圖形“說話”：幾何直觀在小學數學教學中的應用

☉趙維華

拓撲學家張素誠提出：“數學中的許多問題，其靈魂往往來自幾何”。幾何直觀是借助于圖形描述，實現對復雜數學問題的形象化展示，便于探究解題思路，預測結果。在小學數學教學中，教師要盡量多借用幾何直觀，順應小學生形象化思維特點，來討論和解決數學問題。數學課堂中的問題，多源于生活實踐，對于抽象的數學問題，往往可以從生活中尋找相應的邏輯模型。幾何直觀作為一種數學教學方法，有助于學生掌握“授人以漁”的方法。

一、從“數與代數”教學中融入幾何直觀

在數學里，“數”與“代數”是基礎。“數”本身是抽象的，與生活實踐緊密關聯，從“數”中來表示實際事物。同樣，對于“代數”也是數形結合思想的重要體現。華羅庚提出：“數以形而直觀，形以數而入微”。可見，對“數”的認識，應該讓學生從直觀化的“形”入手，來增進數學思維意識。在了解了整數后，小數的學習是對“數”概念的延伸，但對于小學生，小數的理解往往更為抽象，不易理解。在數的本質上，小數也是分數的一種特殊形式，也是基于分數概念而構建的。由于學生年齡小，對小數的意義存在理解偏差，使得學生在理解零點幾與十分之幾、零點幾幾與百分之幾，零點幾幾幾與千分之幾等關系時更難。在學習“小數的意義”時，教學的三個關鍵點有：一是對“1”的認識；二是對小數單位的認識；三是通過直觀方法來展示1位小數、2位小數、3位小數。通過對“1”的平分，可以分成10份、100份，1000份，這個過程可以進行形象直觀展示，由此得到取其幾份，就是整體的幾分之幾。同樣，在對其關鍵點講解時，對于十分位與十分之幾，百分位與百分之幾，千分位與千分之幾的認識，我們可以通過小正方體的組合結構，將整體看作單位“1”，如果平分兩份，則每份為0.5或者1/2；如果平分10份、100份、1000份，則得到十分之幾，百分之幾，千分之幾。在這個過程中，我們可以讓學生自己動手在小正方體上進行涂色，幫助學生理解0.1、0.01、0.001的概念。同樣，由此可以延伸0.3、0.5；延伸0.02、0.06，以及0.25、0.35等小數，還可以通過涂色，來認識0.001、0.005，以及0.100、0.150等小數。從而建立一位小數、兩位小數、三位小數所對應的零點幾、零點幾幾、零點幾幾幾，以及十分之幾、百分之幾、千分之幾等概念。

二、從“圖形與幾何”教學中融入幾何直觀

在小學數學中，“圖形與幾何”教學模塊主要考查學生的空間意識，引導學生培養空間想象、聯想能力。在學習圖形時，同樣可以結合幾何方法，引入幾何直觀教學思路，來展現圖形知識，培養學生從中鍛煉空間思維。在小學階段，圓是最先接觸的曲邊圖形，也是教學難點。對于圓的學習，有面積計算方法。圓的面積公式如何進行推導也是教學的重點。在認識圓概念時，我們導入一個特殊的概念“π”，在對圓進行圖形直觀轉化上，很難將之與規則圖形建立關聯，所以，推導圓的面積，與前期所學的三角形、平行四邊形面積具有較大差異。事實上，在對圓面積的延伸學習中，還涉及“有限”與“無限”的概念，也是小學生的認知難點。一些教材在展示圓面積推導公式時，往往通過有限均分，將圓轉化為直邊圖形，但對于分割后剩下的“弧”則并未說明，導致學生疑惑重重。為此，在解決該類問題時，我們要向學生展示“無限”分割的思想，要讓學生理解“化曲為直”時所存在的“弧”問題。一方面，我們可以數學多媒體動畫，將以動畫直觀展示將“圓”進行多次均分后，拼接成不同的長方形、三角形、梯形等結構過程；另一方面，我們通過分發學生16塊圓的分割圖形，讓學生自己動手拼圖，將其轉換為直邊圖形，從中體會“化曲為直”的過程，再結合多媒體，將圓進行均分32份、64份、128份、1000份等所拼接的圖形進行展示，從而讓學生認識到，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”的道理。

