物理中“輕”模型的理解與應用

安徽

(作者單位：安徽省宿州市碭山中學)

對比分析是認識事物的基礎，建立模型是認識事物的提升，“輕”“重”模型有不同

理想化模型的建立過程滲透著研究問題時抓住主要因素、忽略次要因素的哲學思想，建立理想化模型是簡化物理研究的重要手段，是一種非常重要的科學研究方法。在研究物理問題時經常會遇到輕繩、輕桿、輕彈簧、輕綢、輕木板等輕質物體，很多人認為這些“輕”模型是不計它們的重量，而實際上應該是不計它們的質量。無論是不計重量還是不計質量似乎都是忽略了小量，但實際上是有很大區別的。明顯的區別之一是：任何物體都有保持原來靜止或勻速直線運動的性質即慣性，而質量是慣性大小的唯一量度，質量大的物體慣性大，運動狀態難改變，質量小的物體慣性小，運動狀態容易改變，因此當力作用在物體上時可以立即產生加速度但不能立即獲得速度，而如果物體的質量忽略不計，那么運動狀態的改變就沒有了難度，瞬間就可以獲得無窮大的速度。另外一個明顯的區別是：當用兩個力作用在水平繩的兩端使繩做加速運動時滿足F1-F2=ma，由此可以看出，在質量不能忽略時兩力是不等大的，在質量一定時加速度越大兩力的差值就越大，但是當質量不計時無論繩子加速度多大，兩力始終是等大的。下面筆者將通過幾道例題讓學生感受一下“輕”模型的特點以及“輕”模型的現實意義，培養學科核心素養。

一、“輕”模型在牛頓第二定律瞬時性問題中的應用

圖1

【例1】如圖1所示，甲圖中兩個質量均為m的小球用兩條輕繩連接，處于平衡狀態，現突然迅速剪斷輕繩OA讓小球下落，在剪斷輕繩的瞬間，設小球A、B的加速度分別用aA和aB表示，則aA=________，aB=________。乙圖中兩個質量均為m的小球上面用輕繩連接、兩小球間用輕彈簧連接，處于平衡狀態，現突然迅速剪斷輕繩OA讓小球下落，在剪斷輕繩的瞬間，設小球A、B的加速度分別用aA和aB表示，則aA=________，aB=________。乙圖中如果把輕彈簧的上端剪斷，則aA=________，aB=________。

【解析】由于剛性繩上的力能夠突變，圖甲中在剪斷OA后AB間繩上力會突變為零，所以小球A、B均只受重力向下做自由落體運動，其加速度aA=aB=g。

由于彈性繩上力不能突變，圖乙中在剪斷OA的瞬間，輕彈簧上的力仍為mg，故小球A所受合力為2mg，小球B所受合力為零，所以小球A、B的加速度分別為aA=2g，aB=0。

圖乙中當剪斷輕彈簧的上端時輕彈簧會迅速收縮，彈力突變為零，繩OA上的力會突變為mg，所以小球A、B的加速度分別為aA=0，aB=g。

【點撥】牛頓第二定律瞬時性問題涉及剛性繩模型和彈性繩模型，分析此類問題的關鍵在于兩個方面：一方面是瞬間也就是極短的時間里所產生的位移大小，另一方面是所產生的位移對兩種模型影響的程度。在圖1中當剪斷OA的瞬間，無論A、B間連接的是輕繩還是輕彈簧，由于A、B兩球都有質量，而質量是慣性大小的唯一量度，所以兩球都有保持原來靜止狀態的性質，因此瞬間也就是極短時間里只能產生微小的位移，這微小的位移對彈性繩影響很小但是對剛性繩影響很大，所以在理想情況下通常認為彈性繩上力不能突變而剛性繩上力能夠突變。在圖乙中當剪斷彈簧的上端時，小球B由于慣性可以認為在原地沒動，但是由于輕彈簧沒有質量，彈簧沒有保持原來靜止狀態的性質，彈簧會快速收縮，瞬間產生明顯位移，結果輕彈簧的彈力瞬間突變為零。

