陀螺電機用H型動壓氣體軸承啟動摩擦特性分析

任天明，馮 明，忽敏學，劉志宏

（1.北京科技大學 機械工程學院，北京 100083；2.天津航海儀器研究所，天津 300131）

H 型動壓氣體軸承具有動量矩指向精度高、噪聲低和可靠性好等優點[1-3]，是陀螺電機的主要支撐方式之一。但其基于氣膜動壓效應的工作原理決定了在啟動和低轉速時轉子與軸必然會發生接觸與摩擦，導致軸的磨損，甚至表面微粒的脫落，嚴重時造成氣體軸承無法啟動，降低陀螺電機的可靠性和壽命。

針對陀螺電機中動壓氣體軸承的啟動特性，王京峰[4]等討論了安裝姿態對軸承靜摩擦力據和轉子浮起時間的影響，指出傾斜安裝時氣體軸承的靜摩擦力矩更大，需要的浮起時間也更長，但其假設軸承啟動時摩擦系數為常數，并未考慮表面粗糙度的影響。Cui[5]和Zhang[6]等分別對考慮表面粗糙度影響的徑向和止推軸承的啟停特性進行了分析，結果顯示表面粗糙度對軸承運動、浮起轉速、最大接觸壓力等特性有顯著的影響。Henry[7]和Braun[8]等在對粗糙表面形貌特征的研究中發現，適當的微觀形貌可減小粗糙表面的摩擦系數、提高軸承的承載力。

本文采用 Kougut[9]等提出的粗糙接觸模型及Pair[10]等提出的平均流潤滑模型，建立可考慮表面粗糙接觸與潤滑的H 型動壓氣體軸承模型，對軸承啟動過程中的粗糙接觸和摩擦問題進行研究，并分析表面粗糙度和腔型結構參數的影響，為陀螺電機用氣體軸承啟動特性研究和結構設計提供理論依據。

1 H 型動壓氣體軸承分析模型

圖1為水平安裝的H 型動壓氣體軸承的結構示意圖，該軸承由帶有螺旋腔的徑向軸承和止推軸承組成。在軸承啟動前，轉子處于重力和徑向軸承接觸承載力相平衡的靜止狀態。啟動過程中，轉子與徑向軸承之間存在接觸和摩擦，且隨著轉速的升高，徑向軸承氣膜承載力增大，使轉子與軸逐漸脫離接觸。為對H 型動壓氣體軸承的啟動特性進行研究，需建立同時考慮軸承運動、軸承表面粗糙接觸和潤滑的分析模型。

1.1 軸承運動方程

在H 型動壓氣體軸承的質心建立o-xyz坐標系（如圖1所示），軸承轉子在該坐標系內的五自由度運動方程為：

式中，m為轉子質量，eu為轉子質量偏心，Ii（i=x、y、z）為轉子繞各個坐標軸的轉動慣量，Ω為軸承轉速，g為重力加速度，θ為轉子繞z軸的轉角，φx和φy分別為轉子繞x、y軸的轉角，Fi（i=x,y,z）為軸承的反作用力，Mi（i=x,y）為軸承繞坐標軸的反力矩。

軸承由靜止狀態啟動，假設在驅動力作用下其轉速曲線為正弦形式：

其中，Ωn為啟動目標轉速，Tn為啟動時間。

1.2 軸承表面粗糙接觸和潤滑模型

對于采用水平安裝的H 型動壓氣體軸承，啟動過程中的粗糙接觸與摩擦僅發生在徑向軸承，根據軸承內氣膜厚度的大小，將其潤滑分為全膜潤滑和粗糙接觸與潤滑兩部分。而止推軸承中因不發生接觸，其潤滑為全膜潤滑。

