基于灰色強度偏好的沖突分析圖模型

丁 晨，康 衛

（阜陽師范大學信息工程學院，安徽阜陽236041）

沖突分析圖模型（GMCR）理論由Kilgour等[1]首次提出，Fang等[2]對其進行了完整的描述，即沖突分析圖模型法是以集合論和圖論為方法論，通過對沖突行為進行定量和定性分析，使得沖突行為數學模型化，從而對沖突事態的過程和結果進行分析、預測，為決策者提供可實施的戰略建議。由于圖模型能為決策者提供簡單、靈活、實用的模型結構以及合理的解決方案，所以被廣泛應用于水資源沖突[3]、污染沖突[4]等領域。近年來，沖突分析圖模型的研究主要集中在決策者偏好信息[5-9]、穩定性分析[10-12]、穩定后分析[13-14]等方面。現實中的很多沖突事件偏好信息往往是不全面的，為此，本文依據文獻[9]提出的灰色偏好的沖突分析圖模型理論框架，針對兩個決策者灰色強度偏好及其穩定性進行分析研究。

1 圖模型基本理論

沖突分析圖模型用V ={N,S,G,P}表示，其中N(N ≥2)表示沖突事件中所有決策者組成的有限非空集合；S表示沖突事件中所有可行狀態構成的非空集合，這里可行狀態點是由每個決策者的策略選擇進行組合而成；G表示沖突事件中決策者的狀態轉移情況；P表示沖突事件中決策者的偏好信息。

圖模型解決實際沖突事件主要由建模、穩定性分析與穩定后分析3個階段組成，而偏好的信息在中間發揮重要的作用。通常用相對偏好“?”、等價偏好“～”和強度偏好表示決策者k對不同狀態的偏好信息。例如，si,sj∈S 是沖突事件中的任意兩個可行狀態表示對于決策者k，狀態si優于狀態sj；表示對于決策者k，狀態si等價于狀態表示對于決策者k，狀態si強烈優于狀態sj。

定義1[1]決策者k ∈N，初始狀態表示決策者k的所有弧集，稱Rk為決策者k從初始狀態s開始可以轉移到的可行狀態集合，記為Rk(s)=。

定義2[1]決策者k ∈N，初始狀態，稱為決策者k從初始狀態s經過轉移到達的單方面改進的可到達的狀態集合，記為(s)=

定義3決策者k ∈N，初始狀態，稱為決策者k從初始狀態s經過轉移到達的單方面強改進可到達的狀態集合，記為(s)=

2 灰色系統基本理論

灰色系統[15]能夠有效處理模糊、不確定的信息，并能洞察系統的運行特征及其演化，能夠開發、挖掘蘊含在系統觀測數據中的重要信息，實現對現實世界的正確認識。通常把只知道取值范圍而不知其確切值的數稱為灰數（常用“?”表示）。在現實的沖突事件中，決策者個體理性受到信息不足、信息處理能力、時間等方面的限制無法作出一個完美或最優的解決方案，而灰數能有效處理不確定信息的性質，所以其適用于在高度不確定性的問題情境中進行決策分析，并為決策者提供合理的建議。

定義4[16]設為一般灰數，其中，對任意一個區間灰數且的下界和上界。

定義5[16]

3 灰色強度偏好的沖突分析圖模型

當決策者在面臨兩種可選擇的策略時，因個人偏好不同而具有不確定性策略選擇，這種不確定性即為“灰色”，用灰數來表示。本節給出灰色強度偏好的定義，并定義灰色強度偏好下的穩定性概念。

定義6設S=表示可行狀態集合分別表示在區間上 所 有 可 取 到 的 灰 數 的 集 合，狀 態si,sj∈S，α ≥0，那 么 稱為灰色偏好矩陣。其中，表示狀態si優于sj的程度。

注1（1）如果（2）如果，那么狀態si強 烈 優 于 狀 態sj，記si＞＞sj；（3）如 果那 么 狀 態sj一 般 優 于 狀si，記sj＞si；（4）如 果，那么狀態si優于狀態sj可能性小越小，則狀態si優于狀態sj可能性越小；（5）如果，那么狀態si等價于狀態sj，記si～sj；（6）如果，那么狀態si優于狀態sj可能性大，越大，則狀態si優于狀態sj可能性越大；（7）如果，那么狀態si一般優于狀態sj，記si＞sj；（8）如果，那么狀態sj強烈優于狀態si，記

定義7設S表示可行狀態集合，決策者k ∈N，狀態表示對于決策者k，狀態si優于狀態sj偏好的程度，則決策者k 的灰色相對強度偏好矩陣為，其中，表示對于決策者k，狀態si相對狀態sj的灰色相對確定性偏好程度。

定義8[17]決策者k ∈N，狀態si,sj表示對于策者k，狀態si比狀態sj的相對確定性偏好程度，則決策者k的預期偏好值滿足：（1）如決策者k持悲觀態度，則決策者k持樂觀態度，則；（3）如決策者k持中立態度，則

定義9決策者k ∈N，狀態表示對于決策者k，狀態si優于狀態s，那么稱γk為決策者k的灰色偏好閾值。

注2灰色偏好閾值γk是用來判斷決策者k是否滿足從一個狀態向另一個狀態作單方面改良轉移的數值。

定義10決策者，狀態si,，si(s)，γk滿足APk(si,s)≥γk，稱( )s 表示決策者k從狀態s的灰色單方面改良可達狀態的集合，記為

定義11（灰色強納什穩定（GSNash））設N為決策者集合，S為可行狀態集合，狀態s ∈S，對于決策者p ∈N，如果狀態s滿足R+p,γp(s =φ)，則狀態s是決策者p的灰色強Nash穩定。

