基于RVM-AFOSM模型的邊坡可靠度分析

高 杰，馬春輝，王建娥，楊 杰

（1.陜西省水資源與河庫(kù)調(diào)度管理中心，陜西西安710004；2.西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院，陜西西安710048；3.西安理工大學(xué)省部共建西北旱區(qū)生態(tài)水利國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710048）

邊坡工程包含有大量的不確定因素，常規(guī)的確定性方法難以準(zhǔn)確評(píng)估其安全性態(tài)。而可靠度運(yùn)用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等方法，將各種不確定因素作為隨機(jī)變量，分析邊坡失穩(wěn)的可能性［1］，能夠更合理地反映邊坡的實(shí)際安全狀況。

傳統(tǒng)的邊坡可靠度分析方法主要有一階可靠度方法（FORM）、二階可靠度方法（SORM）、響應(yīng)面法（RSM）、蒙特卡羅模擬（MCS）等［2］。 其中 FORM 又分為均值一次二階矩（MVFOSM）與改進(jìn)一次二階矩（AFOSM），AFOSM精度較高，但計(jì)算量大，且要求邊坡的功能函數(shù)為顯式，工程中常常難以滿足［3］。隨著智能算法的發(fā)展，將新型算法與傳統(tǒng)可靠度相結(jié)合的計(jì)算方法，可避免傳統(tǒng)功能函數(shù)計(jì)算的不足，已取得了良好的應(yīng)用效果。眾多學(xué)者將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）應(yīng)用于可靠度計(jì)算，但ANN存在所需訓(xùn)練樣本大、計(jì)算結(jié)果不穩(wěn)定、易陷入局部極小和“過(guò)擬合”等問(wèn)題，且仍不能將功能函數(shù)顯式表達(dá)［4］。Tan等［5］采用智能算法與MCS相結(jié)合計(jì)算邊坡失穩(wěn)概率，將SVM與徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RBFN）進(jìn)行對(duì)比。此外，趙洪波［6］利用SVM將極限狀態(tài)函數(shù)顯式表達(dá)，并求解其偏導(dǎo)數(shù)，隨后結(jié)合MVFOSM分析了邊坡可靠度，為邊坡可靠度計(jì)算提供了新的思路。Pijush等［7］對(duì)RVM代替極限狀態(tài)函數(shù)進(jìn)行探索，但同樣與MVFOSM結(jié)合對(duì)邊坡可靠度進(jìn)行計(jì)算。雖然RVM能夠精確地估算安全系數(shù)，但由于MVFOSM自身缺點(diǎn)，因此RVM-MV-FOSM可靠度計(jì)算誤差明顯。

相較于SVM，RVM具有模型結(jié)構(gòu)稀疏性、計(jì)算復(fù)雜度低、提供方差、所需參數(shù)少等優(yōu)勢(shì)［8］。而相較于MVFOSM，AFOSM的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)一般在極限狀態(tài)面上，其計(jì)算精度有明顯的提高。因此，筆者提出將RVM與AFOSM結(jié)合，對(duì)邊坡可靠度進(jìn)行計(jì)算。采用RVM對(duì)邊坡極限狀態(tài)函數(shù)進(jìn)行擬合，實(shí)現(xiàn)邊坡安全系數(shù)的快速、準(zhǔn)確估算；同時(shí)，RVM將功能函數(shù)顯式化，便于求解極限狀態(tài)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；隨后采用AFOSM計(jì)算設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)，得到更加精確的可靠度結(jié)果。

1 RVM模型的原理

SVM與RVM均適用于小樣本、非線性問(wèn)題的預(yù)測(cè)與分類，但SVM是基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小原理的決策模型，RVM是基于貝葉斯框架的概率學(xué)習(xí)模型。因此，SVM僅能得出計(jì)算值，RVM可得出計(jì)算值及其概率。同時(shí)，RVM結(jié)構(gòu)更具稀疏性，其計(jì)算所需樣本數(shù)量更少，從而降低了模型運(yùn)算復(fù)雜度。此外，RVM還具有所需參數(shù)少、核函數(shù)無(wú)須滿足Mercer條件等優(yōu)勢(shì)［8］。

RVM通過(guò)定義受超參數(shù)控制的Gaussian先驗(yàn)概率，在貝葉斯框架下進(jìn)行機(jī)器學(xué)習(xí)，并利用主動(dòng)相關(guān)判定理論（ARD）移除不相關(guān)的點(diǎn)，從而得到稀疏化模型［9］。RVM不僅可以定量預(yù)測(cè)，而且能夠提供方差［10］。

設(shè)訓(xùn)練樣本 ｛xn，tn｜n ＝ 1，2，…，n｝，N 為樣本總數(shù)，xn為輸入值，tn為目標(biāo)值，y為中間變量，則tn為

式中：εn為誤差，服從均值為0、方差為σ2的高斯分布；ωn為權(quán)重；ω0為基礎(chǔ)量；K（x，xn） 為核函數(shù)。

設(shè)tn為獨(dú)立分布，則似然函數(shù)可表示為

式中：t為目標(biāo)向量，t＝（t1，t2，…，tN）T；w 為參數(shù)向量， w＝（ω0，ω1，…，ωN）T；σ 為先驗(yàn)分布的超參數(shù)；Φ 為基函數(shù)矩陣，Φ＝ ［Φ（x1），Φ（x2），…，Φ（xN）］，其中Φ（xn）＝ ［1，K（xn，x1），K（xn，x2），…，K（xn，xN）］T。

