坐標系與參數方程應用中的“三類誤區”

■江蘇省泰興市第一高級中學 張 震

在極坐標方程與參數方程的應用中，由于“忽略互化的條件、混淆參數方程中參數的幾何意義和借助極徑探究最值缺少極角取值范圍的限制”，有些同學常常出現下列思維誤區：

誤區1——參數方程與普通方程的互化中忽略“等價變形”

例1 在直角坐標系x O y中，曲線M的參數方程為x=sinθ+c o sθ，(θ為參數)，｛y=s i n2θ若以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線N的極坐標方程為求曲線M上的點與曲線N上的點的最小距離。

錯解：由曲線M的參數方程(θ為參數)，消參得1+y=x2，即y=x2—1。不妨設曲線M上一點為P(x0—1)，由曲線N的極坐標方程得曲線N的直角坐標方程為x+y+2=0，則點P到曲線N的距離，所以當時

剖析：錯解中y=x2—1非曲線M的參數方程的等價變形，應考慮到x=sinθ+，故x∈［ —］，所以曲線M的直角坐標方程為y=x2—1，x∈［—，］，于是曲線M上一點P(x0—1)，其中x0∈ ［—，］，則點P到曲線N的距離，所以當時，

又易知曲線M上的點與曲線N上的點的最小距離等于曲線M上的點與曲線N的距離的最小值，故所求最小距離為

警示：參數方程化普通方程，既要消參得到橫、縱坐標所滿足的關系式，又要探究橫、縱坐標對參數的值域，這個值域和橫、縱坐標所滿足的關系式才與原參數方程等價。本題中x∈[—，]，y∈[—1，1]和函數關系y=x2—1可省略隱含條件y∈[—1，1]，這里有一個重要的技巧：消參后若得到是非閉合曲線(如拋物線、雙曲線)，務必要注意考察x的取值范圍。同學們在遇到橢圓或圓的最值問題時往往能夠考慮到將普通方程化為參數方程，再運用三角函數求最值，而本題卻是拋物線的最值問題，那該怎么辦呢?本題給了我們一個重要經驗：與拋物線上的點相關的最值問題往往可轉化為二次函數進行求解。

誤區2——橢圓參數方程中對角參數的含義理解不清

例2 設M為橢圓(α為參數)上一點，O為坐標原點，且∠x OM=，求點M的坐標。

錯解：將∠x OM=代入橢圓的方程，得=3，所以點M(2，3)。

剖析：錯解中把點M與原點連線的傾斜角誤認為是過該點的橢圓參數中所對應的角參數α，這是錯誤的，這個角是離心角，現階段的教材不研究其幾何意義。借助點M與原點連線的傾斜角和三角知識分類溝通關系求解。

設點M(4 c o sα，2sinα)。

(1)當點M在第一象限時，有kOM=，所以t a nα=2，從而c o sα=，sinα=，所以點(2)當點M在第四象限時，有kOM=，所以t a nα=—2，從而c o sα=，sinα=—，所以點

警示：把握所求角為交點與原點連線的傾斜角，運用點的坐標之間的關系確定傾斜角的正切值，依據傾斜角的意義和范圍合理分類求解，避免了橢圓參數中角參數幾何意義的理解，這符合課標和教材的要求。

誤區3——借助極徑探究線段長的最值時忽略極角的范圍

例3 在直角坐標系x O y中，曲線C的參數方程為(α為參數)，直線l的參數方程為(為參數)，在t以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線m：θ=β(ρ＞0)，設點A是m與C的一個交點(異于原點)，點B是m與l的交點，求的最大值。

錯解：(為參數)，平方消α參得C的普通方程為(x—1)2+y2=1，由可得(ρc o sθ—1)2+(ρsinθ)2=1，化簡得C的極坐標方程為ρ=2 c o sθ。直線的普通方程為x+y—4=0，其極坐標方程為ρc o sθ+ρsinθ—4=0，所 以

設A(ρ1，β)，B(ρ2，β)，則，故其最大值為

剖析：錯解凸顯了借助極坐標系中極徑探究線段長度的最值的思維方法，湊巧求得其最值，但忽略了射線與圓相交的條件，即忽略了極角的取值范圍。應補充：由射線m與C相交，則不妨設，則而，所以當，即時，取最大值，此時的最大值為

警示：在極坐標系中，以O為起點的線段均可寫成ρ的形式，這正是極徑ρ的幾何意義，極坐標方程實質是極徑關于極角的函數表達式，于是求解線段長的最值問題，常選用極坐標方程，此時應特別注意相交的條件即極角范圍的探究。始終注意一個原則，函數的問題，定義域優先。