三、從“概率與統計”教學中融入幾何直觀

“概率與統計”也是小學數學的重要板塊知識，其教學目標在于引領學生學會收集、整理、分析數學信息，了解數據處理的方法。引入幾何直觀，讓學生從生產生活實踐中，認識“概率與統計”知識，加深對其理解和應用。如在學習扇形統計圖時，從扇形本身可以展示“部分”與“整體”的關系，讓學生從“部分”中來獲取相關信息，做出判斷與決策。扇形統計圖是實踐中常用的數量關系表示方法，對于扇形統計圖，可以將之與圓、按比例分配、百分數等知識進行統籌學習。通過學習扇形統計圖，讓學生從中認識數學統計的應用。如在某題中，我國的地形具有多樣性，各種地形所占總面積的大小可以用如下扇形圖來表示。由此，可以快速了解高原、山地、平原、丘陵、盆地等地形所占的比重，增強學生對整體地形結構的全面認識。

四、從“綜合與實踐”教學中融入幾何直觀

數學知識的學習在于應用，“綜合與實踐”就是倡導對學生數學應用能力的培養。我們可以利用幾何直觀教學，結合具體的數學實際問題，拓展學生的解題思路，讓學生能夠從直觀感受上，重新認識和表征數學問題，將抽象的數學問題解決出來。通常，數學問題中涉及的各類數學符號語言，可以將之與圖形、符號進行轉換或表征，便于我們進行轉化處理，還原數學的本質。在古代《孫子算經》中的“雞兔同籠”問題，在解決該題的方法有很多，如列表法、按腿法、砍腿法、方程法、作圖法等等。由于小學四年級學生未接觸方程，對方程法的教學不能用。而采用列舉法，涉及的數學計算量較大，也不宜選用。很多教師采用砍腿法、按腿法來計算。但卻很少有教師引入幾何直觀法來解決，忽視對幾何直觀法的應用。事實上，在小學四年級，學生的形象思維仍占主導，幾何直觀教學法的應用，也順應學生形象化思維特點。同時，幾何直觀本身與雞兔同籠問題的融合，可以將抽象的數學問題直觀化。如我們將線段AB代表雞的頭數量，BC代表兔的頭數量，AC代表總頭數量，AC=35；FC代表兔的腳數，FC=4；AD代表雞的腳數，AD=2；由此長方形ACHD面積加上長方形EHFG的面積為總腳數，即SACHD+SEHFG=94。因為SACHD=AC×AD=35×2=70，則SEHFG=94-70=24，再因為FH=CH=2，則EH=24÷2=12；又因為EH=BC，則BC=12。根據前述BC是兔子頭數，即有12只兔子；同樣，雞就有35-12=23只。由此，我們借助于幾何直觀教學思路，將雞兔同籠問題轉換為平面圖形邊長與面積的關系，讓學生能夠從圖形化展示中直觀的解決問題，簡化了數學問題，也深刻的理解各個數量關系，鍛煉了學生的數學思維力，幫助學生構建起數學知識體系。

五、結語

幾何直觀作為小學數學教學中的重要思想，對于廣大教師而言，還缺失幾何直觀教學意識，影響幾何直觀在數學教學中的有效應用。教師要認識到幾何直觀的重要性，關注數學知識與幾何直觀的關聯，特別是在小學數學中，貼近小學生思維認知實際，深入挖掘幾何直觀的運用途徑，讓數學知識脈絡更加清晰、直觀，啟發學生拓展數學思維，感受學習數學的樂趣。幾何直觀同樣對教師也提出了更高要求，教師還要加強專業學習，加強教研與交流，發揮幾何直觀的教學價值，讓數學課堂不再枯燥、固化。