基于粒子群優化算法的光纖陀螺溫度誤差分段補償方法

佟 林，覃方君，馮卡力，黃春福，王 智

（海軍工程大學 電氣工程學院，武漢 430033）

光纖陀螺由于具有精度高、壽命長、動態范圍大、對重力加速度不敏感等優勢[1]，已經廣泛應用到導航的很多領域，有著良好的發展前景和研究價值[1-2]。

由于光纖陀螺內部構造的原因，光纖陀螺對溫度很敏感，溫度漂移成為主要的誤差源[3]，所以研究光纖陀螺的溫度特性，得到溫度補償模型對提高導航精度是非常重要的。文獻[4][5]利用多項式法進行溫度建模，文獻[6][7]利用神經網絡進行溫度建模，以上方法都是采用單一模型進行補償，忽略了光纖陀螺溫度誤差的復雜性。基于此，文獻[8][9]提出了分段建模的補償方法。本文基于分段建模思想，以大量的實測數據為基礎，分析陀螺的溫度誤差特性后，提出了基于粒子群優化算法的光纖陀螺溫度誤差分段補償方法。

本文方法的核心是確定最優補償函數。文獻[9]的分段多模型補償方法（后文稱傳統方法）僅考慮溫度單方面影響，利用最小二乘法求取補償函數，精度受限。近年來隨著人工智能的迅速發展，神經網絡已經逐漸被應用到各個領域[10]。1995年Kennedy 和Eberhart 提出了粒子群優化算法（Particle Swarm Optimization,PSO算法）。本文在光纖陀螺溫度誤差建模時同時考慮溫度以及溫度變化率，利用PSO 算法進行模型參數的極值尋優，求得最優補償函數。

1 溫度和溫度變化率影響機理

光纖陀螺中有許多對溫度敏感的光學材料和器件，在不同的溫度下工作時它們的性能是不同的，這樣就會影響陀螺的輸出，產生溫度誤差。根據光學Nyquist 定律，當溫度在絕對零度以上時，光纖折射率將產生熱漲落，引起光纖中的相位變化。特別是隨著光纖長度的增加（光纖長度超過2 km 時）和環境溫度的升高，這種因溫度產生的相位噪聲甚至超過散粒噪聲，最終限制光纖陀螺的檢測閾值。溫度相位噪聲在光纖圈長度較短的中低精度光纖螺中可以忽略，但在慣性導航級高精度光纖陀螺中，溫度產生的噪聲也是必須要考慮的問題。

當兩束干涉光分別以順時針（CW）和逆時針（CCW）方向在長度為L、折射率為n的光纖環傳輸時，產生的相位延遲分別為：

式中，φcw(t)為順時針光沿光纖環傳輸產生的相移；φccw(t)為逆時針光沿光纖環傳輸產生的相移；β0為光在真空中的傳輸常數，其值為2π/λ，λ為光波長；n為光纖折射率；c為光在光纖環中傳播的速度；z為任一點到端點的距離；ΔT為光纖環z點處的溫度分布變化量。式(1)減去式(2)后積分得：

式中，c0為光在真空中的速度。

將式(3)分為兩部分積分(0,L/ 2)、(L/2,L) ，得：

當溫度變化率改變時，內部光纖環的溫度場會隨著變化，從而使光纖環內部膨脹和折射率不均勻，從而對通過光纖環反向傳播的兩束干涉光產生的影響不同，產生非互易相移。式(4)繼續整理得：

由式(5)也可以得出結論，引起相位誤差的因素中，溫度變化率的影響至關重要。

2 基于PSO 算法的建模補償

通過前一節的分析發現，陀螺漂移不僅與溫度非線性相關，而且與溫度變化率也非線性相關，進而本文在傳統模型的基礎之上[9]，加入了溫度變化率影響因子，模型通式為：

其中，a0、a1、a2、a、3a4表示與溫度有關的參數，b0、b1、b2、b3表示與溫度變化率有關的參數，x1表示溫度，x2表示溫度變化率，y表示溫度誤差。

為了求出式(6)中模型未知的補償系數a0、a1、a2、a3、a4、b0、b1、b2、b3，本文采用PSO 算法進行極值尋優來求解。與其它群體智能優化算法一樣，PSO 算法得到的最優解是在尋優空間中通過群體中不同粒子之間的相互競爭合作來搜索得到的[11]。

