《填寫數陣（1）》教學設計與思考

王張妮 王旭程

【教學背景】

本節課內容選自張天孝老師主編的《“學數學長智慧”超市》“構建等式1”第18至21頁。《“學數學 長智慧”超市》是一套關注兒童思維發展和數學潛能開發的教輔材料，“構建等式1”中，特別設計以數陣作為“和相等”結構（□+□=□+□）的重要應用情境，訓練兒童的概括能力和推理能力。我們針對其中“簡單數陣填寫”的部分，在一年級（下）開展了系列實驗，期望通過實證研究，觀察該階段兒童是如何觀察數陣并解決數陣問題的；通過教學，兒童對數陣問題可以達到怎樣的解題水平。

【內容與設計】

本節課是在學生具備建構“和相等”的等式（從1～9的數中選擇不重復的四個數填入方框，使“□+□=□+□”成立）的經驗基礎之上，設計的一節“填寫數陣”探究課。前期，學生已經掌握了基本的“大數配小數”的方法，以及有序構建等式的策略；同時在進行等式的觀察過程中，對“和相等”的基本性質（即一個加數增加幾，另一個加數減少幾，和不變）有一定的感性認知。在此基礎上，這節課依次以“簡單數陣——三角形數陣——十字數陣”為內容載體，試圖通過教學來觀察學生是否能在變化的數陣中找到不變的“和相等”結構，并通過“輔助探究——半開放探究——開放探究”三個層次螺旋推進教學，促進學生在逐漸“變化”的問題中尋找不變的結構。

【教學過程】

一、從簡單數陣起步，明晰基本結構

1.閱讀題意，自主探究。

出示題目：選 1、2、3、4、5、6、7、8、9 填入○中，同一個數不能重復，使每一邊的和是15。

師：這是一個“人”形數陣，仔細閱讀題目，如果你是小老師，你會提醒其他同學注意哪些問題？

在學生回答的基礎上提煉、強調：選數范圍是1～9；選數規則是每個圖形中的五個數不能重復；運算規則是左邊三個數的和等于右邊三個數的和。

2.分層匯報，推進思考。

（學生自主探索后，指名匯報中間數是5的數陣）

生：左邊填1和9，1+9+5=15，右邊填3和7，5+3+7=15。

集體判斷，對照前述三個要點（即選數范圍、選數規則、運算規則）肯定其答案的正確性。

（出示動畫：分別框出左邊三個數和右邊三個數）

生：我有一個新的想法，讓左下兩個數的和湊10，右下兩個數的和也湊10。

師：可以嗎？怎么從題目里說的三個數相加等于15變成了兩個數相加等于10？這樣做對嗎？

生：我覺得可以。左邊10+5=15，右邊也是10+5=15。（指5）就是中間這個“5”重復用了兩次。

師：大家聽得明白嗎？

生：我聽明白了。就是每條線上已經有一個數5了，剩下的兩個數湊10就可以。

生：“5”是重復數。

（教師配合學生介紹的方法，出示幻燈片，動態顯示5用了兩次，并進而動畫形成○+○=○+○，從數陣中抽象出和相等的等式）

師：你們喜歡哪個方法？為什么？

生：當然是第二種方法，題目變簡單了。

師：我也喜歡第二種方法。在第二種方法中，我們找到了一個重復計算的數——5，把題目變得簡單了：從三個數為一組朋友，相加得15，變成了兩個數為一組朋友，相加得10。

（出示幻燈片，逐一出示“重復數”“朋友數”）

小結：在解決問題的時候，如果我們能仔細觀察，好好分析，常常能夠找到比較簡單的解決辦法。

【設計意圖：前測數據表明，學生的解題策略可以分為兩個層次，第一個層次是停留在題目本意的理解上，即“左邊三個數的和等于15，右邊三個數的和也等于15”；第二個層次是在思考兩邊和同為15的過程中，意識到中間數5是一個特殊數，從而得到“左邊兩個數的和是10，右邊兩個數的和也是10”。看似一次簡單地概括，其實已經觸及問題的本質。因此，本環節有意識地收集了兩個層次學生的作品，并分級呈現，在不同方法的碰撞中，引導學生思考、評價，進而提出“重復數”“朋友數”這樣兒童化的概念，幫助學生積累分析數陣的經驗。】

3.分類討論，有序思考。

師：好，現在我們已經知道兩邊的朋友數要湊10，請你再填一填，你能得到幾組不同的答案呢？

（學生嘗試——反饋）

師：有的同學填了4組，有的同學填了6組。那我們請填得多的同學說說他是怎么填的？他填得對不對，好不好？

生：如果左邊填1+9，右邊填2+8；左邊填1+9，右邊填3+7；……

師：你們覺得這個方法好不好，理由是什么？

生：他的方法好，因為我發現他的填寫有順序。左邊1+9，右邊配上2+8、3+7、4+6；然后左邊換成2+8，右邊再依次搭配3+7、4+6；左邊3+7，右邊4+6。

（出示幻燈片，搭配圖示）

師：如果把中間的5換成2或8，這時下面兩個朋友數應該是幾？你會填嗎？

（學生自主填寫并校對）

【設計意圖：分類討論、有序思考是重要的數學思想。在低齡學段，這樣的思考方式還沒有被完全建立起來，更需要創設情境，讓學生多加感知。本環節從答案的多少這個問題深入，引發學生思考，如何“不重復，也不遺漏”的搭配策略，充分體驗有序的思考。】

