加強(qiáng)目標(biāo)意識 培養(yǎng)解題素養(yǎng)

☉江蘇省蘇州市西安交通大學(xué)蘇州附屬中學(xué) 梁 超

解題最怕沒有思路，尤其在考場上，沒有合理的思路，既會導(dǎo)致寶貴時間的流失，又會增加考生的心理負(fù)擔(dān).對大部分題目而言，解題需要分析條件和目標(biāo)，學(xué)生往往重視條件轉(zhuǎn)化，卻忽視對目標(biāo)的分析.解析幾何作為江蘇高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容，所占分值比較大，最能反應(yīng)出考生“想”與“算”相結(jié)合的綜合能力，筆者選取了三道較為典型的解析幾何題，談?wù)勗诮忸}過程中加強(qiáng)目標(biāo)意識的重要性.

類型一、目標(biāo)明確

圖1

例1（2019 年江蘇卷第17題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）.過F2作x 軸的垂線l，在x 軸的上方，l與圓F2：（x-1）2+y2=4a2交于點(diǎn)A，與橢圓C交于點(diǎn)D.連接AF1并延長交圓F2于點(diǎn)B，連接BF2交橢圓C 于點(diǎn)E，連接DF1.已知

（1）求橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求點(diǎn)E 的坐標(biāo).

思路分析：第（1）問的目標(biāo)是求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也就是要確定a，b的值.根據(jù)題意知c=1，結(jié)合橢圓中的天然關(guān)系a2=b2+c2，即有a2=b2+1 ①，我們再找到一個關(guān)于a，b的關(guān)系式，就可聯(lián)立方程組解出a，b，這時需要落實(shí)到條件DF1=上.在直角三角形DF1F2中，由DF22=DF12-F1F22得.從而點(diǎn)D 的坐標(biāo)為，代入橢圓方程得②，聯(lián)立①②解出b2=3，a2=4.故橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.第（2）問的目標(biāo)是求點(diǎn)E的坐標(biāo)，我們自然地想求出直線BF2的方程，與橢圓方程聯(lián)立后即可解出點(diǎn)E 的坐標(biāo).因?yàn)辄c(diǎn)F2是已知的，所以只需求出點(diǎn)B 的坐標(biāo).又知點(diǎn)B 是直線AF1與圓F2的交點(diǎn)，且點(diǎn)A和點(diǎn)F1是確定的，進(jìn)而直線AF1是確定的，與圓F2聯(lián)立即可求出點(diǎn)B，最后得到點(diǎn)E 的坐標(biāo)為，具體過程從略.

反思總結(jié)：本題分值為14 分，屬于稍有難度的中檔題.我們通過分析目標(biāo)，回溯到題干條件，兩個問題分別利用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，即可將求解本題的脈絡(luò)梳理清楚.雖然這種方法未必是最簡便的，但整體思路是比較自然的，是大部分學(xué)生可以掌握的方法.解題素養(yǎng)的基本要求是迅速、準(zhǔn)確、清楚、簡練.解題的迅速性是指方法合理，在盡量短的時間內(nèi)完成正確的解答.尤其在爭分奪秒的高考考場上，若能迅速合理地找出解題思路，對于穩(wěn)定心態(tài)、建立信心會有非常大的幫助.

解析幾何題常作為江蘇高考的中檔題出現(xiàn)，做好解析幾何題是沖刺高分的必要條件.上述例1 的題干條件還是比較多的，圖形乍一眼看上去也略顯復(fù)雜，但只要沉著審題、明確目標(biāo)，理清目標(biāo)與條件的關(guān)系，細(xì)心計算，本題完全可以爭取拿滿分.下面我們再研究兩個例子，當(dāng)面對題目的目標(biāo)比較模糊，即目標(biāo)與條件的關(guān)系不是很清晰，或者目標(biāo)可實(shí)現(xiàn)的途徑多樣化時，我們該如何尋找思路？

類型二、目標(biāo)模糊

例2（2013 年江蘇卷第13 題）在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，設(shè)定點(diǎn)A（a，a），P 是函數(shù)圖像上的一動點(diǎn).若點(diǎn)P，A 之間的最短距離為，則滿足條件的實(shí)數(shù)a 的所有值為______.

思路分析：本題的表層目標(biāo)是求a 的值，但通過什么途徑求，需要考生自己去挖掘.本題的一大誤區(qū)是對圖形認(rèn)識不到位，部分考生想當(dāng)然地將點(diǎn)P 固定為直線y=x 和曲線的交點(diǎn)（1，1），然后令PA2=2（a-1）2=8，解出錯誤答案a=-1 或3.

