師需要精心選擇涉及的例題，使得例題能從多方面刺激學生的認知，比如，在上述教學案例中，筆者就綜合選擇了有規律的數列、無規律的數列、有重復數字出現的數列、有限的數列和無限的數列等例子，讓學生在沖突和反思中逐漸弄清數列的本質內涵.

三、用多種形式表現數列，深化學生對數列概念的理解

數列是一列有順序的數，一般來說，它的表現形式也是一列數，但是在部分實際應用中，學生僅通過這樣的形式很難靈活地進行思維轉換，因此教師應該嘗試讓學生接觸數列的多種表現形式.

教學情境

師：數列的一般表現形式是一列數，可以簡寫為{an}，它精簡地表達出了數列的內涵，但對于某一具體的數列，簡單的羅列并不是最佳的表現形式，你們還能給出其他的表現形式嗎？（接下來讓學生通過分組討論的形式進行自主探討，最后以小組為單位進行展示分享）

學生經過初步討論得出了以下兩種結果.

師：這兩種方法都是好辦法，第一種方法非常直觀地展現了數列中項的分布情況，第二種方法清晰地展現了數列序號與項的對應關系，但是老師覺得這兩者都有一定的不足，你們能說說看嗎？

生F：第一種方法雖然直觀形象但其實并不準確，因為它無法體現數列的順序性，0，2，4，6，8 和8，6，4，2，0這兩個不同的數列按照這種方法的表現形式卻是一樣的，至于第二種方法要說不足的話，可能是它相對來說沒有那么直觀吧.

師：很好，既然如此，我們可以試著將兩種方法結合起來嗎？

生G（經過思考）：我們可以在第一種方法的基礎上增加一個維度來表示數列的序號，變成一個平面直角坐標系.

師：很好，那么你們能嘗試作出數列2，4，6，8 對應的圖像嗎？

學生的成果如圖1：

圖1

師：非常棒，那么觀察圖像，你們覺得它和我們之前學習過的知識有沒有相似之處呢？

生H：這有點像函數的圖像，但是這個圖像都是分散的點，函數的圖像是曲線.

生I：其實如果把函數的定義域限定在分散的區域，那么函數的表現形式也是這樣，比如，我們可以令定義域為N*.

師：那你們可以建立一個函數關系式嗎？并指出這個函數的自變量和因變量分別是什么.

生J：這個函數應該是an=2n（n∈N*），這個函數中的自變量應該是數列的序號n，因變量是對應的數列項的值.

學生在這樣的過程中接觸到了表、圖、數學表達式等多種數列的表現形式，從而形成了各種不同的心理表征并在它們之間建立了聯系，這可以幫助學生在不同的情景下靈活地應用數列的知識.