一個基于混沌和DNA編碼的新型圖像加密算法

蘭 歡，葉瑞松

（汕頭大學數學系，廣東 汕頭 515063）

0 引 言

混沌系統具有一些特性-軌道的不可預測性、非周期性、對參數和初始值的高度敏感性等與密碼系統的特性-明文高度敏感性、密文呈現噪聲、密鑰的極端敏感性高度契合，基于混沌系統的圖像加密受到了廣泛關注[1].1989年，Robert Matthews 在標準Logistic 映射的基礎上提出一個廣義Logistic 映射，利用此映射產生偽隨機數序列對文本數據進行加密，這是混沌系統首次應用于加密[2].1998年，Fridrich 將二維連續型混沌映射推廣到離散型混沌映射，利用此映射對圖像像素點位置進行置亂，提出了一個置亂-擴散結構的圖像加密算法，這是第一次真正意義上的基于混沌的圖像加密系統[3].自此，基于混沌系統的圖像加密研究快速發展.Tao 等利用時空混沌系統產生密鑰流，用于圖像像素灰度值比特位的選擇，實現了圖像比特位層面的加密[4].Wang 等利用Logistic映射對顏色圖像R、G、B 顏色分量進行加密，該算法在改變各分量灰度值大小及位置的同時有效的降低了分量間的相關性[5].Belazi 等提出了一個基于置換-擴散網絡和混沌的加密算法，算法具體包括：基于新混沌系統的擴散、基于強S-boxes 的置換、基于Logistic 映射的擴散、分塊置亂[6].超混沌系統具有更為復雜的混沌性質，應用于加密算法中可更有效地增加算法安全性.王震等采用分數階超混沌Lorenz 系統產生的混沌序列對圖像進行加密，模擬實驗表明算法具有很好的安全性和應用潛力[7].Wang 等利用復數chen 系統和復數Lorenz 系統對顏色圖像進行加密，加密操作包括：R、G、B 分量各自置亂，基于異或操作的擴散，混淆R、G、B 數據[8].林青等提出了一個基于超混沌系統的具有動態可變性的加密算法，利用超混沌系統產生與明文圖像相關的動態可選序列，由此構建密鑰流[9].

DNA 序列具備一些特性-大規模的并行性、高度的存儲密度、獨特的分子結構以及分子間識別機制，使其在信息加密領域擁有巨大的發展前景[10].張勛才等提出了一個基于DNA 編碼和超混沌系統的圖像加密算法，通過SHA-3 算法計算Hash 值將其作為超混沌呂系統的初始值，對圖像進行DNA 編碼及運算，利用超混沌呂系統生成的混沌序列對圖像進行置亂[11].Enayatifar 等提出了一個基于DNA 編碼及代數運算的圖像加密算法，算法采用了同步置亂-擴散-置亂的加密結構[12].Zhang 等使用混合線性-非線性耦合映射網格的時空混沌系統、DNA 編碼和運算技術對圖像進行加密[13].

本文將上述混沌系統和DNA 編碼這兩種加密技術進行了有效地結合，通過采用復雜的加密結構：預處理-比特層面的擴散-置亂-DNA 編碼及多輪雙向擴散，設計出一個更為安全有效的圖像加密算法.在預處理階段，算法將灰度明文圖像進行位平面分解，再將位平面合并，目的是在圖像比特層面進行加密操作，增強加密效果.在第一輪擴散階段，利用改進Logistic 映射生成的混沌序列對預處理后圖像進行正向擴散和逆向擴散.在置亂階段，通過置亂序列改變圖像像素點位置.根據位平面分解逆運算將圖像恢復成256 個灰度級的灰度圖像.在第二輪擴散階段，利用超混沌chen 系統產生的通過了NIST 測試的隨機序列對圖像進行DNA 編碼及代數運算，再通過多輪雙向擴散進一步提高算法的安全性.最后，安全性能分析驗證算法的安全性和有效性.

論文的主要創新點如下：

（1）對標準Logistic 映射進行改進，提出一個混沌性質更好的改進Logistic 映射.

（2）同時應用改進Logistic 映射和超混沌chen 系統，增大了算法的密鑰空間、增加了算法的復雜度.

（3）通過隨機性測試包NIST 來提高加密過程中混沌序列的隨機性，有效地提高加密算法的安全性.