二、“輕”模型在板塊模型問題中的應用

【例2】如圖2所示，一輕質長木板置于光滑水平地面上，木板上放著質量分別為mA=2 kg和mB=1 kg的A、B兩個物塊，A、B與木板之間的動摩擦因數都為μ=0.2，水平恒力F作用在A物塊上，則下列說法正確的是________(重力加速度g=10 m/s2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)

圖2

A.若F=1 N，則物塊、木板都靜止不動

B.若F=1.5 N，則A物塊所受摩擦力大小為1.5 N

C.若F=6 N，則B物塊所受摩擦力大小為2 N

D.若F=8 N，則A物塊的加速度大小為3 m/s2

【點撥】板塊模型問題是動力學中的重點和難點，高考多次考查，且經常以壓軸題的形式出現。在常規的板塊模型問題中木板是有質量的，在A、B均與木板保持相對靜止，整體在F的作用下向左做勻加速運動的過程中，A、B所受摩擦力大小是不等的，隨著F的增大不僅摩擦力增大而且兩個摩擦力的差值也增大。如果A物體所受摩擦力先達到最大靜摩擦力，F繼續增大時A和木板之間會出現相對滑動，B所受摩擦力不再增大，木板和B的加速度不再增大。如果B物體所受摩擦力先達到最大靜摩擦力，隨著F的繼續增大，B和木板之間會出現相對滑動，A物體所受摩擦力會繼續增大，當A所受摩擦力也達到最大靜摩擦力時，A和木板之間也會出現相對滑動。而本題中的木板是輕質木板，木板的質量是不計的，如果以輕木板為研究對象，由牛頓第二定律可得A、B兩物體對輕木板的摩擦力大小始終相等。在A、B均與木板保持相對靜止，整體在F的作用下向左做勻加速運動過程中，A、B所受摩擦力隨著F的增大而增大，在其中一個物體所受摩擦力達到最大靜摩擦力后，該物體與木板之間出現相對滑動，另一物體與木板之間摩擦力不再增大、一定不會出現另一物塊也相對輕木板滑動的情形，“輕”“重”木板結論是明顯不同的。

三、“輕”模型在緩沖裝置中的應用

圖3

(1)若彈簧的勁度系數為k，輕桿開始移動時彈簧的壓縮量x；

(2)為使裝置安全工作，允許該小車撞擊的最大速度vm；

(3)討論在裝置安全工作時，該小車彈回速度v′和撞擊速度v的關系。

【解析】(1)輕桿開始移動時，彈簧的彈力F=kx①

(2)設輕桿移動前小車對彈簧所做的功為W，則小車從撞擊到停止的過程中由動能定理得

同理，小車以vm撞擊彈簧時

(3)設輕桿恰好移動時，小車撞擊速度為v1，則

【點撥】緩沖裝置是緩和因碰撞而引起的縱向沖擊力和振動，減輕對運動物體的破壞作用。在實際的裝置中桿是有質量的，在桿開始移動之前，彈簧逐漸變短、沖擊力逐漸增大，桿開始運動后，在二者速度相等前，車做減速運動，桿做加速運動，彈簧會進一步壓縮、沖擊力會繼續增大，速度相等時二者間距離最小，沖擊力達到最大。如果不計桿的質量，在桿開始移動前彈簧逐漸變短、沖擊力逐漸增大，桿開始運動后對桿使用牛頓第二定律，可知桿受到的彈力不變，與摩擦力等大，所以沖擊力與不再增加，整體相對靜止向前做減速運動，緩沖效果更好。雖然在實際情況下桿都有質量，但是可以盡量選擇強度大、質量小的桿，從而有效提高緩沖效果。從兩種模型的對比可以看出“輕”模型雖然不真實存在，但具有一定的現實意義。