如何教學例題后的第一道習題

何月豐

【問題】

在備《長方體和正方體的表面積》這節課的時候，我發現教材在“計算長方體表面積”這道例題之后編排的第一道習題，有點不妥（題目如下）。

一是這道題從學生剛剛認識的“表面積”來講，是“非常規”的——題中的表面積是計算5個面的面積的和。

二是這道題中提供的計算長方體表面積的數據——長0.75米、寬0.5米、高1.6米——雖然緊密聯系了生活實際，但是會給計算帶來不必要的麻煩。

當然，有人可能會覺得以上兩點理由是很牽強的，尤其是第一點理由。甚至可能會覺得，只計算5個面是好事情，因為這對學生進一步理解長方體每個面所對應的數據很有促進作用。不可否認，在計算長方體的表面積時，有些題目不是算6個面，這樣的習題，自然是需要，而且是需要反復練習的。

只是，我想再一次強調的是：這是例題后的第一道習題。也就是說，是這道習題所處的位置的特殊性，才讓我感覺有點不妥。后續，我一定會讓學生做一些這樣的習題——以不同形式出現。

我的想法是：學生此時剛剛通過例題進行了一次長方體表面積的計算。特別是在學習例題時，明白了計算長方體的表面積，需要關注每個面所對應的數據（即選擇長、寬、高）。那么，在此之后的第一道習題，更重要的任務是讓學生試著把剛才學到的方法模仿著用一遍，而不是馬上尋求變化。

出于以上考慮，我備課中并未將這道題作為例題后的第一道習題來使用，而是自編了一道題：長方體模型圖（圖略），標出長、寬、高（數據是10、8、4），計算這個長方體的表面積。

那么，以上想法是否真有道理？為此，我就這道習題進行了一點調查。

第一，我詢問了同年級的幾位數學教師關于這道習題的看法，他們的想法與我一致。特別是上課用了這道題作為例題后的第一道習題的教師，告訴我有些學生一下子沒有明白題目的意思，而且計算“傷害”了很多人。

第二，為了更好地證明自己的想法，我找來了其他版本教材在這節課上對于例題后第一道習題的編排，并主要從習題對于計算表面積使用的數據、是否有直觀圖形支撐、需要計算的面數、是否有附加要求、問題的表述形式這樣五個方面入手進行了梳理。通過對梳理的情況進行對比分析，我發現：

1.在“數據”上，7個版本的教材中，有3個版本教材在長、寬、高的數據上使用了小數，且蘇教版習題中僅使用一個小數——2.5。同時還發現，所有版本教材的數據都小于20。特別是像青島版、臺灣版的教材，習題數據是極其簡單的。由此可見，在這道題中，小數并不是很受歡迎，計算并不是這道題的重點。

2.在“圖形”上，7個版本的教材中，有6個版本的教材提供了直觀圖進行支撐，只有浙教版教材沒有提供直觀圖。由此可見，這道題不是簡單地利用長方體表面積的計算公式進行數據代入計算，而是要學生在計算表面積過程中，通過觀察圖形，找準各個面所對應的數據，實現“面”與“數”的再次對接。

3.在“計算面數”上，7個版本的教材中，有5個版本的教材是計算6個面，只有2個版本的教材出現了少面的情況。由此可見，絕大部分教材在編排這道習題時，追求與例題匹配（注：以上版本教材例題都是計算6個面），不尋求變式。

4.在“附加要求”上，北師大版、青島版、臺灣版這3個版本的教材安排了在展開圖上找相對面、計算獨立面和根據長方體模型圖選面的附加要求。分析發現，這些附加要求其實都是在促進學生對“面”與“數”的對接，以輔助理解為主。只有西南師大版編排的習題是一個底面為正方形的長方體燈籠（沒有上下底面），附加了“不同算法”的高要求。由此可見，教材也在想辦法盡可能降低這道習題的“難度”，促進學生理解。

5.在“問題表述”上，有4個版本教材直接用“表面積”作為要求，這與習題背景有關，因為它們都提供了模型圖。習題用具體情境的，則都把“表面積”轉換為“用料面積”了，這一點對學生理解是求“表面積”沒有什么障礙。

綜合以上五個方面的分析不難看出，更多教材對例題后第一道習題的編排，是傾向于匹配例題的，盡可能不作變化。

由此，我進一步肯定了自己一開始的想法：人教版教材在“計算長方體表面積”這道例題之后編排的第一道習題是不妥的。

【回溯】

人在一些事情上的經歷，會對其今后面對類似這樣的事情的處理產生影響。至少，在“例題后的第一道習題”這個問題上，我對此的感受是深刻的。

工作的前四年，我從三年級教到六年級。記得第一次教六年級時，同年級的老師就告訴我：學生在學分數乘除法應用題時，會讓你教到“懷疑人生”。事實證明，確實如此。于是，當我第二次再教六年級時，便多了一個心。

六年級分數除法應用題，例題剛教完，我就出示了下面兩道習題：

1.我國幅員遼闊，東西相距5200千米，東西距離是南北的。南北相距多少千米？

教過六年級分數乘除法應用題的老師，一定知道我這兩道題的用意。現實正如我預想的一樣，絕大部分學生在第二題上出現了“上當”現象。于是我抓住機會，引導學生對比、分析，從而弄清楚了兩道題的區別。