（4）DNA 序列在數據加密領域擁有巨大的發展潛力，論文利用混沌系統產生規則數值，利用DNA 序列進行編碼及運算，使得算法同時結合了混沌系統和DNA 序列在加密領域的優勢.

論文包括如下5 個章節：

1 引言.概括了基于混沌系統和DNA 序列的圖像加密研究現狀，闡述了算法方案以及創新點，給出了組織結構.

2 基本理論概括.介紹了位平面分解原理，提出了改進Logistic 映射，同時分析了改進Logistic 映射及超混沌chen 系統的混沌特性，介紹了DNA 編碼和代數運算規則等.

3 圖像加密算法.提出了一個灰度圖像加密算法，給出了算法的流程圖以及具體加密過程.

4 實驗結果和安全性能分析.對算法進行了仿真實驗和安全性能分析，驗證了算法的安全性.

5 總結.對論文進行總結.

1 基本理論概述

1.1 位平面分解

對于256 個灰度級的灰度圖像，像素點灰度值a 的取值范圍是從0 到255 的整數，可表示成8 位的二進制序列：

其中bi∈{0，1}（i=1，2，…，8），因此，灰度圖像可被分解成8 個位平面，其中第i 個位平面由所有灰度值的第i 個比特組成.圖1是灰度圖像Lena，圖2是Lena 的8 個位平面.可以看到，灰度圖像的重要信息主要隱藏在高位的位平面中.

圖1 Lena 圖

圖2 Lena 位平面圖

本文預處理階段將明文圖像位平面按照圖3合并得到一個新的圖像，并在此位平面大圖上實施加密操作，以達到對目標圖像快速加密保護的目的.

圖3 Lena 位平面合并圖

1.2 混沌系統

1.2.1 Logistic 映射和改進Logistic 映射

Logistic 映射是著名的一維非線性混沌映射，定義模型如下：

其中 u 是系統控制參數，u∈（0，4］，初始值 x0∈[0，1].

對Logistic 映射進行改進，改進Logistic 映射定義模型如下：

這里u＞0，初始值x0∈[0，1]，k 是系統參數，本文令k=13，ceil（x）是返回不小于x 的最小整數.進行混沌特性分析時不妨令u∈（0，10］.

分岔圖是用于識別混沌行為的特征之一，凡是產生混沌行為的系統可以觀察到分叉序列.圖4是Logistic 映射和改進Logistic 映射的分岔圖，可以看到，Logistic 映射只在參數u∈[3.57，4]時具有很好的分叉現象，改進Logistic 映射在u∈（0，10］上均具有極好的遍歷性，即改進Logistic 映射比Logistic 映射具有更大的參數空間.

圖4 分岔圖

Lyapunov 指數是表示相空間相鄰軌跡的平均指數發散率的數值特征，正的Lyapunov指數是混沌系統的典型特征，數值越大，混沌特性越好.一維動力系統xn＋1=f（xn）的Lyapunov 指數計算公式如下：

n 維動力系統的Lyapunov 指數的計算公式如下：

圖5是Logistic 映射和改進Logistic 映射的Lyapunov 指數圖.圖5（a）可以看到，u∈[3.57，4]時Logistic 映射的Lyapunov 指數出現正值，圖5（b）可以看到，改進Logistic映射的Lyapunov 指數在u∈（0，10］時都大于0，即改進Logistic 映射具有更好的混沌行為及更穩定的混沌特性.

圖5 Lyapunov 指數圖

信息熵可以反映序列的不確定性，一般認為，信息熵越大，不確定性越強，理想值等于8.混沌序列信息熵計算公式如下：

其中F 是灰度等級數，即F=256，將1 平均分成256 個區間，P（R=i）是序列中數值屬于第i 個區間的概率.

圖6是Logistic 映射及改進Logistic 映射的信息熵，其中藍色表示Logistic 映射，紅色表示改進Logistic 映射.可以看到，Logistic 映射的信息熵只有在u∈[3.57，4]時較為靠近理想值8，而改進Logistic 映射的信息熵在u∈（0，10］上都非常接近理想值8.相比標準Logistic 映射，改進Logistic 映射產生序列的不確定性更好，隨機性更強.