圖1 H 型動壓氣體軸承結構示意圖 Fig.1 Schematic of H-type hydrodynamic gas bearing

1.2.1 全氣膜潤滑

在全氣膜潤滑區域，氣膜厚度較大，可通過雷諾方程的求解得到氣膜壓力。徑向、止推軸承的氣體潤滑雷諾方程分別為：

其中，μ為氣體粘度，pjh、pt分別為徑向和止推軸承內氣膜壓力，hj、ht分別為徑向、止推軸承的氣膜厚度，

其中：h0為軸承設計間隙；hp為腔深，在有腔區域內Δ=1，反之Δ=0；ex、ey、ez分別為軸承沿各個方向的偏心。

對H 型軸承，徑向、止推軸承在交界處應滿足壓力相等、流量相等的邊界條件： 徑向、止推軸承的氣膜的剪切力為：

1.2.2 粗糙接觸與潤滑

在粗糙接觸與潤滑區，轉子與軸發生粗糙接觸。這里將兩個粗糙表面當量為一個復合粗糙表面（軸）和一個光滑表面（轉子），并假設復合粗糙表面覆蓋有隨機分布的粗糙峰，粗糙峰峰頂高度的概率密度函數為ΨS(δ)，標準差為σS，峰頂面密度和峰頂半徑分別為NS和RS。軸承粗糙接觸與潤滑模型如圖2所示：h為粗糙表面高度均面到光滑表面的距離，即軸承的名義間隙；d為粗糙峰峰頂高度均面到光滑表面的距離；hT為局部間隙，即兩粗糙表面的實際間隙；δ為粗糙峰峰頂的高度。

根據粗糙峰峰頂高度δ的大小，粗糙接觸與潤滑區進一步分成黏著區（δ≥d）和部分膜潤滑區（δ

1）黏著區

當δ≥d時，粗糙峰與光滑表面發生接觸。假設僅粗糙峰的峰頂發生彈塑性變形，而忽略粗糙表面的基體變形，粗糙接觸壓力pc為[9]：

其中：W(d)中的四個積分項及其上下限分別表示粗糙峰在完全彈性變形區、彈塑性變形區和完全塑性變形區的分布；ω=δ-d為峰頂的屈服值；ωp是單個峰頂由完全彈性變形轉變為彈塑性變形的臨界值，

HB是轉子與軸中硬度較低材料的布式硬度；K是與較軟材料的泊松比有關的硬度系數，K=0.454+0.41ν6；E是復合表面的楊氏模量，定義為

其中，E1、E2和ν1、ν2分別是轉子與軸的楊氏模量和泊松比。

兩表面間彈塑性粗糙接觸的剪切力為：

兩表面間粗糙接觸的真實接觸面積為：

2）部分膜潤滑區

當δ

其中，φpθ和φpz分別為考慮表面粗糙度影響的圓周和軸向的修正因子[10]，為簡化分析，不考慮表面粗糙度的各向異性，則有：

其中，H=h/σ；E(hT)是局部間隙的期望值[11]，

其中，ψ(δ)是復合粗糙表面的概率密度函數。

部分潤滑區內氣膜剪切力為：

其中，φf和φfp是剪切流和壓差流的修正系數，

1.3 軸承反作用力

通過雷諾方程及粗糙接觸壓力的求解，可得到軸承內壓力分布及軸承承載力。徑向軸承沿x、y方向的接觸承載力為：

徑向軸承沿x、y方向的氣膜承載力為：

止推軸承的承載力及繞x、y軸的反力矩為： 軸承啟動過程中的阻力矩為：

1.4 數值算法

圖3為H 型動壓氣體軸承啟動特性計算流程圖。計算時，首先確定軸承靜止時的初始位置，求解軸承的粗糙接觸壓力，并采用擬牛頓法進行對軸承位置進行迭代修正，直至粗糙接觸承載力與重力相平衡。然后對軸承的啟動過程進行仿真計算，同時求解軸承的運動方程、潤滑方程和粗糙接觸方程等，并采用Runge-Kutta 法對軸承的運動軌跡進行迭代計算，得到軸承在啟動過程中的位置、速度、承載力、阻力矩和接觸面積等特性。當t>Tc，即完成設定的仿真時間時停止計算。

圖3 H 型動壓氣體軸承起動特性計算流程圖 Fig.3 Flow chart for numerical calculation of start-up characteristics of H-type bearing

軸承啟動過程的仿真計算需要多步迭代，且為提高仿真精度，收斂精度和迭代時間步長都不能太大，因此所需總計算時間較長。在本文分析中，軸承啟動目標轉速為Ωn=3000 r/min，啟動時間Tn=1.0 s，收斂精度εb=1×10-6，迭代時間步長Δt=2×10-6s。