定義12（灰色強一般超理性穩定（GSGMR）)）設N 為決策者集合，S 為可行狀態集合，決策者p ∈N，狀 態s ∈S，如 果 對 于 任 一 狀 態s1(s)，至 少 存 在 一 個 狀 態s2，使 得APp，則狀態s是決策者p的灰色強GMR穩定。

定義13(灰色強對稱超理性穩定（GSSMR）)設N為決策者集合，S為可行狀態集合，決策者p ∈N，狀態s ∈S，如果對于任一狀態s1，至少存在一個狀態s2，對于決策者使得且至少存在一個狀態對于決策者k ∈N，使得則狀態s是決策者p的灰色強SMR穩定。

定義14（灰色強度序列穩定（GSSEQ））設N為決策者集合，S為可行狀態集合，決策者p ∈N，狀態，如果對于任一狀態s1，至少存在一個狀態s2，使得，則狀態s是決策者p的灰色強SEQ穩定。

定義15（灰色弱一般超理性穩定（GWGMR））設N為決策者集合，S為可行狀態集合，狀態s ∈S，對于決策者p ∈N，若狀態s是灰色一般的GMR穩定但不是灰色強GMR穩定，則狀態s是決策者p的灰色弱GMR穩定。

定義16（灰色弱對稱超理性穩定（GWSMR））設N為決策者集合，S為可行狀態集合，狀態s ∈S，對于決策者p ∈N，若s是灰色一般的SMR穩定但不是灰色強SMR穩定，則狀態s是決策者p的灰色弱SMR穩定。

定義17（灰色弱序列穩定（GWSEQ））設N為決策者集合，S為可行狀態集合，狀態s ∈S，對于決策者p ∈N，若s是灰色一般的SEQ穩定但不是灰色強SEQ穩定，則狀態s是決策者p的灰色弱SEQ穩定。

4 案例分析

利用“可持續發展”[9]的沖突事件來闡述灰色強度偏好GMCR框架在實際沖突事件中的可行性和適用性。在可持續發展的沖突事件中涉及兩個決策者：環保機構（D1），開發商（D2）。環保機構有兩個策略：強監督和弱監督；企業也有兩個策略：可持續和不可持續。該沖突事件中涉及的決策雙方共有4種策略選擇，每個決策者對于一種策略都有選擇（“Y”）或者不選擇（“N”）兩種態度，所有決策者都選擇一種策略后形成的局勢稱為狀態，如表1所示。

表1 “可持續發展”沖突事件的可行狀態

根據表1，可用圖1 來描述決策者的狀態轉移，圖1 圓圈內字母表示可行狀態，弧的箭頭方向表示從一個狀態轉移到另一個狀態，雙向箭頭表示狀態之間轉移是可逆的，實線表示D1狀態轉移情況，虛線表示D2狀態轉移情況。

假設開發商環保具有一定的責任，由于該沖突事件中環保機構和開發商對待可行狀態的偏好均具有不確定性，所以可對沖突事件中的決策雙方的可行狀態采用兩兩比較，并用灰數表示決策者對不同可行狀態相對偏好的不確定程度，如表2所示。

圖1 決策者狀態轉移圖

表2 環保機構和企業的灰色強度偏好矩陣

表3 環保機構和企業的灰色強度相對偏好矩陣

假設該沖突事件中環保機構和開發商對待沖突均保持中立的態度，且灰色閾值分為(1)γ1=0.1,γ2= 0.4；(2)γ1=0.6,γ2=1兩種情況來討論。當兩位決策者灰色偏好閾值為第（1）種情形時，由灰色一般穩定性定義以及灰色強度穩定性定義可知，環保機構和開發商在沖突中的穩定性結果，如表4所示。表4中“√”表示在某種穩定性定義下某個可行狀態是穩定的；如果一個狀態中所有決策者在某個穩定性定義都是穩定的，那么稱該狀態為穩定性下的均衡解（Equilibrium），用“E”表示，對應位置用“*”標注。類似地，可以給出環保機構和開發商的灰色偏好閾值為第（2）種情形時的穩定性結果，如表5所示。

表4 γ1 =0.1,γ2 =0.4時，可持續發展沖突事件穩定性分析結果

表5 γ1 =0.6,γ2 =1時，可持續發展沖突事件穩定性分析結果

由表4和表5可知，在給出的兩種不同灰色偏好閾值情形下，如果采用灰色一般穩定性進行分析，狀態s1滿足可持續發展沖突事件的均衡解，即環保機構選擇強監督、開發商維持可持續發展，這也是可持續發展事件沖突解決的常見結果。當環保機構的偏好閾值由0.1增至0.6時，對環保機構而言，狀態s4在GGNash、GGGMR、GGSMR、GGSEQ穩定性定義下是穩定的；與此同時，開發商的偏好閾值由0.4增至1時，任何狀態均不滿足灰色一般穩定性定義。除此之外，無論灰色偏好閾值處于哪種情形下，對于環保機構和開發商而言，狀態s2均滿足GSGMR、GSSMR穩定性以及GGGMR、GGSMR穩定，這使得在可持續發展沖突事件中，當開發商選擇可持續發展的策略時，環保機構更有充足的理由作出弱監督的策略選擇，且這樣的選擇更符合實際沖突事件的解決方案。