本文溫度補償方法的核心為使用PSO 算法確定最優補償函數，步驟如下：

Step 1：初始化。首先將一群均勻分布在指定的尋優空間中的粒子初始化，即在某個范圍內隨機給定每個粒子的初始速度和位置。尋優空間即為要補償的溫度區間，每個粒子都表示尋優的一個潛在最優解，即每個粒子位置代表一組補償系數，適應度、位置和速度是PSO 算法表示粒子特征的三項指標。

Step 2：確定適應度函數F。實驗采集得到的數據經過處理后得到真實的溫度漂移，作為訓練樣本將式(6)得到的預測溫度漂移作為訓練樣本剩余誤差表達式為ε(i) =Y(i) -y(i)，其中i為當前陀螺采樣數。將每一次采樣的剩余誤差的平方和作為本模型適應度函數：

Step 3：根據粒子初始位置計算每一個粒子的適應度值，并將它作為該粒子的個體極值，所有個體極值中最優的設置為群體極值。

Step 4：根據個體極值和群體極值，更新粒子的速度和位置。更新公式為：

其中，ω為慣性權重，c1和c2為非負的常數稱為學習因子，r1和r2為分布于0 到1 之間的隨機數。

Step 5：更新個體極值和群體極值。根據更新后的粒子位置計算每一個粒子的適應度值，并與原來的個體極值Pidk進行比較，若優于則更新此值，新的所有個體極值中最優的設置為新的群體極值。

Step 6：進行迭代運算。不斷重復Step 4 和Step 5，設置迭代次數k，滿足條件后停止搜索，此時粒子位置為模型的系數a0、a1、a2、a3、a4、b0、b、1b、2b3。將其帶入式(6)中即得到溫度補償模型。

Step 7：設置PSO 算法的基本參數，這些參數的優劣將直接影響到最終的尋優結果：

1）種群規模：種群規模為Step 1 中粒子的總數，此參數根據經驗確定，經過大量的試驗，結合本模型實際情況種群規模設置為400。

2）迭代次數：迭代次數的選擇根據模型和精度要求的改變而改變，太少會使結果精度達不到要求，太多不僅會大大延長算法的時間，而且還會出現迭代過飽和現象使精度反而降低，通過大量的試驗反復驗證最終確定此模型的迭代次數為300 最佳。

3）粒子的速度和位置范圍，位置范圍為Step 1 中的尋優空間即溫度區間，設定為問題空間的10%～20%[12]。

4）慣性權重ω，表示粒子當前速度多大程度上繼承原來的速度，ω較大便于全局搜索，較小便于局部搜索，為了平衡兩種搜索能力，根據光纖陀螺溫度補償的特殊性，本文采用線性遞減慣性權重。

其中，ωstart為初始慣性權重，k為當前迭代數，ωend為最大迭代數時的慣性權重，kmax為最大迭代數。

5）學習因子c1和c2：分別調節向個體和全局最優方向飛行的最大步長，若c1為零，粒子將陷入局部最優，沒有處理復雜模型的能力，若c2為零，將得不到全局最優解。標準的PSO 算法中c1=c2= 2。

本文針對光纖陀螺溫度補償的特殊性對粒子群算法進行改進，采用一種帶收縮因子的PSO 算法的參數設定方法，引入了收縮因子K，使速度更新公式變為：

解出c1=c2=1.494 45。本模型采用此數值作為PSO 算法的學習因子進行尋優運算。

綜上，總結得出本文PSO 算法極值尋優流程圖如圖1所示。

上述步驟即為溫度誤差建模全過程，極值尋優得到的最優粒子群即為式(6)中全部的未知系數，將其帶入式(6)得到最優補償函數y，此函數即為該溫度區間 的溫度誤差補償模型。