H 型動壓氣體軸承幾何參數和復合表面粗糙度參數分別如表1和表2所示[11]。

表1 H 型動壓氣體軸承參數 Tab.1 Parameters of H-type hydrodynamic gas bearing

表2 軸承復合表面粗糙度參數 Tab.2 Roughness parameters of bearing's composite surface

2 結果與討論

2.1 軸承啟動特性分析

設定仿真時間Tc=Tn，對H 型動壓氣體軸承的啟動過程進行仿真分析，得到從靜止到目標轉速的完整啟動過程中軸承特性的變化，如圖4～6 所示。

H 型動壓氣體軸承啟動前處于靜止狀態，轉子所受重力與接觸承載力相平衡。軸承的靜平衡位置位于-y軸方向，ey= -1.602 μm，此時軸承的真實接觸面積ac為1.366×10-4mm2。圖4為軸承接觸壓力分布云圖，由圖可見，轉子與軸的粗糙接觸主要發生在250°～290°的角度范圍內的無腔區域，且在θ=270°，即-y軸的方向，有最大接觸壓力8209 Pa。

圖4 H 型動壓氣體軸承啟動前接觸壓力分布 Fig.4 Distribution of bearing contact pressure before startup

圖5為H 型動壓氣體軸承的啟動過程中承載力和運動軌跡隨時間的變化。初始時刻，軸只有垂直方向的接觸承載力Fcy=0.60 N，其大小與轉子所受重力相等。軸承啟動后，隨著轉速的升高，氣膜承載力Flx和Fly逐漸增大，使得轉子與軸脫離接觸，接觸承載力逐漸減小，直至軸承浮起，如圖5(a)所示。在轉子浮起前，其運動以沿軸表面的滑行為主。轉子浮起后， 其運動軌跡隨著轉速的繼續升高收斂到目標轉速下的動態平衡位置（如圖5(b)所示），氣膜承載力在轉速和轉子偏心位置的影響下呈現出波動，并最終達到動平衡狀態。在動態平衡位置，氣膜承載力為Flx= 0，Fly=0.60 N，同樣與轉子重力相平衡。

圖5 H 型動壓氣體軸承啟動過程中承載力及運動軌跡 Fig.5 Variation of load capacity and trajectory of H-type bearing during start-up

圖6為軸承啟動過程中接觸面積和阻力矩隨時間的變化，由圖可見，隨著時間的增加，軸承接觸面積先略有增大，然后減小。當t=161.9 ms 時，接觸面積ac減至0，由式(2)計算可得軸承浮起轉速Ωf= 754.9 r/min。此外，初始時刻的軸承阻力矩，即軸承的啟動力矩為M0=4.337×10-4Nm。在軸承啟動過程中，阻力矩呈現出先減小后緩慢增大的變化趨勢。這主要是因為在轉子浮起前，其阻力以軸承表面的粗糙接觸剪切力為主，其隨著接觸面積減小而減小，氣膜剪切力雖隨著轉速的升高而增大，但其數值較小，影響不大。而轉子浮起后，粗糙接觸剪切力消失，氣膜剪切力隨著轉速的升高繼續增大，導致軸承阻力矩增大。由于啟動目標轉速較低，氣膜剪切力增大的趨勢較為緩慢。

為分析軸承在啟動過程中的摩擦磨損，以轉子從啟動到浮起所旋轉的角度θf做為評價指標，如圖5(b)中所示，θf越大，表明磨損范圍越大。

受美國退出伊核協議及重啟制裁的影響，伊朗的油氣投資及石油出口目前幾近陷入停滯，給已建項目投資回收帶來較大壓力，新進入項目的履約也面臨挑戰。中國石油企業應依托政府的力量，做好與資源國政府的溝通，協商解決目前面臨的困難，并利用一切時機，加快提油和回收投資，降低風險損失，暫時不宜簽署新的油氣合同。

