2018 年高考全國卷理科函數與導數典例剖析

■河南省許昌高級中學 孫 旭

導數是研究函數性質的重要工具，利用導數研究函數的單調性、極值、最值是高考的熱點問題，每年必考，一般考查題型為討論函數的單調性、極值、最值，或者以函數的單調性、極值、最值為載體，求參數的取值范圍，證明不等式等。

典例1 (2 0 1 8年全國Ι卷理2 1)已知函數

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若f(x)存在兩個極值點x1，x2，證明

解答提示：本題考查導數在研究函數中的應用、函數的性質。(1)對函數求導，結合二次函數的性質對參數的取值范圍分類討論，根據導函數的符號求解函數的單調性。(2)根據(1)中的結論確定參數的取值范圍，對要證的不等式進行等價轉化，構造新函數，通過求解新函數的值域證明結論。利用對數均值不等式也可以對此不等式進行證明。

解析：(1)f(x)的定義域為(0，+∞)，

①若a≤2，則f "(x)≤0，當且僅當a=2，x=1時，f "(x)=0，所以f(x)在(0，+∞)上單調遞減。

②若a＞2，令f "(x)=0，得x=當x∈時，f "(x)＜ 0； 當x∈時，f "(x)＞0。所 以f(x) 在上 單 調 遞 減， 在上單調遞增。

(2)方法1：由(1)知，當且僅當a＞2時f(x)存在兩個極值點。

由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2—a x+1=0，所以x1x2=1，不妨設x1＜x2，則x2＞1。

設函數g(x)=—x+2 l nx，由(1)知，g(x)在(0，+∞)上單調遞減，又g(1)=0，從而當x∈(1，+∞)時，g(x)＜0。

典例2 (2 0 1 8年全國Ⅱ卷理2 1)已知函數f(x)=ex—a x2。

(1)若a=1，證明：當x≥0時，f(x)≥1；

(2)若f(x)在(0，+∞)上只有一個零點，求a。

解答提示：本題考查導數在研究函數性質中的應用。(1)利用導數與函數的單調性、最值的關系求解最值，以算代證。(2)利用導數與函數的單調性、最值的關系求解，注意對a的分類討論。也可以用分離參數或數形結合的方法來解決此問題。

解析：(1)當a=1時，f(x)≥1等價于(x2+1)e—x—1≤0。

設函數g(x)=(x2+1)e—x—1，則g "(x)=—(x2—2x+1)e—x=—(x—1)2e—x。

當x≠1時，g "(x)＜0，所以g(x)在(0，+∞)上單調遞減。

而g(0)=0，故當x≥0時，g(x)≤0，即f(x)≥1。

(2)方法1：設函數h(x)=1—a x2e—x。

f(x)在(0，+∞)上只有一個零點時，當且僅當h(x)在(0，+∞)上只有一個零點。

(i)當a≤0時，h(x)＞0，h(x)沒有零點；

(i i)當a＞0時，h "(x)=a x(x—2)e—x。

當x∈(0，2)時，h "(x)＜0；當x∈(2，+∞)時，h "(x)＞0。所以h(x)在(0，2)上單調遞減，在(2，+∞)上單調遞增。

故h(2)=1—是h(x)在(0，+∞)上的最小值。

①若h(2)＞0，即a＜，h(x)在(0，+∞)上沒有零點；

②若h(2)=0，即a=，h(x)在(0，+∞)上只有一個零點；

③若h(2)＜0，即a＞，由于h(0)=1，所以h(x)在(0，2)上有一個零點。

由(1)知，當x＞0時，ex＞x2，所以＞0，故h(x)在(2，4a)上有一個零點。

因此h(x)在(0，+∞)上有兩個零點。

綜上，若f(x)在(0，+∞)上只有一個零點，則

方法2：由題意知f(x)=ex—a x2。

f(x)在(0，+∞)上只有一個零點等價于方程ex—a x2=0在(0，+∞)上只有一個實數根，即在(0，+∞)上只有一個實數根，等價于函數y=a的圖像與函數的圖像在(0，+∞)上只有一個交點。

