基底建系是通法，向量策略“三板斧”
——2019年江蘇卷第12題

☉江蘇省宜興市第二高級(jí)中學(xué) 吳勇珍

平面向量問(wèn)題一直是江蘇高考、模擬考填空題后四個(gè)小題中的常客，難度中等，方式新穎，背景創(chuàng)新，一直備受關(guān)注.破解平面向量的一些常用方法與常見(jiàn)技巧一定要深入理解與熟練掌握，其中基底法是破解的重點(diǎn)，需要通過(guò)平面向量的線性關(guān)系的轉(zhuǎn)化來(lái)厘清；而涉及直角或相關(guān)問(wèn)題時(shí)考慮通過(guò)建系法，利用平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)處理；而在一般問(wèn)題中，經(jīng)常借助特殊圖形加以一般性來(lái)解決，又極化恒等式法是一個(gè)出現(xiàn)頻率較高的基本方法，采用這兩種方法，往往可以達(dá)到省時(shí)省力、提高解題效益的目的.

一、真題在線

【高考真題】（2019 年江蘇卷12）如圖1，在△ABC中，D 是BC 的中點(diǎn)，E 在邊AB 上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn)O.若，則的值是______.

圖1

本題以三角形為問(wèn)題背景，利用中點(diǎn)、定比分點(diǎn)來(lái)設(shè)置條件，結(jié)合平面向量的數(shù)量積的關(guān)系式來(lái)確定位置關(guān)系，進(jìn)而求解在此條件下三角形的兩邊長(zhǎng)之比.破解此類(lèi)問(wèn)題，基底法、建系法、幾何法是最常見(jiàn)的“三招”，具體破解與切入方式又有不同的形式.

二、多法破解

思維角度1.基底法

基底法是平面向量的本質(zhì)所在，是平面向量“幾何”化的重要特征.通過(guò)選用合適的基底，借助平面向量的線性運(yùn)算把相關(guān)的平面向量用這組基底加以表示，進(jìn)一步結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積等方式加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，從而達(dá)到求解的目的.

方法1：（基底法1）如圖2，過(guò)點(diǎn)D 作DF∥CE 交AB于點(diǎn)F，由于D 是BC 的中點(diǎn)，所以F 為BE 的中點(diǎn).

圖2

圖3

方法2：（基底法2）如圖3，過(guò)點(diǎn)E 作EF∥BC 交AD于點(diǎn)F，根據(jù)平面幾何知識(shí)可知，則知AD=3AF，OD=3FO.

方法3：（梅涅勞斯定理法）由條件可知直線EC 分別交△ABD三邊所在的直線AB、BD、DA于點(diǎn)E、C、O.

思維角度2.建系法

建系法是將平面向量進(jìn)行“代數(shù)”化的一大特征，是基于可以建系的前提下來(lái)進(jìn)行的代數(shù)化處理幾何問(wèn)題.通過(guò)建系，把平面向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題、平面解析幾何問(wèn)題等來(lái)處理，往往可以簡(jiǎn)化推理步驟、優(yōu)化運(yùn)算過(guò)程、提高解題效益.同時(shí)注意，不同的建系法會(huì)導(dǎo)致不同的效果，經(jīng)常可以采用不同的方式來(lái)處理.

方法4：（坐標(biāo)法）以點(diǎn)D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC 所在的直線為x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖4 所示.

圖4

不失一般性，設(shè)B（-1，0），C（1，0），A（m，km）（k≠0），由于BE=2EA，結(jié)合定比分點(diǎn)公式可得

而AB2=（m+1）2+（km）2=k2m2+m2+2m+1=4m-1+2m+1=6m，AC2=（m-1）2+（km）2=k2m2+m2-2m+1=4m-1-2m+1=2m，可得AB2=3AC2，即

思維角度3.特殊圖形法

在一些具有定值結(jié)論的平面向量問(wèn)題，特殊圖形法是解決問(wèn)題比較常見(jiàn)的一種技巧方法.其往往在題目一般性平面幾何圖形的基礎(chǔ)上加以特殊化（如一般的三角形進(jìn)行特殊化為直角三角形、等腰三角形等，一般的四邊形進(jìn)行特殊化為平行四邊形、矩形等），這樣處理可以使得問(wèn)題更加特殊、簡(jiǎn)單，使解題更直觀、更簡(jiǎn)捷，便于判斷與操作.

方法5：（相似三角形法）不失一般性，取△ABC 為以角A 為直角的直角三角形，則有=0.

由于D 是BC 的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)知∠B=∠BAD.

三、解后反思

解決平面向量問(wèn)題，首先就是建立問(wèn)題中相關(guān)幾何元素與平面向量之間的聯(lián)系，通過(guò)平面向量的運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系.而采用平面向量的線性運(yùn)算或坐標(biāo)運(yùn)算，就是從“形”的思維角度與“數(shù)”的思維角度切入，這也是平面向量獨(dú)具一格的特征.因而，破解平面向量問(wèn)題時(shí)，可以從“形”的角度出發(fā)，通過(guò)基底法或特殊圖形法以“形”的形式來(lái)破解；也可以從“數(shù)”的角度出發(fā)，通過(guò)建系法或三角函數(shù)法以“數(shù)”的形式來(lái)破解.不同破解角度，各有各的好，各有各的妙.