結合圖像，高效學習——初中數學數形結合思想的解題應用

江蘇省邗江中學北區校維揚中學 徐 亮

數學是一門嚴謹的學科，其專業的指導思想決定了數學研究的方法，其中，數形結合思想在研究數學中的數量關系和空間形態上起著非常重要的作用，其指導學生將抽象問題借助圖形等，將復雜問題轉換成簡單問題。但是實際教學中，學生雖然知道有數形結合思想，但是卻不能夠巧妙運用其分析解決問題，因此，教師要突出數形結合在數學中的應用，加強學生運用數形結合方法解決問題的訓練。

一、數形結合在公式證明中的應用

數學解題中最常見的思想就是數形結合，其廣泛應用在公式證明上。與其他數學思想相比，數形結合的思想利用直觀的圖像構建數量關系，方便學生從題目中獲取信息，作出與解題有關的輔助線，從而得出相應的結論。由此可見，數形結合的思想在提高學生的學習質量和解題效率上有著非常重要的作用。

比如初中數學教材中的平方差公式的證明，其運用的面積法就是數形結合方法的具體體現。為了便于學生更加直觀地觀察，教師在用面積法驗證平方差公式時，可以讓學生先拿出任意邊長的正方形紙張，這里假定邊長為m，然后沿著其中一角，剪掉一個邊長為n的小正方形，這樣就有兩個邊是m-n，接著再將其中一個突出的圖形沿著寬為n 的部分剪開，并將其和長為m，寬為m-n 的部分拼在一起組成一個長方形，最后可以根據圖形拼接得到面積等式：m2-n2＝（m+n）（mn），這樣就證明了平方差公式。

二、數形結合在函數問題上的應用

一般初中的函數題除了使用待定系數法，數形結合法也是非常常見的方法，比如學生經常遇到的給點坐標求面積，或者是已知面積求點坐標問題，都是以基本公式思想為依托。一般與函數相關的問題，題目本身是沒有圖的，如果學生不能照著題干畫出大致圖像，干想是想不出的，而且一些涉及函數待定系數的問題，學生只有通過畫圖才能知道函數的大致性質，需要對哪些量進行分類討論。比如一次函數的k 和b，二次函數的開口方向、對稱軸的位置、解的個數，這些只有通過直觀形象的圖像才能保證解題的完整性。

三、數形結合在證明幾何問題中的應用

數形結合法除了能夠用于公式證明和解函數相關的問題，在幾何證明上面也運用得很多。初中涉及的證明題大多都是與三角形有關的，需要學生去添加輔助線，基本上輔助線作對了，證明就沒有什么問題了，因此，在線段相等、角相等這些方面，教師要引導學生多作三角形的中線、角平分線、高去構造三角形，然后再利用全等、相似的性質證明線段與線段、角與角之間的關系。

比如：“BF 是△BCD 的中線，DE ⊥BF 于E，CG ⊥BF 交BF的延長線于G，求證：CG ＝DE”，這是典型的用數學結合方法中的面積法證線段相等的題型，而且從題意來看，必然要作輔助線構造出三角形，因為面積法大多就是利用三角形的面積關系來求解。

四、數形結合在概率統計問題中的應用

初中教材中，概率統計部分也涉及數形結合思想，正如我們正常看到的一些簡單的隨機事件都可以用樹狀圖、折線圖、折線圖進行分析，還有比較常見的與陰影部分面積有關的概率題。比如：“邊長為a 的正方形里面有一個半徑為b 的圓形陰影，現在往這個正方形里投石子，那么石子落在陰影部分的概率是多少？”這是一道典型的數形結合的概率題，學生通過畫圖就能知道概率是

數形結合思想還可以解決與實際生活相關的問題，比如用來判斷一場比賽是否公平：“A、B 兩個同學在墻上畫出半徑為20cm 和40cm 的同心圓，然后在與墻相距相同距離處扔同樣數量的飛鏢，投到小圓內就判定為A 勝，投到大圓里就是B 勝，忽略剛好在兩條線上的，沒投中的不作數，現在判斷游戲是否公平？”學生比較A、B兩人投中的概率，得出結論是不公平。

此外，日常中經常遇到求解不規則圖形的面積問題，也離不開數形結合和概率的思想，教師可以讓學生依葫蘆畫瓢，仿照之前利用面積法求概率的題型，假定把要求的不規則圖形面積圈出來，在其外面或者是里面找出一個規則圖形，仿照題目中經常讓求石子、飛鏢等投進規定區域的概率的思想，學生可以自己往劃定的區域去投硬幣，記錄投到不規則圖形里面的次數，然后與總次數相比，得出一個概率值，這個概率值與面積有關，自然就能得到不規則圖形的面積。

總之，數形結合思想是初中數學教學中比較重要的思想之一，教師要認真備課進行歸納總結，提高學生的學習興趣，培養學生數形結合的意識，開拓學生的思維能力，從而全面提高學生的數學綜合素質。