自相關系數被用來檢測時間序列x=（x1，x2，…，xN）前后數據之間的相關性，自相關系數越接近0，時間序列的相關性越弱，隨機性越強，計算公式如下：

圖6 信息熵

其中mean（x）是序列x 的算術平均值.圖7、圖8分別是不同參數u 下Logistic 映射、改進Logistic 映射生成時間序列的自相關檢測圖.可以看到，整體而言，改進Logistic 映射時間序列的自相關系數比Logistic 映射時間序列的自相關系數更接近0，即改進Logistic映射生成的時間序列間的自相關性更弱.

圖7 Logistic 映射時間序列自相關檢測圖

圖8 改進Logistic 映射時間序列自相關檢測圖

根據圖4-8，論文提出的改進Logistic 映射比標準Logistic 映射具有更好的混沌行為、更大的參數空間、更大的不確定性、更弱的自相關性、更好的隨機性等特性.

1.2.2 超混沌chen 系統

超混沌chen 系統是一個四維連續型混沌系統，其方程為：

其中 x，y，z，w 是系統狀態變量，a，b，c，d，r 是系統參數，在 a=35，b=3，c=12，d=7，r∈[0.085，0.798]時，系統表現出超混沌行為，本論文取參數a=35，b=3，c=12，d=7，r=0.6，設定初始值x0=4.45，y0=4.5，z0=5.6，w0=6.7.

圖9是取步長為0.002 利用四階龍格-庫塔方法得出的超混沌chen 系統的吸引子相圖，可以看出，超混沌chen 系統具有奇異吸引子，處于混沌狀態.

圖9 超混沌chen 系統相圖

圖10是超混沌chen 系統生成的x，y，z，w 時間序列及其對初值的敏感性分析，其中紅色曲線對應原初始值的時間序列，藍色曲線是初始值改變1/10000 后的時間序列.可以看到，初始值的細微變化引起了紅、藍曲線的巨大差距，即超混沌chen 系統輸出值的巨大變化，超混沌chen 系統對初始值具有高度敏感性.

圖11是超混沌chen 系統的時間-Lyapunov 指數圖，系統若只存在一個大于零的Lyapunov 指數，則系統是混沌系統，若存在兩個及以上大于零的Lyapunov 指數，則是超混沌系統.超混沌chen 系統正的Lyapunov 指數個數大于1，具有很好的超混沌性質.

1.3 隨機數發生器的設計和NIST測試

NIST SP800-22（National Institute of Standards and Technology Special Publication 800-22）是利用概率統計方法對比特序列的隨機性進行檢測的統計分析測試包，共包括15 項測試.NIST 測試結果由p 值測定，假若給定顯著性水平α=0.01，所有p≥α 時，可認為在該顯著性水平下該比特序列是隨機的.

圖11 超混沌chen 系統Lyapunov 指數圖

1.3.1 基于改進Logistic 映射的隨機數發生器

本文算法中使用了改進Logistic 映射和超混沌chen 系統，基于這兩種混沌系統設計兩個隨機數發生器.

基于改進Logistic 映射的隨機數發生器設計方案如下：

算法1.基于改進Logistic 映射的隨機數發生器偽算法輸入：N0、u、x0輸出：X 1.輸入初始值：N0、u、x0。N0 是序列舍棄項數，u 是改進Logistic 映射初始參數，x0 是初始值.2.迭代，生成時間序列g。取k=13，改進Logistic 映射（式（3））迭代生成時間序列，舍棄其前N0 項得到序列g.3.生成比特序列X。X=mod（floor（g×1013），2）（9）這里floor（）是向下取整函數，mod（）是取模函數.4.對X 的前1 百萬項進行NIST 測試。若測試通過，則認為在初始值u、x0、k 下比特序列X 的隨機性是極高的.若測試不通過，則改變參數k:k=k-1，重復步驟2-4，直到測試通過，若到k=0 仍未通過，則k=13 且改變x0:x0=x0＋0.001，重復步驟2-4，直到測試通過，則認為在該u、x0、k 下比特序列X 的隨機性是極高的.5.輸出比特序列X.

通過模擬實驗，在N0=200、u=8、x0=0.28 時，算法1 可得到隨機性極高的比特序列X，即X 的前1 百萬項通過了所有的NIST 測試，其測試結果如表格1、2、3 所示，其中取顯著性水平α=0.01.