圖6 軸承接觸面積和阻力矩隨時間的變化 Fig.6 Bearing contact area and reaction moment versus time

2.2 實驗驗證

為驗證理論分析的正確性，搭建實驗平臺對表1所給的H 型氣體動壓軸承的啟動特性進行實驗研究。由于軸承摩擦和磨損量很小，很難測量，因而僅對軸承的啟動力矩和浮起轉速進行驗證。軸承啟動力矩可由反力矩測試儀直接測得，而浮起轉速很難直接測得，本文采用電阻法進行間接測量，如圖7所示。當轉子與軸接觸時，兩者間的電阻值為有限值，而浮起后電阻值會突然變大，因此轉子與軸之間電阻突然增大時的轉速即為浮起轉速。

對軸承啟動力矩和浮起轉速分別進行了多次實驗，結果如表3所示。實驗所得啟動力矩均值為4.49×10-4Nm，與計算值相差3.7%，而浮起轉速均值為717 r/min，比計算值低5.0%。可見理論計算值與實驗值相差不大，驗證了本文理論模型與計算結果的正確性。

圖7 H 型動壓氣體軸承啟動特性實驗臺 Fig.7 Test rig of H-type hydrodynamic gas bearing

表3 H 型動壓氣體軸承啟動力矩及浮起轉速實驗值 Tab.3 Experimental and theoritical results of startup characteristics of H-type hydrodynamic gas bearing

3 軸承表面及結構參數影響分析

3.1 表面粗糙度的影響

圖8 軸承啟動位置及啟動力矩隨峰頂標準差σS的變化 Fig.8 Bearing starting position and starting torque versus standard deviation of summit heights

圖8為軸承啟動前特性隨粗糙表面峰頂標準差σS的變化。隨著峰頂標準差的增大，軸表面粗糙峰的高度增大，轉子與軸發生粗糙接觸的偏心減小，因而靜 平衡位置沿y軸正向移動。此外，由式(17)可知，粗糙峰彈塑性接觸的剪切力也隨著峰頂標準差的增大而增大，因而啟動力矩增大，但增大的幅值較小。

圖9為峰頂標準差不同時軸承啟動過程中承載力和運動軌跡的變化。計算中，仿真時間Tc為0.2 s。由圖9可見，不同峰頂標準差條件下軸承承載力的變化趨勢相同。隨著時間的增加，氣膜承載力先增大后減小，在啟動過程中有最大值。而隨著峰頂標準差的增大，氣膜承載力的最大值降低，且最大承載力出現所用時間增加，如圖9(a)所示。結果表明氣膜動壓效應隨峰頂標準差的增大而減弱，這也使得軸承粗糙接觸的時間隨著峰頂標準差的增大而延長，且接觸承載力的下降趨勢變緩，如圖9(b)所示。圖9(c)為軸承啟動過程中的 運動軌跡。由于表面粗糙峰高度隨著峰頂標準差的增大而增大，因此軸承的運動范圍隨著峰頂標準差減小。

圖9 不同峰頂標準差條件下軸承承載力和運動軌跡的變化 Fig.9 Variations of bearing load capacity and trajectory under different standard deviations of summit heights

圖10 為軸承浮起轉速與磨損范圍隨峰頂標準差的變化，由圖10 可見，隨著峰頂標準差由0.05 μm 增大至0.15 μm，軸承浮起轉速由644.3 r/min 增加至863.9 r/min，而磨損范圍由76°增加至86°。

圖10 軸承浮起轉速與磨損范圍隨峰頂標準差的變化 Fig.10 Lift-up speed and wear zone of bearing versus standard deviation of summit height

由以上結果可知，隨著峰頂標準差的增大，軸承浮起轉速明顯增大，啟動力矩和磨損范圍增加有限。為提高軸承的啟動特性，可減小軸承表面峰頂標準差。

3.2 腔寬比的影響

圖11 為軸承啟動位置和啟動力矩隨腔寬比的變化，由圖可見，腔寬比對軸承啟動位置和啟動力矩影響不大。這主要是因為軸承表面粗糙峰峰頂高度隨機分布，轉子與軸在啟動前的粗糙接觸為有限個較高粗糙峰的接觸，接觸壓力和剪切力的大小取決于表面粗糙度形貌參數和軸承載荷，而與軸承腔寬等結構參數關系不大。

