淺談圓錐曲線中最值問題的解題策略

■河南省許昌市建安區(qū)第一高級中學(xué) 田吉龍

在圓錐曲線中常常涉及與動點、動直線、動弦、動角以及軌跡等有關(guān)的最值問題,這些最值問題覆蓋面廣、解題靈活,在近幾年的高考題中此類問題經(jīng)常出現(xiàn)。下面舉例介紹兩種常見的解題策略,以供參考。

一、轉(zhuǎn)化為平面幾何知識求最值問題

例1已知x,y滿足,求z=y-3x的最值。

解析：將所給的函數(shù)式改寫為y=3x+z,則它表示斜率為3 的平行直線系方程,z是直線在y軸上的截距。由圖1易知：在區(qū)域內(nèi),z的最大、最小值在直線與橢圓相切時取得。

圖1

將y=3x+z代入,得 169x2+96zx+16z2-400=0。由Δ=0,得z=±13,故z的最大值為13,最小值為-13。

點評：若題目中的條件和結(jié)論有明顯的幾何特征和意義,可借用平面幾何知識解決問題,大大簡化計算過程。

練習(xí)：設(shè)P,Q分別為圓x2+(y-6)2=2和橢圓+y2=1上的兩點,則P,Q兩點間的最大距離是( )。

解析：圓x2+(y-6)2=2 的圓心為(0,6),半徑為。

設(shè)橢圓上的點為Q(x,y),點Q(x,y)到圓心(0,6)的距離為：

所以P,Q兩點間的最大距離是,選D。

二、利用均值不等式求最值問題

例2(2017 年全國Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)第10題)已知F為拋物線C：y2=4x的焦點,過F作兩條相互垂直的直線l1,l2,直線l1與拋物線C交于A,B兩點,直線l2與拋物線C交于D,E兩點,則|AB|+|DE|的最小值為( )。

A.16 B.14 C.12 D.10

解析：因為拋物線C的方程為y2=4x,所以焦點為F(1,0)。

設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1),直線l2的方程為。

圖2

將直線l1與拋物線方程聯(lián)立消去y得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0。設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系得,所以|AB|=x1+x2+2=+4。

同理|DE|=4k2+4。所以|AB|+|DE|=+8≥8+8=16,當(dāng)且僅當(dāng),即k=±1 時等號成立,其最小值為16,故選A。

點評：有些求最值問題,可以先把要求的最值用參變量來表示,然后用基本不等式來解決,這時往往需要創(chuàng)造條件,巧妙地進(jìn)行構(gòu)思。基本不等式是解最值問題的一種有效方法,但要注意驗證等號是否成立。

練習(xí)：雙曲線與雙曲線-=1的離心率分別為e1和e2,且a＞0,b＞0,當(dāng)a,b變化時,求的最小值。

解析：≥2+=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立,所以的最小值為4。

小結(jié)：與圓錐曲線有關(guān)的最值問題,大都是綜合性問題,解法靈活,技巧性強(qiáng),同學(xué)們只要能將上面介紹的這些策略掌握并加以靈活運用,就可以輕松解決這類問題。