當時，我是得意的。這種得意，一是因為學生如我所料“上當”了，二是因為我借此機會把兩種題型“分析清楚”了。

但是，這種得意，并沒有持續多久。

在上述兩道習題之后，我又出示了兩道習題（依舊是乘法和除法各一道，題略），作為鞏固練習。原本以為這次學生應該可以區分清楚了。事實證明，我太天真了。大部分學生根本沒有因為之前兩道題的分析而厘清兩種題的結構與解法，很多學生甚至連今天剛學習的類型也開始弄不清了，提早進入“乘除不分”階段。

以上經歷，給我留下了深刻的教訓。

回顧上述經歷，從經驗來看，我非常明白學生在接下來要面臨的學習困難，故想早一點借助一組對比練習，厘清分數乘除法兩種問題的結構和解法，以幫助學生克服之后學習上將會遇到的困難。想法是好的，但事與愿違。究其原因，還是因為這組對比練習介入太早。例如，從數學建模的角度講，新知學習后的練習應該是變換情境或材料，模型結構要實現與新知的對接和匹配，以幫助學生在練習中更好地建立模型、掌握方法，而不是對不同結構進行辨析。由此再來看上面的案例，在這組練習之前，學生剛剛學習了分數除法應用題，對此類問題的結構、分析、解答方法尚處于一個初步認識階段，模型尚未很好地建立。那么，在這個階段就介入學生本身就難以區分的對比練習，自然是“忙中添亂”，適得其反。

也就是在經歷了這件事情之后，我開始非常關注例題之后的習題教學——尤其是例題之后的第一道習題。正是在這樣的背景下，才有了我對人教版教材在“計算長方體表面積”例題之后的第一道習題編排的看法。

【對策】

基于自己的經歷，特別是結合上述思考和分析，使我對如何教學例題后的第一道習題有了自己的認識。

1.在目標上——重在“試著用一次”，促進建模。

首先，數學被許多學者稱為是關于“模式”的科學，數學學習的過程，就是一個不斷“建模”的過程。其次，數學的教與學是離不開習題的，這是一個不爭的事實，無需贅述。數學教學中的習題，根據其所處的位置、呈現的形式、難易的程度等，承載著不同的教學功能。

如此看來，例題后的第一道（組）習題，處在例題剛剛學習之后，也就是剛剛接觸某一個數學模型。那么，此時練習的目標，就會指向于使學生“試著用一次”，以實現對例題中涉及的概念、性質、方法等知識與技能的再次“經歷”，加深對其的記憶和理解，旨在促進數學模型的建立。

2.在設計上——重在與例題匹配，不求變式。

（1）關于結構。

例題后的第一道（組）習題，因為要促進學生對剛剛接觸的數學模型的建立，因此其結構需與例題（模型）盡可能保持一致，不尋求變式。當然，需要在表述、數據、形式等方面略作變化。

（2）關于數量。

在上述中談到了“一道或一組”的問題，這主要是因知識對象的不同而論的。像長方體表面積計算這樣的知識，“一道”即可，像分數加法這樣的知識，就需要一組，數量一般控制在2～3道題。

（3）關于來源。

這樣的習題，最直接的來源，是教材的編排。當然，這需要我們對教材編排的例題進行仔細分析，即看其是否符合作為“例題后的第一道習題”的要求。如果發現教材習題不匹配，則需要教師自己改編或直接創編符合要求的習題。

當然，也有可能發生教材沒有編排這樣的習題的可能性，這就需要教師自己來補充這樣的習題。舉個例子：長方形面積計算，學生通過研究，得出了長方形面積計算公式，并知道了“長代表一行包含多少個面積單位，寬代表有這樣的幾行”。一般而言，教材的習題便是運用這個公式直接進行計算了。此時，就需要我們自己有意識地補充關于“長代表一行包含多少個面積單位，寬代表有這樣的幾行”這樣的解答要求。例如，可出示一個長方形，先請學生說說看到長和寬的數據后，想到“一行能擺幾個面積單位，能擺這樣的幾行”這樣的要求。在學生經歷了不同形狀的長方形、不同面積單位的運用后，再開展直接運用公式的面積計算。這樣的補充要求，是對長方形面積計算公式模型內涵的進一步鞏固。

3.在使用上——重在對例題要素的再次表述。

例題后的第一道（組）習題，是非常簡單的。但是，題雖簡單，作用卻很大。因此，要注意例題后的第一道（組）習題的使用，使其發揮應有的作用。

（1）解答要以學生獨立思考為主。

例題后的第一道（組）習題，其位置處于例題剛剛學習之后，學生在解答時，一般只需要將例題中剛剛學到的方法進行遷移即可。這種遷移，正是此時習題的價值所在，是促進建模的有效手段。所以，對于例題后的第一道（組）習題，在解答時要以學生獨立思考、分析為主，使學生在獨立思考中，實現對例題知識的進一步理解和掌握，促進模型的建立。

（2）反饋要重在對例題要素的表述。

由于此時的習題是非常簡單的，且學生練習又是趁熱打鐵，所以正確率一般會很高。但正確率絕對不是例題后的第一道（組）習題所要追求的結果。此時，即使全部正確，在反饋時，也要引導學生講述自己的思考過程，特別是要對照例題中涉及的各個要素，實現再次理解。以“計算長方體表面積”為例，第一道習題我們使用的數據非常簡單，并配合直觀模型，學生看著計算都正確了。反饋時，依舊要請學生講一講某兩個數相乘，是在計算那個面。這樣，才能更好地實現此時習題的練習目標。

以上是我對于例題后的第一道（組）習題教學的一點看法。雖是極小的事，但值得我們引起重視。因為，這涉及到一步一個腳印扎實向前走的問題。