表1 比特序列X 的NIST 測試結果

表2 The Random Excursions test 結果

表3 The Random Excursions Varianttest 結果

1.3.2 基于超混沌chen 系統的隨機數發生器

對于基于超混沌chen 系統的隨機數發生器設計方案如下：

算法2.基于超混沌chen 系統的隨機數發生器偽算法輸入：N1、x0′、y0、z0、w0、h輸出：X′、Y、Z、W 1.輸入初始值：N1、x0′、y0、z0、w0、h.N1 是序列舍棄項數，x0′、y0、z0、w0 是系統 4 個初始值，h 是步長.2.生成時間序列.利用四階龍格-庫塔方法，根據步長h 得到超混沌chen 系統（式（8））的4 個時間序列，舍棄前N1 項，得到時間序列X1′、Y1、Z1、W1.3.生成8-比特序列X′、Y、Z′=mod（floor（X1′×1013），2＾8）Y =mod（floor（Y1×1013），2＾8）Z =mod（floor（Z1×1013），2＾8）W=mod（floor（W1×1013），2＾8（10））4.選擇適合的比特位序列進行NIST 測試.分別對X′、Y、Z、W 序列前1 百萬項的第8 比特位序列進行NIST 測試，通過測試即認為該比特位序列是該序列的隨機比特序列，若某序列的第8 比特不能通過測試，則選擇下一個比特位進行測試，直到有比特位序列通過，通過的比特位序列即為該序列的隨機比特序列。若某序列第8 至第1 比特位序列均不能通過測試，則改變步長h：h=h-0.0001，重復步驟2-4，得到該序列的新8-比特序列，直到有比特位序列通過測試.5.輸出步驟4 中隨機比特序列，并記其為新的X′、Y、Z、W.

通過模擬實驗，在初始值x0′=4.45，y0=4.5，z0=5.6，w0=6.7，步長h=0.002 時，通過算法2 的步驟1-3，得到原序列X′、Y、Z、W，通過算法2 的步驟4，原序列X′、Y、Z、W 分別第7、6、5、7 比特位序列的隨機性極高，記為新的X′、Y、Z、W，各比特序列NIST 測試結果如表格4、5、6 所示，其中取顯著性水平α=0.01.

1.4 DNA編碼及異或運算

DNA 是一種由四種脫氧核苷酸-A（腺嘌呤）、T（胸腺嘧啶）、G（鳥嘌呤）、C（胞嘧啶）組成的分子結構，且遵循堿基互補配對原則，即A 和T 通過兩個氫鍵配對，G 和C 通過三個氫鍵配對.在二進制系統中0 和1 配對，即0?1，則有即00?11，01?10，這種高度的相似度使得堿基的排隊組合可以用來進行信息的存儲和計算.灰度圖像像素點灰度值可用8 位二進制數來表示，采用DNA 編碼可表示為4 個堿基序列.

表4 比特序列的NIST 測試結果

表5 The Random Excursions test 結果

表6 The Random Excursions Varianttest 結果

表7是DNA 序列的8 種編碼規則表，例如按照規則1 進行編碼，則有對應關系：A?00、C?01、G?10、T?11.舉一個例子，假如像素點灰度值為210，則其二進制序列為11010010，按照上述對規則1-8 進行DNA 編碼，則可分別表示為TCAG、TGAC、GACT、GTCA、CAGT、CTGA、ACTG、AGTC.

表7 DNA 序列編碼表

表8是8 種規則下的DNA 序列異或運算表.舉一個例子，灰度值分別為208 和25的兩個像素點，其二進制分別為11010000、00011001，若按照規則1 對其進行DNA編碼，則為TCAA、ACGC，再按照規則3 進行異或運算，則可表示為TCAA⊕ACGC→GCTA.

表8 DNA 序列異或運算

2 圖像加密算法

本文設計了基于改進Logistic 映射和超混沌chen 系統的隨機數發生器，算法使用了位平面分解合并、正逆向擴散、DNA 編碼及其代數運算等技術，采用復雜的加密結構，通過對圖像像素點灰度值大小和位置的改變，實現對灰度圖像安全、有效加密.

算法流程圖如圖12所示.

圖12 加密算法流程圖

具體加密步驟如下：

Step 1.初始數值輸入.

讀入大小為M×N 的灰度圖像P，記P（i，j）為圖像P 第i 行、第j 列的像素點的灰度值.輸入初始密鑰：改進Logistic 映射的參數u，初始值x0；超混沌chen 系統的初始值、y0、z0、w0.將明文圖像P 作為SHA-512 函數的輸入值，得到128 位的十六進制序列，并轉化為十進制序列，記為H.

Step 2.預處理.

