Lebesgue積分的概念與性質的教學探討

楊元啟

摘 要：Lebesgue積分理論是實變函數論的中心內容，是數學專業學生的必修課。本文嘗試深入淺出的引導學生理解Lebesgue積分的概念與性質，進而掌握Lebesgue積分的思想和理論。

關鍵詞：Lebesgue測度;Lebesgue積分;絕對連續性;平均連續性

Lebesgue積分理論是建立在Lebesgue測度論基礎上的積分理論，是Riemann積分理論的升華，它不僅蘊含了Riemann積分理論的成果，而且克服了Riemann積分理論的許多局限。比如黎曼積分過度依賴函數的連續性，在積分極限運算中，交換極限次序的條件也非常苛刻，Lebesgue積分一定程度上彌補了黎曼積分的不足，較黎曼積分有更為廣泛的應用。不過，盡管理論完美，但略嫌晦澀難懂，且計算不方便，這限制了Lebesgue積分理論的普及推廣。不過，作為數學專業的學生，這是必修課，如何快速讓學生理解掌握Lebesgue積分理論，是教學的一個難點。以下對Lebesgue積分概念和性質的引入與討論，希望能給同學們提供幫助。

一、 Lebesgue積分的概念

（1）設f是可測集D上的非負簡單函數，即存在D的分劃∑nSymbolcB@ n 使f（x）=∑Si=1aiχEi（x） x∈D，其中E1，E2，···，En是互不相交的可測集，定義f在D上的 Lebesgue積分為∫Df（x）dx=∑ni=1aim（Ei）。

（2）設f是可測集D上的非負可測函數，即存在D上的非負簡單可測列fn，{fn（x）} 單增收斂于f（x），定義∫DSymboleB@ ∫Dfndx。

（3）設f是可測集D上的可測函數，則令f+（x）=max{0，f（x）}，f-（x）=max{0，-f（x）}，若∫Df+（x）dx和∫SymboleB@ ，則定義∫Dfdx=∫Df+（x）dx-∫Df-dx。

參考文獻：

[1]趙慈庚，等譯.Rudin W.數學分析原理.高教出版社，1979.

[2]程其襄，等.實變函數與泛函分析基礎（第三版）.北京：高等教育出版社，2001.