圖11 軸承啟動位置和啟動力矩隨腔寬比的變化 Fig.11 Bearing starting position and starting torque versus groove width ratio

圖12 為不同腔寬比條件下軸承啟動過程中承載力和運動軌跡的變化。由圖12(a)可見，隨著腔寬比的增大，氣膜承載力的最大值降低，且最大承載力出現所用時間增加。同時，軸承接觸承載力減小為0 的時間也隨著腔寬比的增大而增加，如圖12(b)所示。結果表明，啟動過程中氣膜動壓效應隨著腔寬比的增大而減弱。不同腔寬比條件下軸承的啟動軌跡如圖12(c)所示，由于軸承浮起前的運動以沿軸表面的滑行為主，因而運動軌跡受腔寬比影響很小，而軸承浮起后，軸承軌跡范圍隨著腔寬比的增大而減小。

圖12 不同腔寬比條件下軸承承載力和運動軌跡的變化 Fig.12 Variations of bearing load capacity and trajectory under different groove width ratios

圖13 為軸承浮起轉速和磨損范圍隨腔寬比的變化，由圖可見，隨著腔寬比的增大，軸承浮起轉速增大而磨損范圍減小。為減小軸承啟動過程中的摩擦和磨損，腔寬比可取0.8。

圖13 軸承浮起轉速和磨損范圍隨腔寬比的變化 Fig.13 Lift-up speed and wear zone of bearing versus groove width ratio

3.3 腔深的影響

圖14 為軸承啟動位置和啟動力矩隨腔深的變化。與腔寬比的影響類似，腔深的變化不改變軸承表面形貌參數及載荷，因而腔深對啟動位置和啟動力矩的影響很小。

圖14 軸承啟動位置和啟動力矩隨腔深的變化 Fig.14 Bearing starting-up position and starting-up torque versus groove depth

圖15 為不同腔深條件下軸承啟動過程中承載力和運動軌跡的變化。由圖15(a)可見，隨著腔深的增大，氣膜承載力的最大值降低，且最大承載力出現所用時間增加。同時，軸承接觸承載力呈現出隨腔深的增大而快速減小的趨勢。此外，由圖15(c)可見，在浮起前的滑行階段，不同腔深軸承的軌跡基本相同，而浮起后軌跡范圍隨著腔深的減小而增大。

圖15 不同腔深條件下軸承承載力和運動軌跡的變化 Fig.15 Variations of bearing load capacity and trajectory under different groove depths

圖16 軸承浮起轉速和磨損范圍隨腔深的變化 Fig.16 Lift-up speed and wear zone of bearing versus groove depth

圖16 為軸承浮起轉速和磨損范圍隨腔深的變化，由圖可見，隨著腔深的增大，軸承浮起轉速和磨損范圍均呈現出先減小后增大的趨勢。當腔深為1.0 μm 和2.0 μm 時，浮起轉速和磨損范圍分別有最小值。因此，為提高軸承啟動特性，減小磨損范圍，軸承腔深應取2.0 μm。

4 結 論

本文針對陀螺電機H 型動壓氣體軸承的啟動過程，建立了考慮5 自由度運動方程、表面粗糙接觸和潤滑的分析模型，對軸承啟動力矩、浮起轉速、磨損范圍等特性進行了分析，主要得到以下結論：

1）軸承啟動前處于重力與表面接觸承載力相平衡的靜止狀態，啟動力矩為4.337×10-4Nm。在啟動過程中，隨著轉速的升高，轉子與軸接觸面積逐漸減小，轉速為754.9 r/min 時轉子浮起，磨損范圍約83.9°。

2）表面粗糙度對軸承啟動特性有一定的影響。隨著峰頂標準差的增大，浮起轉速明顯增大，而啟動力矩和磨損范圍受表面粗糙度影響有限。為提高軸承啟動特性，可降低軸承峰頂標準差，提高軸承表面粗糙度加工等級。

3）腔寬比和腔深對啟動位置和啟動力矩影響不大。隨著腔寬比的增大，浮起轉速增大，但磨損范圍減小。而隨著腔深的增大，浮起轉速和磨損范圍均先減小后增大，當腔深為1.0 μm 和2.0 μm 時浮起轉速和磨損范圍分別最小。