大數定律的應用及例解

楊元啟

摘 要：大數定律是概率論的重要內容。由于討論大數定律需要較高的理論技巧，本科教材中對大數定律的討論和處理都非常簡單，藏頭露尾。本文擬詳細解析大數定律的內涵，做適當推廣，并采用合適例子說明大數定律的具體應用。

關鍵詞：契貝雪夫不等式;依概率收斂;契貝雪夫大數定律;辛欽大數定律

概率接近1的事件幾乎一定會發生，概率接近0的事件幾乎一定不會發生。什么樣的事件會是這樣的事件呢？什么樣的隨機隨機現象會產生概率接近1或者0的規律呢？大量獨立或者弱相關的隨機因素累積的結果會出現上述規律。典型的如頻率的穩定性，即隨著觀測次數的增加，頻率會概率為極限（概率意義下）。

對隨機變量序列Xn，如果存在數列an，使得對任意ε>0，有limn→

SymboleB@ P1n∑ni=1Xi-an>ε=0，則稱隨機變量序列Xn服從大數定律。

其中數列an可以取作數列{1n∑ni=1EXi}。

以下是常見的幾個大數定律。

（契貝雪夫大數定律）設Xn是一列兩兩不相關的隨機變量，方

SymboleB@ D（1n∑ni=1Xi）=0，由契貝雪夫不等式知，Xn服從大數定律。

參考文獻：

[1]王壽仁.概率論基礎與隨機過程[M].北京：科學出版社，1997.

[2]嚴家安.測度論講義[M].北京：科學出版社，2000.