對一道繩牽連體圓周運動例題的變式分析

湖南

(作者單位：湖南省長沙市長郡濱江中學)

圓周運動連接體，重點找準向心力。臨界條件需注意，整體隔離破難題

圓周運動是高中物理曲線運動中的一個重要內容。通常以繩牽連體的形式出現，重點考查連接體的受力分析、圓周運動的規律及臨界條件的判斷，具有綜合性較強的特點，是高中物理的一個重難點內容。以下通過對一道繩牽連體圓周運動例題進行分析與變式，來增強對該連接體模型的認識及其物理規律的理解與應用。

圖1

【例題】如圖1所示，在光滑水平轉臺上放一個質量M=2.0 kg的木塊，繩的一端系住木塊，另一端穿過轉臺的中心孔O(光滑)懸吊一質量m=1.0 kg的小球，當木塊以v=1.0 m/s的初速度相對O孔恰好做勻速圓周運動時，已知重力加速度g=10 m/s2，木塊、小球均視為質點，則木塊到O孔的距離為

( )

A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.25 cm

【答案】C

【點評】本例中水平轉臺表面光滑，木塊不受摩擦力，繩子對木塊的拉力提供木塊做勻速圓周運動的向心力，結合圓周運動規律，再選小球作研究對象得到繩子拉力的大小，聯立方程即可求解。

圖2

【變式1】如圖2所示，粗糙水平轉臺放一個質量M=2.0 kg的木塊，木塊與臺面間的最大靜摩擦力fm=6.0 N，繩的一端系住木塊，另一端穿過轉臺的中心孔O(光滑)懸吊一質量m=1.0 kg的小球，當轉臺以ω=5.0 rad/s的角速度勻速轉動時，欲使木塊相對轉臺靜止，已知重力加速度g=10 m/s2，木塊、小球均視為質點，則木塊到O孔的距離可能是

( )

A.16 cm B.5 cm C.60 cm D.30 cm

【答案】AD

【點評】變式1與例1相比，難度明顯增加。由于轉臺粗糙，對木塊受力分析時需要考慮轉臺對木塊的靜摩擦力作用。同時需要注意，該靜摩擦力的大小和方向會隨著木塊做圓周運動角速度的變化而變化。本題的關鍵是臨界條件的選取。由題知木塊受到的繩子拉力與木塊所受轉臺靜摩擦力的合力提供木塊做圓周運動的向心力。當靜摩擦力達到最大值并且方向與繩子拉力方向相同時，木塊受到的向心力最大；此時對應木塊做圓周運動的軌道半徑達到最大；反之，當靜摩擦力達到最大值并且方向與繩子拉力方向相反時，木塊受到的向心力最小，此時對應木塊做圓周運動軌道半徑達到最小。本變式重點考查隔離法的應用及臨界條件的判斷。結合連接體的受力分析、準確找到木塊所受向心力的極值，再給合圓周運動的規律便可求解。

【變式2】如圖3所示，兩個可視為質點、完全相同的木塊A和B放在轉盤上，兩者用長為L的細繩連接，木塊與轉盤間的最大靜摩擦力均為自身重力的K倍，A放在距離轉軸為L的位置處，整個裝置繞轉盤中心的轉軸O1O2轉動。開始時，繩恰好伸直但無彈力，現讓該裝置從靜止開始轉動，使角速度ω緩慢增大，則以下說法正確的是

( )

圖3

【答案】ACD

【變式3】如圖4所示，可圍繞豎直軸轉動的水平圓盤上，放著用細繩相連的質量均為m的兩個物體A和B，與圓心距離分別為RA=r，RB=2r，A、B與圓盤間的最大摩擦力均為重力的μ倍，在圓盤轉動的角速度ω緩慢增大到物體剛好要發生滑動時，則下列說法正確

( )

圖4

【答案】ACD

【變式4】如圖5所示，在水平圓盤上放有質量分別為m、m、2m的可視為質點的三個物體A、B、C,圓盤可繞垂直圓盤的中心軸OO′轉動，三個物體與圓盤的動摩擦因數均為μ=0.1,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，三個物體與軸OO′共線且OA=OB=BC=r=0.2 m，現將三個物體用輕質細線相連，保持細線伸直且恰無張力，若圓盤從靜止開始轉動，且角速度ω緩慢增大，已知重力加速度為g=10 m/s2,則對于這個過程，下列說法正確的是

( )

A.A、B兩個物體同時達到最大靜摩擦力

B.B、C兩個物體的靜摩擦力先增大后不變

圖5

【答案】BCD

【點評】變式4與變式3相比，牽連體總個數增加，物體的受力情況更加復雜。但是考查的物理思想及解決的方法是類似的。仍然是從受力分析入手，準確找到每個物體做圓周運動向心力的來源，利用隔離法整體法進行分析，通過分類討論的思想，得到每個物體剛好要相對圓盤發生滑動時對應的臨界角速度。難點是分析圓盤角速度緩慢增加過程中，每個物體所受的靜摩擦力如何變化，每段繩子拉力如何變化。其中求解整體相對圓盤滑動時圓盤對應的角速度，采用將A、B作為整體來研究處理，使問題變得簡單。