聚焦《不等式選講》中的經典問題

■山東省乳山市第一中學 高艷山

不等式選講是高考的選考內容之一，主要考查絕對值的幾何意義，絕對值不等式的解法，以及不等式證明的基本方法(比較法、分析法、綜合法和放縮法等)。一定要注意分類討論思想和絕對值不等式性質的應用。

聚焦1——絕對值不等式求解中的“零點分類法和公式法”

例1 (2 0 1 8年安徽馬鞍山二模)已知函數f(x)=|x—a|—2x，g(x)=|x—2|—|x+1|。

(1)當a=1時，求不等式f(x)＜2的解集；

(2)當x∈[0，1]時，總有f(x)≤g(x)，求a的取值范圍。

解析：(1)當a=1時，不等式為|x—1|—2x＜2，去掉絕對值得或

(2)f(x)≤g(x)?|x—a|—2x≤2—x—x—1?|x—a|≤1?a—1≤x≤a+1。

由已知條件x∈[0，1]可得

所以a的取值范圍是[0，1]。

反思：絕對值不等式的求解思維方法：①利用“零點分段法”求解。先令每個絕對值符號內的代數式為零，并求出相應的根，并將這些根按從小到大的排序把實數集分成若干個區間，由所分區間去掉絕對值符號組成若干個不等式，解這些不等式，求出解集，取各個不等式解集的并集求得原不等式的解集。體現了分類討論的思想。②利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|a x+b|≤c；|a x+b|≥c；|x—a|+|x—b|≥c。體現了數形結合的思想。③通過構造函數，利用函數的圖像求解。體現了函數與方程的思想。

聚焦2——絕對值不等式中的“三角不等式”的溝通作用

例2 (四川省遂寧市2 0 1 8屆高三三診)已知函數f(x)=|x—m|—|x—2|。

(1)若函數f(x)的值域為[—4，4]，求實數m的值；

(2)若不等式f(x)≥|x—4|的解集為M，且[2，4]?M，求實數m的取值范圍。

解析：(1)由三角不等式的性質得||x—m|—|x—2||≤|x—m—x+2|=|m—2|，因為函數f(x)的值域為[—4，4]，所以|m—2|=4，即m—2=—4或m—2=4，所以實數m=—2或6。

(2)由f(x)≥|x—4|得|x—m|—|x—2|≥|x—4|。

當2≤x≤4時，|x—m|≥|x—4|+|x—2|?|x—m|≥—x+4+x—2=2，即|x—m|≥2，解得x≤m—2或x≥m+2，即解集M為(—∞，m—2]∪[m+2，+∞)。

由條件[2，4]?M知m+2≤2?m≤0，或m—2≥4?m≥6。

所以m的取值范圍是(—∞，0]∪[6，+∞)。

反思：絕對值不等式||a|—|b||≤|a+b|≤|a|+|b|簡稱為“三角不等式”，利用它可以簡化求最值，應注意取等號的條件：①|a+b|≤|a|+|b|，當且僅當a b≥0時等號成立。②||a|—|b||≤|a+b|，當且僅當a b≤0時等號成立；③|a—b|+|b—c|≥|a—c|，此性質可用于求含絕對值函數的最小值，其中，當且僅當(a—b)(b—c)≥0時等號成立。