淺析解三角形中的最值與范圍問題解題方法

沈燕云

摘要：解三角形是高中數學中的教學重點之一，是高考的高頻考點，而其中的最值與范圍問題的綜合性較強，是學生解題中的一大難點。本文旨在淺析解三角形中的最值與范圍問題的解題方法，幫助學生較好的理解和掌握這類問題的做題技巧。

關鍵詞：解三角形;不等式;最值與范圍問題

知識儲備：

1、正弦定理：，其中R為ΔABC外接圓的半徑

正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化.其原則為方程或分式關于邊或者角的正弦值是否具備齊次的特征.如果齊次則可直接進行邊化角或是角化邊，否則不可行。

2、余弦定理：

變式： 此公式在已知a， A的情況下，配合均值不等式可得到b+c和bc的最值。

3、三角形中的不等關系

（1）任意兩邊之和大于第三邊：在判定是否構成三角形時，只需驗證較小的兩邊之和是否比第三邊大即可.由于不存在等號成立的條件，在求最值時使用較少。

（2）在三角形中，邊角以及角的三角函數值存在等價關系：

其中由 利用的是余弦函數單調性，而 僅在一個三角形內有效.

4、解三角形中處理不等關系的幾種方法

（1）轉變為一個變量的函數：通過邊角互化和代入消元，將多變量表達式轉變為函數，從而將問題轉化為求函數的值域（最值）問題。

（2）利用均值不等式求最值。

例1.已知銳角ΔABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且 ，則ΔABC的面積最大值為_____.

[分析]先化簡得，，則只需求bc的最大值，此時既可以用余弦定理結合均值不等式解決，也可以用正弦定理將邊化為角的正弦，利用三角函數的有界性解決。具體解法如下：

解法一：由余弦定理，

即，當且僅當時取得等號，即，

所以ΔABC面積的最大值為.

解法二：由正弦定理，則

因為ΔABC為銳角三角形，則

則，所以ΔABC的面積

即ΔABC面積的最大值為

[總結]容易看到解法一簡潔，解法二復雜，但解法一中無法體現三角形是銳角三角形，只能求出三角形面積的最大值，解法二則非常清晰地體現了銳角三角形中角的取值范圍，可以求出面積的下限。

例2.已知ΔABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若向量，且。

（1）求角A的值;

（2）已知ΔABC的外接圓半徑為，求ΔABC周長的取值范圍。

[分析]先解得。再由正弦定理得=2。則要求ΔABC周長的取值范圍，只需求出b+c的范圍即可。

解法一：由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-3bc，

即，整理得，當且僅當時取等號，

所以的最大值為4.又，所以，

所以ΔABC的周長的取值范圍為。

解法二：由正弦定理

由得，∴ΔABC的周長的取值范圍為

[總結]解法一利用均值不等式放縮求出b+c的最大值，再利用三角形中的三邊關系求出b+c的下限;解法二則利用正弦定理畫邊為角，由角的取值范圍確定邊的范圍。事實上，b+c取得最大值時，就是解法三中畫出外接圓后，頂點A位于優弧BC中點時，即b=c時，此時三角形必為等腰三角形，而此題中，則此時△ABC為正三角形;b+c的下限就是當點A無限接近點B（或點C）時的結果。

當題干中限定了三角形為銳角三角形時，只能由正弦定理將邊化為角的正弦，利用三角函數的有限性求解范圍，這其中銳角的限定條件體現很充分，或者利用畫三角形的外接圓的方法，考慮動點運動的極端位置也可以解決。當題干中沒有銳角三角形這一限定條件時，上述兩種方法仍然可以使用，但過程較復雜，此時采用余弦定理結合三角形的三邊關系以及均值不等式可以快速求解。

參考文獻：

[1]韓小軍.三角形背景下的多元最值問題解法探析[J].中學數學教學參考，2018 （36）：39-40.

[2]姚宗亮.一道三角形的面積最值問題的解法探究[J].中學數學教學參考，2018 （33）：35-36.