在利用最大化似然函數(shù)估計(jì)參數(shù)w的過(guò)程中，因參數(shù)過(guò)多可能導(dǎo)致“過(guò)學(xué)習(xí)”，因此假設(shè)參數(shù)ωi服從均值為0、方差為αi-1的ARD高斯分布，故：

式中：α為決定權(quán)值w先驗(yàn)分布的超參數(shù)，只與其對(duì)應(yīng)權(quán)值w相關(guān)。

假定α、σ2均服從Gamma先驗(yàn)概率，根據(jù)定義的似然分布和先驗(yàn)分布，可得w的后驗(yàn)分布：

式中：Σ ＝（σ-2ΦTΦ +A）-1，為后驗(yàn)協(xié)方差矩陣，A＝diag（α0，α1，…，αN） ；μ ＝ σ-2ΣΦTt，為后驗(yàn)均值； M為相關(guān)向量的個(gè)數(shù)。

通過(guò)對(duì)訓(xùn)練樣本的似然函數(shù)式中的w進(jìn)行積分，可得到由超參數(shù)α、σ2控制的邊緣分布：

式中：Ω ＝σ2E+ΦA(chǔ)-1ΦT，其中E為單位向量。

采用迭代的方法對(duì)上式求偏導(dǎo)，得到使邊緣分布最大化的α和σ，由于權(quán)值最優(yōu)估計(jì)的不確定性，給定任意一個(gè)輸入值x?，則可得出描述預(yù)測(cè)不確定度的均值yRVM和方差σRVM，其中σMP為超參數(shù)的最優(yōu)值，計(jì)算公式如下：

2 基于RVM的可靠度計(jì)算模型構(gòu)造

本文RVM模型選用徑向基函數(shù)作為核函數(shù)，可表示為

式中：η為核函數(shù)參數(shù)，通過(guò)試錯(cuò)法確定。

訓(xùn)練完成后的RVM可代替Bishop，對(duì)邊坡安全系數(shù)進(jìn)行快速、準(zhǔn)確計(jì)算。因此，極限狀態(tài)函數(shù)值Z可表示為

采用AFOSM求解可靠度時(shí)，需求解極限狀態(tài)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。RVM的一階導(dǎo)數(shù)為

將式（10）代入AFOSM計(jì)算，即可完成可靠度求解。RVM-AFOSM的計(jì)算流程見(jiàn)圖1。

（1）明確各影響因子 Xi（i＝ 1，2，…，k） 的分布形式，構(gòu)建樣本的輸入因子。隨后，采用傳統(tǒng)的邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)計(jì)算方法計(jì)算樣本安全系數(shù)，作為樣本的輸出因子。樣本可分為訓(xùn)練樣本與測(cè)試樣本。

（2）選定RVM核參數(shù)值，使用訓(xùn)練樣本對(duì)RVM進(jìn)行訓(xùn)練。

圖1 RVM-AFOSM計(jì)算流程

（3）使用訓(xùn)練完畢的RVM對(duì)測(cè)試樣本的安全系數(shù)進(jìn)行估算，并計(jì)算與傳統(tǒng)方法結(jié)果的平均絕對(duì)誤差（MAE）。當(dāng)MAE滿足誤差要求時(shí)，核參數(shù)確定，RVM訓(xùn)練完成。否則，轉(zhuǎn)步驟（2）。

（4）在采用AFOSM計(jì)算可靠度中，初始設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)采用各因子的均值。使用RVM代替?zhèn)鹘y(tǒng)方法，計(jì)算設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)的邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)及一階導(dǎo)數(shù)，由此可計(jì)算出新設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)。

（5）若新設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)滿足迭代終止條件，則終止迭代，得出可靠度β，否則轉(zhuǎn)步驟（4）。

因此，RVM-AFOSM可充分發(fā)揮RVM的快速計(jì)算能力，實(shí)現(xiàn)對(duì)邊坡安全系數(shù)的估算，可避免常規(guī)安全系數(shù)計(jì)算耗時(shí)較多的問(wèn)題。將訓(xùn)練完成的RVM用于AFOSM可靠度計(jì)算過(guò)程中，可快速得出設(shè)計(jì)點(diǎn)相應(yīng)的安全系數(shù)及其一階偏導(dǎo)數(shù)。通過(guò)上述過(guò)程，即可建立基于RVM-AFOSM的邊坡可靠度計(jì)算模型。

