最值問題

【學情分析】

本節課是在教材七年級上冊軸對稱的基礎上學習的，對于初四的學生已經掌握了所有知識，可以將特殊三角形、特殊四邊形、圓、一次函數、二次函數以及軸對稱、相似三角形等重要知識聯系在一起，本節課具有較強的靈活性、創新性和挑戰性，是中考中常考題型，常出現在中考壓軸題中，對于學生學習是個難點，需要經過小組學習，總結歸納此類問題解決的途徑。

【復習目標】

1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，三角形三邊關系，提高學生運用數形結合、函數、建模等思想解決問題的能力，培養學生邏輯推理、運算和分題問題等核心素養。

2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用。

【重點難點】

重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題。

難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和、差最小問題。

【學習過程】

自學展示：（學生獨立完成，找學生簡單講解）

1.點A、B在直線L的兩側，在直線L上找一點P使點P到A、B的距離之和最小。

2.直線L表示草原上的一條河流，一騎馬將軍從A地出發，去河邊讓馬飲水，然后返回位于B地的駐地，他應沿怎樣的路線行走，使路程最短？請作出這條最短路線。

3.線段AB=5，以B點為圓心，以2為半徑作圓，在圓上找一點C，（1）使AC1最小，（2）使AC2最大。

學生獨立完成，舉手搶答。

跟蹤訓練：（學生獨立完成，教師提問）

1.正方形ABCD，AB邊上有一點E，AE=3，EB=1，在AC上有一點P，使EP+BP為最短。求：最短距離EP+BP。

答案：連接DE，因為B、D關于AC對稱，所以EP+BP=DE，在Rt△ADE中AE=3，AD=3+1=4，所以EP+BP=DE=5。

2.在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最小。

小組答疑（小組討論，找代表講解）。

例1：已知，A是銳角∠MON內部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使△ABC周長最小。

變式提升：兩個動點求最值。

3.∠AOB=30°，點M、N分別在邊OA、OB上，且OM=1，ON=3，點P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN的最小值是多少？

出示答案：找學生講解

知識拓展：轉化“三角形兩邊之差小于第三邊（學生用幾何畫板展示動點P的運動路徑，得出結論，找學生講解）。

例2：如圖所

∵在△ABP中，由三角形的三邊關系定理得：AP-BP

∴延長AB交x軸于P ′點，當P ′與P重合時，AP-BP=AB，此時AP與B）

當堂檢測：學生獨立完成。

在對稱軸上找一點P，使PA+PB的值最小。

答案：連接BC交點即為P點。

思考題：（有余力的同學可以完成）

A和B兩地在一條河的兩岸，將軍想要在河上造一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路線AMNB最短？請作出這條最短路線。（假設河兩岸平行，橋MN與河岸垂直。）

教學設計說明：

先讓學生了解本節課的思想方法，使學生能很快切入主題。

思想方法：

一般地，解決線段和差最值問題的目標是“化曲為直”，手段通常是遇“和”轉化為異側，遇“差”轉化為“同側”，根據是軸對稱和全等三角形，常用方法是利用軸對稱圖形中的“已知”的對稱點。涉及的知識點有“兩點之間線段最短”“垂線段最短”“三角形三邊關系”“軸對稱”“平移”等。

在了解思想方法的基礎上出示前測，由學生獨立完成，本題是“馬飲水問題”的實際應用，考查了學生垂直平分線基本性質的理解與應用，起點低，難度不大。但作為教材中出現的習題都具有典型性、可遷移性，看似簡單的題目中包含“兩點之間，線段最短”“作一個點關于直線的對稱點”知識點，“折”轉“直”的轉化思想。

作者簡介：張雪梅（1979—），漢，黑龍江省綏化市，本科，中學二級，研究方向：數學課堂教學。