（1）將明文圖像P 分解得到8 個位平面.

（2）記 H1為序列 H 的奇數項之和，即 H1=∑i∈[1，3，5，…，127]H（i），

記 H2為 H 的偶數項之和，即 H2=∑i∈[2，4，6，…，128]H（i），

設定隨機種子：seed=sum（H1⊕H2），隨機生成[0，1]的8 個數值，進行升序處理得到一個長度為8 的升序序列E1.

按照序列E1對8 個位平面進行位置置亂，實現重新排位.

（3）根據1.1 節，將位平面合并得到大圖P1，圖像P1的大小為2M×4N.

Step 3.正向擴散+逆向擴散.

（1）得到擴散序列X.根據1.3.1 節，給定N0=200，通過算法1 得到一個隨機性極高的比特序列X，即X 的前1 百萬項通過了所有的NIST 測試.取X 的前8MN 項，記為新的擴散序列X.

（2）P1將轉化為一維序列.

這里mod 是取模運算，⊕是異或運算.

（5）將P3轉化為2M×4N 的矩陣.

Step 4.置亂.

（1）得到置亂序列E2.根據1.3.2 節，設定h=0.002，通過算法2 的步驟1-2 得到時間序列、Y1、Z1、W1，分別取其前2MN 項，按順序合并，對其進行升序處理得到長度為8MN的升序序列E2，E2即為所求置亂序列.

（2）將圖像矩陣P3旋轉180°，記為新的P3.

（3）根據置亂序列E2進行置亂：

（4）將序列P4轉化為2M×4N 的矩陣，按照位平面合并及位平面分解的逆操作得到大小為M×N 的新的矩陣.

（5）將新矩陣旋轉180°，記為新的P4.

Step 5.DNA 編碼和運算.

（1）根據1.3.2 節，設定h=0.002，通過算法2 得到4 個隨機性極高的比特序列X′、Y、Z、W.

（2）分別取序列X′、Y、Z、W 的前8MN 項，不重復地依次將連續8 個比特數進行比特合并，得到4 個長度為MN 的隨機序列，記為M1、M2、M3、M4.

（3）對于 P4中的第（i=1，2，…，MN）個像素點，令

則A、B、C、D∈{1，2，…，8}，根據1.4 節DNA 編碼規則及其運算規則，按照規則A，將P4（i）進行DNA 編碼，按照規則B，將S（i）進行編碼，按照規則C，將上述兩個DNA序列進行異或運算，按照規則D，將上述運算結果進行DNA 解碼，得到P5（i）.

Step 6.正向擴散+逆向擴散.

Step 7.將P7賦給P5重復Step 8、Step 9 兩次，將得到的新序列轉化為M×N的矩陣，記為新的P7.

Step 8.輸出密文P7，輸出序列H，將其作為解密算法中的密鑰之一.

解密算法是上述加密算法的逆過程，這里不再詳述.

3 仿真實驗和安全性能分析

3.1 仿真實驗

采用MATLAB R2016a 軟件對算法進行仿真實驗，實驗設備主要硬件環境為：處理器：Intel Core i7-7500U CPU @2.70 GHz 2.90 GHz；安裝內存：8GB；運行系統：Windows 10 家庭中文版.實驗圖像均取自文獻[14]的圖像數據庫，包括大小為256×256的灰度圖像Lena、512×512 的灰度圖像Bridge、1024×1024 的灰度圖像Male.實驗隨機選取密鑰：u=8，x0=0.28，=4.45，y0=4.5，z0=5.6，w0=6.7，論文1.3 節驗證了該密鑰下隨機序列的生成.

實驗結果如圖13所示，Lena 圖像（a）經算法加密后得到密文圖像（b），可以看到，密文圖像呈現雪花形狀，無明顯紋理出現，不能反映出Lena 任何信息，起到了有效的隱藏和保護作用.密文圖像（b）經解密得到解密圖像（c），經計算，（c）與（a）中不同像素點個數為0，即算法可在正確密鑰情況下經由解密算法進行無偏差地解密.相同方法分析灰度圖像Bridge 和Male，不再詳述.根據上述實驗結果可知，本文加密算法可有效地隱藏灰度圖像的重要信息，同時可實現無偏差復原.