圖1 算法流程圖 Fig.1 Algorithm flowchart

3 試驗驗證與結果分析

將光纖慣導系統置于溫箱內，慣導系統的3 軸按東北天方向放置，溫箱和慣導均保持靜止，使光纖陀螺僅受到地球自轉的激勵，保持溫箱溫度為-15℃，待陀螺輸出穩定后逐漸升溫10 h，溫度升至50℃，測量-15℃～50℃溫度區間變化時的陀螺數據，陀螺采樣頻率為200 Hz。然后對數據進行處理，得到各個溫度下的陀螺漂移，結果如圖2所示。

圖2 陀螺漂移 Fig.2 FOG drift

通過對圖2中實測數據誤差特性進行分析發現，在以下5 個溫度區間，溫度誤差曲線總體上保持單調趨勢，所以本文將溫度分成這5 個區間進行補償。5 個溫度區間分別是：-15℃～0℃；0℃～15℃；15℃～30℃；30℃～37℃；37℃～50℃。

最后，使用本文方法進行溫度建模，結果如表1所示。 將表1所得的系數分別帶入相應的溫度區間進行補償，補償結果如圖3所示。

表1 本文方法補償系數 Tab.1 Compensation coefficients of the proposed method

從圖3可以看出，本文所建模型能夠較好地擬合溫度誤差曲線。求取補償后剩余誤差的均值和標準差得：在整個溫度區間-15～50℃內，補償前漂移的均值為-6 .90 ×10-2(°/h)，標準差為 1.5317 ×1 0-2(°/h)；本文方法補償后剩余誤差的均值為 -2.9621×10-5(°/h)，標準差為6.6524 ×1 0-3(°/h)。表2為傳統算法的補償結果，可以得出：補償后剩余誤差的均值為 1 .1209 ×1 0-4(°/h)，標準差為 6.9597 ×1 0-3(°/h)。

圖3 補償效果 Fig.3 The effect of compensation

表2 傳統方法的補償系數 Tab.2 Compensation coefficients of traditional algorithm

通過以上分析可以得出：相比補償前，本文算法補償后陀螺零偏穩定性降低了56.57%，零偏均值減少了99.96%，補償效果非常顯著；相比傳統方法，本文方法補償后陀螺零偏穩定性降低了4.42%，基本保持不變，零偏均值減少了78.55%，近一個數量級，說明本文方法可以大幅度降低漂移均值效果優于傳統算法。

為了進一步驗證本文方法補償效果，使用同一個慣導系統按照原方案重新采集-15℃～50℃的實測數據，為了驗證本文補償系數適用于其它的溫度變化率，驗證試驗采用與原試驗不同的溫度變化方式，使溫度變化率不同。繼續使用本文模型進行補償以驗證模型效果，如圖4所示。

將此結果與傳統方法和未補償時進行比較，各個溫度區間陀螺漂移的均值和標準差如表3所示。可以看出，在-15℃～50℃溫度區間內，相比補償前，無論零偏均值還是零偏穩定性均明顯降低。相比傳統算法，零偏穩定性基本保持不變，而零偏均值有了明顯降低，降低了1 個數量級，與前文結論一致，說明本文方法確實可以提高補償效果，并在降低零偏均值方面明顯優于傳統方法。

圖4 補償效果驗證 Fig.4 Verification of compensation effect

表3 誤差比較 Tab.3 Error comparison

4 結 論

本文在實測數據分析處理基礎上，提出了基于粒子群優化算法的光纖陀螺溫度誤差分段補償方法，在建模時加入溫度和溫度變化率影響因子，并引入PSO 算法極值尋優。試驗結果表明，本文方法在補償溫度誤差方面效果顯著，并在降低零偏均值方面明顯優于傳統方法。重新采集數據進行驗證，得到了相同的結論。

在尋優得到補償系數后，帶入可得到溫度誤差補償方程，只要光纖慣導提供實時的溫度數據，就可以計算出實時的溫度變化率，通過方程即可得到實時的溫度誤差補償值，所以本文方法可以對溫度溫差進行實時補償，具有較好的應用廣泛性和工程實用價值。