二、探究異形數陣，概括形式特征

師：想不到小小的數陣還有這么多講究。怎么樣？想不想再來挑戰一個？

出示題目：把4、5、6、7、8五個數，填在每個圖的○里，使每個三角形上三個數的和相等。

出示學生作品

師：他的答案正確嗎？你是怎么檢查的？

生：正確。左邊三角形三個數的和是4+6+8=18，右邊三角形三個數的和是5+6+7=18，兩個三角形上三個數的和相等。

生：我有更快的方法。你們看4+8=12，5+7=12，所以答案肯定是對的。

師：（故作疑惑）為什么這樣就對了？

生：和剛才一樣。中間的重復數是6，左邊三角形12加6等于18，右邊三角形也是12加6等于18，兩邊的兩個數加起來的和一樣，答案就是對的。

師：誰聽懂了他的意思？

生：中間的數，用了兩次，其實是重復數，它旁邊的兩對數就是朋友數。只要兩邊的朋友數相等，兩個三角形里數的和就也相等了。

師：你的意思是說，剛才的“人”形數陣中，我們找到了重復數和朋友數，把題目變簡單了。這道“三角形”數陣的題目也能這樣變簡單，是嗎？

（在學生回答的基礎上，逐步出現動畫，形成和相等的等式：○+○=○+○）

師：剛才是6填在中間，還有不一樣的答案嗎？

（學生匯報4、8填在中間的情況，全班一起驗證答案）

師：5可不可以填在中間，為什么？

生：不可以，如果5填在中間，就找不到兩組相等的朋友數了。

師：原來不是什么數都可以當重復數的，選擇重復數的前提是剩下的兩組朋友數要相等。對4、5、6、7、8來說，為了要讓兩邊的朋友數相等，應該選誰來做重復數？

師：再看看，這些數在數列里排在什么位置？你有什么發現？

（學生檢查，得到4、6、8分別位于頭部、中間和尾部）

生：老師，我知道我知道，這個就像前兩天我們填和相等的式子一樣，去頭、去尾、去中間，然后大數配小數就行了。

生：其實這個數陣就是填一個和相等的式子。

【設計意圖：本環節有兩個經驗的調取：1.通過第一個環節“人”形數陣的探索，幫助學生抽象出“和相等”的結構，通過經驗的類比，得到“三角形”數陣中“和相等”的結構，從而感知，數陣的外形變了，內在結構卻沒有變，仍然可以找到藏在數陣中的重復數和朋友數。2.通過對上一次實驗中“和相等”等式建構策略經驗的喚起，引導學生有序地填寫數陣。】

三、拓展提升

師：大家的練習紙上有三個不同的數陣，用你們的火眼金睛，找出每個數陣中的重復數和朋友數，并小組交流。每位同學選一個最喜歡的數陣，填寫答案，比比誰填得又對又好。

出示題目：把 4、5、6、7、8 五個數，填在每個圖的○里，使每個三角形（變1、變2）或每條線上（變3）三個數的和相等。

師：哪個數陣最特別？為什么？

生：第三個數陣最特別，它的兩個朋友數中間隔了一個重復數。

師：有時候，朋友數不一定靠在一起，需要我們仔細觀察、思考。

題組答案數0組答案 1組答案 2組答案 3組答案百分比 變化率 百分比 變化率 百分比 變化率 百分比 變化率前測61.8%——22.4%——5.3%——10.5%——后測變1 10.70%-51.1% 16.0% -6.4% 13.3% +8.0% 60.0% +49.5%變216.0%-45.0% 13.3% -9.1% 16.0% +10.7% 54.7% +44.2%變333.3%-28.5% 12.0% -10.4% 10.7% +5.4% 44.0% +33.5%

有兩組數據變化最為突出：第一組，0組答案的占比由前測的61.8%，銳減至變1、變2的百分之十幾，可見原來得不出答案的學生，進行探究活動后，能夠在自主練習中得到至少一組答案，我們認為這部分學生至少處于第二個層次。他們可以在教師的引導中，找到圖形中的隱藏關系。第二組鮮明的變化數據是，得到3組（全解）的占比，由原先的10.5%增至近60%，在這些變化的題中，能夠快速得到全解，足見學生對于題目中的結構十分清晰。

變3的數據則較變1、2差一些，分析教學活動中學生的表現，不難解釋，變3當中的兩對“朋友數”被中間的“重復數”隔開了，要識別其中的結構，就需要學生有更自主的分辨能力。

學生既有了一定的解題技能，基于這種能力和層次的定位，我們安排本環節的拓展，著重在幾個變形數陣形式的識別和比較中，強化對于數陣結構的識別。

【設計意圖：在數據分析的過程中，可以很清晰地看到，前測中0組答案（全錯）的學生占比高達61.8%，得到1組答案的占22.4%，2組答案的占5.3%，3組答案（全解）的占10.5%。經過教學，再進行變1、變2、變3的自主練習，數據發生了明顯變化。】

四、課堂總結

師：今天我們觀察了很多數陣，你發現這些數陣有什么共同點了嗎？

生：每個數陣里都有重復數、朋友數。

生：朋友數的和相等，數陣就會相等。

生：這些數陣的答案都一樣，只是換了個形狀。

生：填這些數陣就是在填和相等的式子。

……

師：原來大家都發現了，數陣就是在“換衣服”，但是不管怎么換，聰明的同學仔細觀察，就能找到藏在里面的朋友數和重復數。

【設計意圖：本環節安排了三個不同的數陣，通過“換衣服”這種兒童生活中常見的經驗，自然地引發學生對尋找重復數、朋友數的意義的思考，從而揭示數陣形狀變化中的不變的結構特征“和相等”。】