圖13 仿真實驗結果

3.2 安全性能分析

3.2.1 密鑰空間分析

算法密鑰空間K={u、x0、、y0、z0、w0}，其中u 的取值范圍為（0，＋∞），x0、、y0、z0、w0的取值范圍為（0，1），如果采用精確到小數點后14 位的雙精度表示，則在不考慮密鑰u 的情況下，總的密鑰空間已達1070，即密鑰長度已達log2（1070）≈233bit，一般認為，算法的密鑰長度達到128bit 則是安全的，因此即使不考慮無窮范圍的密鑰u，算法的密鑰空間已達到安全標準，若考慮密鑰u，則算法的密鑰空間無窮大，足以極為有效地抵抗窮舉攻擊.

3.2.2 直方圖分析及χ2 檢驗

直方圖可表現出圖像像素點灰度值分布的統計特性，性能良好的加密算法可使得其密文圖像灰度值具有一致分布的趨勢.灰度圖像Lena、Bridge、Male 的明文、密文直方圖結果如圖14所示.可以看到，明文的直方圖都分布不均勻，起伏波動大，密文的直方圖則分布均勻，具有一致分布的趨勢，由此可知，本文加密算法可有效地保護灰度圖像抵抗統計分析攻擊.

圖14 直方圖

χ2檢驗用于進一步分析明文和密文直方圖的統計特性.記每個灰度值的像素點頻數為fi，其理論頻數為gi，（i=0，1，…，255），假設直方圖服從均勻分布，則稱為χ2統計量.給定顯著性水平α，計算圖像直方圖的χ2統計量，若其中n 是灰度等級，即n=256，則可認為在該顯著性水平圖像像素點是近似均勻分布的.這里取顯著性水平α=0.05，則

對直方圖進行χ2檢驗，結果如表9所示，可以看到，明文圖像χ2統計量都遠遠大于說明在顯著性水平0.05 下，三個明文圖像的像素點灰度值分布均與均勻分布有顯著差異，而密文圖像的χ2統計量都明顯小于可認為這三個密文圖像像素點灰度值分布都是近似均勻分布的.

表9 χ2 檢驗結果

3.2.3 相關性分析

自然圖像相鄰像素之間具有很強的相關性，使得圖像易受統計分析攻擊，兩個像素點序列的相關性系數計算公式如下：

其中T 是考察的像素點對數，x，y 是相鄰像素點灰度值序列，根據x，y 的不同取法，可分別計算出水平方向、垂直方向、對角方向相關性系數.

分別從不同方向隨機選取T 個像素點對，這里令T=5 000，計算各明文、密文的相關性系數，某次實驗結果如表10所示，三個明文圖像的各個方向相關性系數都很大且接近于1，即明文圖像各個方向的相鄰像素相關性極強，同時，三個密文圖像的相關性系數都極小且非常接近0，即密文圖像各個方向的相鄰像素相關性極弱.圖15是Lena明文、密文像素點分布圖，可以看到，明文像素點分布呈線性分布的趨勢，而密文像素點分布呈無序狀態，無規律可尋.本文算法可有效降低明文圖像相鄰像素點間相關性，可有效地抵抗統計分析攻擊.

表10 相鄰像素間相關性系數

明文和密文之間的相關性也能反映出加密算法的有效性，明文A 和密文B 之間的相關系數計算公式如下：

這里M、N 是圖像矩陣的大小，mean（x）代表序列x 的平均值.

圖15 Lena 像素點分布

分別計算各灰度圖像明文和密文之間的相關性系數，結果如表11所示.可以看到，三個圖像的明文和密文之間的相關性系數都非常接近0，即明文和密文之間的相關性極弱，進一步驗證了加密算法的有效性.

表11 明文和密文的相關性系數

3.2.4 信息熵分析

分別計算各灰度圖像明文、密文的信息熵，結果如表12所示.可以看到，明文圖像信息熵都較小，與理想值8 相差較大，即明文圖像信息不確定性弱，而密文圖像信息熵均明顯大于對應明文圖像的信息熵，且非常接近理想值8，尤其是大小為是1024×1024的Male 密文圖像，其信息熵可達7.999 8，說明了密文圖像信息的不確定性很強.本文算法可有效的降低明文圖像的信息熵，極大地增強圖像信息的不確定性.文獻[15]是一個基于DNA 編碼的圖像加密算法，與本文算法存在一定的可比較性，比較本算法和文獻[15]密文信息熵，整體而言，本算法密文信息熵略大于文獻[15]密文信息熵，可認為本文的加密效果約優于文獻[15].