設m(x)=，則m "(x)=

所以當x∈(0，2)時，m "(x)＜0；當x∈(2，+∞)時，m "(x)＞0。

因此m(x)在區間(0，2)上單調遞減，在區間(2，+∞)上單調遞增。

所以m(x)在x=2處取得最小值，所以

因此，若f(x)在(0，+∞)上只有一個零點，則

典例3 (2 0 1 8年全國Ⅲ卷理2 1)已知函數f(x)=(2+x+a x2)l n(1+x)—2x。

(1)若a=0，證明：當—1＜x＜0時，f(x)＜0；當x＞0時，f(x)＞0。

(2)若x=0是f(x)的極大值點，求a。

解答提示：本題考查利用導數研究函數的單調性、極值、最值。(1)當a=0時，求f(x)的導數，構造新函數，通過對新函數求導，得出最值，進而使問題得證。(2)對a分類討論，結合(1)中的結論，并根據極大值的定義進行求解。也可以結合導數和極大值的定義解決此問題。

解析：(1)當a=0時，f(x)=(2+x)·

設函數g(x)=f "(x)=l n(1+x)—，則g "(x)=

當—1＜x＜0時，g "(x)＜0；當x＞0時，g "(x)＞0。

故當x＞—1時，g(x)≥g(0)=0，當且僅當x=0時，g(x)=0。

從而f "(x)≥0，當且僅當x=0時，f "(x)=0。

所以f(x)在(—1，+∞)上單調遞增。又f(0)=0，故當—1＜x＜0時，f(x)＜0；當x＞0時，f(x)＞0。

(2)方法1：①若a≥0，由(1)知，當x＞0時，f(x)≥(2+x)l n(1+x)—2x＞0=f(0)，這與x=0是f(x)的極大值點矛盾。

②若a＜0，設函數h(x)=

由于當|x|＜m i n時，2+x+a x2＞0，故h(x)與f(x)符號相同。

又h(0)=f(0)=0，故x=0是f(x)的極大值點，當且僅當x=0是h(x)的極大值點。

對h(x)求導可得h "(x)=

如果6a+1＞0，則當0＜x＜—且|x|＜m i n時，h "(x)＞0，故x=0不是h(x)的極大值點。

如果6a+1＜0，則a2x2+4a x+6a+1=0存在根x1＜0，故當x∈(x1，0)，且|x|時，h "(x)＜0，所以x=0不是h(x)的極大值點。

如 果 6a+1=0，則h "(x)=，當x∈(—1，0)時，h "(x)＞0；當x∈(0，1)時，h "(x)＜0。所以x=0是h(x)的極大值點。

所以x=0是f(x)的極大值點。

綜上，a=—

方法2：由題意知f(x)=(2+x+a x2)·l n(1+x)—2x，則f "(x)=(1+2a x)l n(1+—2，且f "(0)=0。

若x=0是f(x)的極大值點，則f "(x)在x=0附近單調遞減。

設h(x)=f "(x)，則h "(x)=2al n(x+，且h "(0)=0，

若f "(x)在x=0附近單調遞減，則h "(x)≤0在x=0附近成立，且h "(x)在x=0處取得極大值0。

設m(x)=h "(x)，則m "(x)=(2a x2+8a x—x+6a+1)。

所以m "(0)=6a+1=0，解得a=—

因此，若x=0是f(x)的極大值點，則

復習建議：了解導數概念的某些實際背景，掌握函數在某點處的導數的定義和導數的幾何意義，理解導函數的概念，這些都有助于我們靈活地解決導數與函數的問題。熟練記憶基本導數公式和函數的求導法則是正確進行導數運算的基礎，復習中也要引起重視。對于解題過程中常用的方法和技巧，如分類討論、構造新函數、分離參數、數形結合等，需要我們在不斷的練習和反思中熟練掌握。