本題要實(shí)現(xiàn)從條件到目標(biāo)的過渡，中間有一段模糊的距離，突破口在于研究“點(diǎn)P，A 之間的最短距離為.首先根據(jù)點(diǎn)P 所在曲線的特點(diǎn)，可設(shè)點(diǎn)，其中x＞0.從而，展開得PA2=x2-2ax+a2++a2.觀察展開式的特點(diǎn)，整理可得PA2=）+2a2.此時不難發(fā)現(xiàn)，整體換元，令t=x+，則PA2就是關(guān)于t 的二次函數(shù)f（t）=t2-2at+2a2-2，并且f（t）的定義域?yàn)椋?，+∞），對稱軸為t=a，f（t）的最小值為8.問題就轉(zhuǎn)化成熟悉的“拋物線動軸定區(qū)間問題”，分兩種情形：a≤2和a＞2，對應(yīng)的最小值為f（2）=8和f（a）=8，最終解得a=-1 或

反思總結(jié)：本題作為填空題的倒數(shù)第二題，綜合性較強(qiáng)，具有一定的難度.考生在解此題時主要會遇到三類障礙：一是由于解題經(jīng)驗(yàn)不足或?qū)﹄y題的畏懼心理導(dǎo)致毫無頭緒，直接放棄解答；二是主觀上帶有較大的盲目性，感性地取定點(diǎn)P（1，1）；三是不會對式子PA2=（xa）2+進(jìn)行化簡轉(zhuǎn)化.數(shù)學(xué)解題不僅是智力活動，也是心理活動，除了平時要積累通性通法，考場上更要善于構(gòu)建目標(biāo)與條件之間的橋梁，才能在規(guī)定時間內(nèi)準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)思維活動.

類型三、目標(biāo)可實(shí)現(xiàn)途徑多樣

例3（2018 年江蘇卷第18題）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C 過點(diǎn)，焦點(diǎn)，圓O的直徑為F1F2.

圖2

（1）求橢圓C 及圓O 的方程；

（2）設(shè)直線l 與圓O 相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.

①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②直線l 與橢圓C 交于A，B 兩點(diǎn).若△OAB 的面積為，求直線l 的方程.

思路分析：容易求出本題第（1）問的答案，橢圓C：+y2=1 及圓O：x2+y2=3.第（2）問分兩問，目標(biāo)分別是求點(diǎn)P 的坐標(biāo)和直線l 的方程，可以說目標(biāo)還是比較明確的.考生審題之后，不難想到兩個切入點(diǎn)：一是設(shè)點(diǎn)P（s，t），其中s＞0，t＞0，二是設(shè)直線l：y=kx+m（k＜0，m＞0），這就是目標(biāo)可實(shí)現(xiàn)的途徑是多樣的.實(shí)際上無論是設(shè)點(diǎn)還是設(shè)直線，都是引入了兩個未知數(shù)，所以我們都需要找兩組關(guān)系，一組是大前提——直線l與圓O相切.如果是設(shè)點(diǎn)，需要先表示出直線，結(jié)合點(diǎn)P在圓O 上，即s2+t2=3，從而；如果是設(shè)直線方程，直線與圓相切可轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離等于半徑，當(dāng)然也是直線與圓聯(lián)立方程后，判別式Δ=0.

我們再來尋找另一組關(guān)系，對（2）中的①，將直線與橢圓方程聯(lián)立后，由判別式Δ=0即得到另一個關(guān)系；對（2）中的②，先根據(jù)直線l 與圓O 相切，可將條件△OAB的面積轉(zhuǎn)化成，所以另一個關(guān)系就是直線與橢圓聯(lián)立后表示出的弦長AB.兩種思路都能求得結(jié)果，即點(diǎn)，直線l：

反思總結(jié)：本題分值為16 分，題目易懂，幾乎沒有審題障礙，但問題具有復(fù)雜性，對于大部分考生而言，想要設(shè)點(diǎn)或設(shè)直線的目標(biāo)意識還是比較清晰的.考場上最忌三心兩意，當(dāng)我們選定一種方法時，首先大致判斷這個方法的可行性與合理性，然后便是沉著冷靜地計算出來.本題“算”難于“想”，要求教師平時在教學(xué)過程中敢于讓學(xué)生花時間算，教師帶領(lǐng)學(xué)生一起算，克服對復(fù)雜計算的畏懼心理.

我們在解題時，需要將條件和目標(biāo)結(jié)合起來看，構(gòu)建條件和目標(biāo)的有效聯(lián)系路徑，找到解題方法，進(jìn)而思考方法是否可以優(yōu)化.加強(qiáng)解題的目標(biāo)意識不應(yīng)局限于解析幾何，同樣適用于其他類型的題目.牢記解題目標(biāo)意識，可有助于尋找解題的切入點(diǎn)，從而有效解決問題.在數(shù)學(xué)課程改革不斷發(fā)展的過程中，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究備受關(guān)注.新課程標(biāo)準(zhǔn)把以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，培養(yǎng)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為課程宗旨.培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要實(shí)現(xiàn)途徑是培養(yǎng)數(shù)學(xué)解題素養(yǎng)，本文著重分析的目標(biāo)意識只是解題素養(yǎng)的一個側(cè)面，更多豐富的內(nèi)容需要廣大教師與學(xué)生共同研究創(chuàng)造.