表12 信息熵

3.2.5 密鑰敏感性分析

圖像密碼系統的敏感性分析包括密鑰敏感性、明文敏感性、密文敏感性分析，旨在分析目標對象發生細微變化引起的輸出圖像的差別，一些指標可作為這種差別的度量方法，如NPCR（像素改變率）、UACI（平均改變強度），其計算公式如下：

其中C1，C2是進行比較的兩個圖像.假如兩個圖像均是隨機圖像，則兩個圖像任一像素點灰度值不相等的概率為即NPCR 的理論期望值是99.6094%，同理UACI 的理論期望值是33.4635%，假如一個圖像給定，另一個是隨機圖像，則這兩個圖像任一像素點灰度值不相等的概率仍為UACI 的理論期望值與給定圖像像素點有關，經計算若給定灰度圖像Lena，另一個是隨機圖像，則UACI 的理論期望值為30.5588%.

密鑰敏感性分析旨在分析當系統密鑰發生細微變化時，同一明文圖像加密得到的兩個密文圖像的差別或者同一密文圖像解密得到的兩個解密圖像的差別.若兩個圖像差別很大，則認為該加密系統密鑰敏感性強，反之，密鑰敏感性弱.以圖像Lena 為例，對算法的加密過程和解密過程進行密鑰敏感性分析.

（1）加密過程中的密鑰敏感性分析

表13 加密過程中密鑰敏感性分析 （%）

（2）解密過程中的密鑰敏感性分析

同上方法改變密鑰值，在該密鑰下解密，得到新的解密圖像，計算該解密圖像與原解密圖像的NPCR，UACI，結果如表14所示.解密圖像間的NPCR，UACI 值均與理論值非常接近，可認為密鑰改變前后解密圖像之間的差別極大，即算法的解密過程中也具有很強的密鑰敏感性.

表14 解密過程中密鑰敏感性分析 （%）

3.2.6 明文敏感性分析

明文敏感性分析旨在分析相同密鑰條件下明文圖像的細微改變引起的密文圖像的改變程度，改變很大時，加密系統具有很強的明文敏感性，可有效抵抗差分攻擊.以圖像Lena 為例，隨機改變Lena 一個像素點灰度值的一個比特值，加密得到新的加密圖像，計算該密文與原密文的NPCR，UACI，500 次的隨機實驗結果如圖16、表15所示.可以看到，NPCR，UACI 值都圍繞其理論值上下波動，波動幅度較小，平均值非常接近其理論值.本文加密系統具有很強的明文敏感性，可有效的抵抗差分攻擊，可有效的抵抗選擇明文攻擊和選擇密文攻擊.

圖16 明文敏感性-NPCR，UACI 曲線

表15 明文敏感性分析 （%）

3.2.7 密文敏感性分析

密文敏感性分析旨在分析當密文圖像發生細微改變后，經解密系統解密后得到的解密圖像與原解密圖像的差別.若兩個圖像差別很大，則該加密系統具有較強的密文敏感性，反之，具有較弱的密文敏感性.以圖像Lena 為例，隨機改變其密文圖像一個像素點灰度值的一個比特，并對其解密，得到新的解密圖像，計算該解密圖像與原解密圖像的NPCR，UACI，500 次的實驗結果如圖17、表16所示.可以看到，NPCR，UACI值圍繞理論值上下波動，波動幅度不大，平均值都非常接近其理論值，說明本文加密系統具有很強的密文敏感性.

4 總結

本文提出了一個基于混沌和DNA 序列的新型圖像加密算法.論文對Logistic 映射進行了改進，提出一個混沌特性更好的改進Logistic 映射，基于改進Logistic 映射、超混沌chen 系統設計了兩個隨機數發生器以增加算法的隨機性.算法采用預處理-比特層面擴散-置亂-DNA 編碼及運算-多輪擴散的復雜加密結構，使用了位平面分解、混沌系統生成隨機序列、DNA 編碼及運算等技術，有效地提高了加密算法的安全性.性能分析證明了該算法具有極大的密鑰空間，很好的統計特性，極強的密鑰敏感性、明文敏感性，可有效的抵抗如窮舉攻擊、統計分析攻擊、差分攻擊等各項攻擊，具有很好的安全性和有效性.

圖17 密文敏感性-NPCR，UACI 曲線

表16 密文敏感性分析 （%）