在生成樣本時(shí)，選用極限平衡法中的Bishop法［11］計(jì)算邊坡穩(wěn)定安全系數(shù)，其他邊坡穩(wěn)定計(jì)算方法（如極限平衡法、塑性極限分析法、有限元法等）的計(jì)算結(jié)果均可作為RVM-AFOSM的訓(xùn)練樣本。訓(xùn)練RVM時(shí)，將安全系數(shù)值減 1作為模型的理論輸出值。AFOSM迭代終止準(zhǔn)則為兩次計(jì)算的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)各變量差值小于誤差允許值。

3 基于RVM-AFOSM的邊坡可靠度分析

為驗(yàn)證模型計(jì)算精度，對(duì)經(jīng)典的多層土質(zhì)邊坡算例進(jìn)行可靠度計(jì)算，土質(zhì)邊坡形態(tài)見(jiàn)圖2［12］。邊坡分為3層，各層材料參數(shù)見(jiàn)表1，假定自變量均為非相關(guān)正態(tài)分布。

圖2 多層邊坡形態(tài)

表1 多層邊坡物理參數(shù)

36組訓(xùn)練數(shù)據(jù)的平均絕對(duì)誤差為0.059 4，平均相對(duì)誤差僅為5.17%，擬合效果見(jiàn)圖3（其中12組測(cè)試數(shù)據(jù)的平均絕對(duì)誤差為0.075 4，平均相對(duì)誤差僅為5.71%），預(yù)測(cè)效果見(jiàn)圖4。由圖4可知，RVM的多層邊坡算例擬合精度、預(yù)測(cè)精度較高，能夠準(zhǔn)確地估算邊坡的安全系數(shù)，有良好的預(yù)測(cè)能力，為邊坡可靠度計(jì)算打下了扎實(shí)的基礎(chǔ)。

圖3 多層邊坡RVM訓(xùn)練樣本擬合效果

圖4 多層邊坡RVM測(cè)試樣本擬合效果

單獨(dú)采用AFOSM法進(jìn)行可靠度計(jì)算時(shí)，在每一次迭代中均采用Bishop法計(jì)算邊坡安全系數(shù)，雖耗時(shí)較長(zhǎng)，但其可靠度計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，可以作為衡量其他算法準(zhǔn)確性的標(biāo)準(zhǔn)。表2為各算法對(duì)多層邊坡可靠度的計(jì)算結(jié)果。

表2 多層邊坡可靠度計(jì)算結(jié)果

（1）SVM-FOSM與點(diǎn)估計(jì)法（PEM）的計(jì)算結(jié)果相近，但與AFOSM相比，有明顯偏差。主要原因是SVM-FOSM采用了傳統(tǒng)的一次二階矩法。陳祖煜［13］指出PEM與FOSM的計(jì)算結(jié)果十分接近，本文計(jì)算結(jié)果符合此規(guī)律。

（2）相比于AFOSM，Geosudio軟件的蒙特卡洛法計(jì)算結(jié)果存在明顯誤差。

（3）AFOSM、RVM-AFOSM 計(jì)算結(jié)果相近。 以AFOSM為標(biāo)準(zhǔn)，RVM-AFOSM的絕對(duì)誤差為0.045，相對(duì)誤差為1.19%；RVM-AFOSM 計(jì)算平均耗時(shí)為4.8 s，其計(jì)算結(jié)果雖有一定誤差，但結(jié)果偏小，整體偏于安全。因此，針對(duì)多層問(wèn)題，RVM-AFOSM計(jì)算速度極快，且計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確，能夠滿足實(shí)際工程需要。

RVM-AFOSM計(jì)算所得的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)：φ1＝32.57°、c1＝ 5.21 kN／m2、φ2＝ 18.34°、c2＝ 7.20 kN／m2、φ3＝10.69°，其安全系數(shù)為 1.047，位于邊坡穩(wěn)定的極限狀態(tài)面附近，從側(cè)面證明RVM-AFOSM對(duì)邊坡安全系數(shù)估算和可靠度計(jì)算的準(zhǔn)確性。

4 結(jié) 論

本文將 RVM與 AFOSM相結(jié)合，采用 RVMAFOSM模型對(duì)邊坡穩(wěn)定進(jìn)行可靠性分析。模型充分發(fā)揮了RVM在處理非線性、小樣本、高維數(shù)方面計(jì)算速度快、準(zhǔn)確率高等優(yōu)勢(shì)；采用RVM對(duì)邊坡安全系數(shù)進(jìn)行估算，避免了傳統(tǒng)極限狀態(tài)函數(shù)不能顯式表達(dá)、難以求解導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題；采用AFOSM代替MVFOSM計(jì)算邊坡可靠度，其設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)位于極限狀態(tài)面上，可靠度計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。通過(guò)對(duì)多層邊坡進(jìn)行分析，將計(jì)算結(jié)果與其他方法進(jìn)行比較，充分證明了采用RVMAFOSM對(duì)邊坡穩(wěn)定進(jìn)行可靠度計(jì)算的可行性。因此，RVM-AFOSM具有計(jì)算效率高、計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確、簡(jiǎn)單易用等優(yōu)勢(shì)，在實(shí)際工程中具有廣泛的應(yīng)用前景。