一道課本例題的十種解法

杜海洋

摘 要：一題多解對于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)造能力，對增強數(shù)學知識的橫向聯(lián)系意識是非常有效的。通過這種方式的訓練，能夠培養(yǎng)學生思維的靈活性及提高解題的效率，達到事半功倍的目的。

關鍵詞：課本例題;一題多解;過焦點直線

縱觀近幾年高考試題涉及拋物線知識，則將過拋物線焦點的直線的性質常作為考查的切入點，本例由一道課本例題出發(fā)，筆者從不同角度用十種方法來解答，以饗讀者。

（普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-1）69頁：

例4：斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線相交于A、B兩點。求線段AB的長。

方法一：（兩點間的距離公式）由已知可得直線AB的方程為y=x-1（1）。與拋物線y2=4x聯(lián)立解得x2-6x+1=0（2）。

方法二：直接利用公式：8。

方法三：利用勾股定理：（過B點向x軸作垂線交DA的延長線于點N）

由直線的傾斜角θ=45°。可得Rt△ABN為等腰Rt△

AB2=2BN2=2（x1-x2）2=2（x1+x2）2=8（x1x2）=2（36-4）=64∴AB=8

方法四：利用性質：AB=x1+x2+P。由方法一可得AB=6+2=8。

方法五：利用性

方法六：利用性質S△

∵S（d為原點到直線的距離）∴AB=8。

方法七：利用=1

∴AB2P2=8

方法八：根據(jù)以AB為直徑的圓與準線L相切的性質。

即找到AB的到準線L的距離為AB的一半。

由（2）可得x1+x2，即M（3，2）.

所以點M到準線L的距離為3-（-1）=4，則AB=8

方法九：利用參數(shù)方程。

設A（2pt2，2pt）則點A在直線y=x-1。即4t2-4t-1=，仿方法一可得結論。

方法十：利用以AF，BF分別為直徑的圓與y軸相切的性質。

即分別求出AF，BF的中點到y(tǒng)軸的距離即可。

AF+2=8

附：過拋物線焦點弦的常用性質。（以下希望讀者結合課本例題仿照引例證明）。（1）xAxB=2）焦點弦中通徑（垂直于x軸的焦點弦）最短;（3）Aα是直線AB的傾斜角）;（4）S△直線AB的傾斜角）;（5）以AB為直徑的圓與準線MN相切，切點為MN的中點Q;（6）以MN為直徑的圓與AB相切，切點為焦點F;（7）A，O，N三點共線，B，O，M三點共線;（

點評：通過對教材典型代表例題進行一題多解的訓練，不僅能讓學生對本節(jié)知識掌握更透徹，還能使學生的解題思路更加開闊，在進一步培養(yǎng)了學生思維遷移的能力和提高學生的解題能力的同時，還激發(fā)了學生學習的主動性、求知欲，并潛移默化地培養(yǎng)了學生優(yōu)良的數(shù)學素養(yǎng)。

參考文獻：

楊剛.多維視角 殊途同歸[J].中學數(shù)學教學參考，2018（10）：46-47.