開放研究過(guò)程自主系統(tǒng)建構(gòu)
——《釘子板上的多邊形》教學(xué)設(shè)計(jì)（二）

蔡小鋼

本課是一節(jié)研究釘子板上平面圖形面積規(guī)律的實(shí)踐活動(dòng)課，之前學(xué)生已經(jīng)有了面積的概念，并且學(xué)習(xí)了常用面積單位，掌握了利用面積公式計(jì)算簡(jiǎn)單圖形面積的方法。

在釘子板上圍基本圖形、數(shù)釘子的枚數(shù)、算基本圖形的面積，這些都是學(xué)生愿意做、有能力做的事情，因此操作方面沒有難度，同時(shí)對(duì)本節(jié)課的知識(shí)起點(diǎn)也有一定的經(jīng)驗(yàn)積累。然而，釘子板上圍出來(lái)的圖形大多數(shù)不是規(guī)則圖形，因此利用學(xué)過(guò)的面積公式和方法得出圖形的面積比較難。同時(shí)，本課作為一節(jié)規(guī)律探索課，既要探索圍成的圖形面積與圖形邊上的釘子枚數(shù)之間的關(guān)系，還要用含有字母的式子表達(dá)這種關(guān)系，對(duì)五年級(jí)的學(xué)生而言有一定的挑戰(zhàn)。通過(guò)有效的問(wèn)題設(shè)計(jì)，以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生自主探索，在探索中發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣和數(shù)學(xué)規(guī)律的魅力，培養(yǎng)探索精神和深度學(xué)習(xí)能力。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.學(xué)生自主探索并發(fā)現(xiàn)釘子板上圍成的多邊形的面積與圍成的多邊形邊上的釘子數(shù)、多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)之間的關(guān)系，并嘗試用字母式子表示關(guān)系。

2.使學(xué)生在探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和表達(dá)規(guī)律的過(guò)程中，進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)抽象的意義，培養(yǎng)歸納、比較、分析和簡(jiǎn)單推理的能力，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的意識(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.使學(xué)生獲得探索規(guī)律成功的體驗(yàn)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，感受數(shù)學(xué)規(guī)律的奇妙，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。

【教學(xué)重點(diǎn)】

探索釘子板上多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系。

【教學(xué)難點(diǎn)】

綜合、歸納多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系。

【教學(xué)過(guò)程】

一、圖形欣賞，激趣生疑

師：（出示一些釘子板圖）用橡皮筋可以在釘子板上圍出這么多美麗的圖案。同學(xué)們觀察一下，這些圖案都是由什么組成的？（基本的多邊形）

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)卺斪影迳先我鈬粋€(gè)多邊形。

師：用的同樣的橡皮筋，為什么有的同學(xué)圍成的多邊形大，有的同學(xué)圍成的多邊形小呢？

（引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圍成的多邊形大小與釘子板上的釘子數(shù)量有關(guān)）

師：那你覺得與哪些釘子有關(guān)系？又有什么樣的關(guān)系？

小結(jié)：在釘子板上圍一個(gè)多邊形，圍的多邊形的面積越大，用到的釘子數(shù)會(huì)越多。

【設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)欣賞圖形，激發(fā)學(xué)生對(duì)多邊形的探究興趣。在此基礎(chǔ)上，通過(guò)動(dòng)手“圍任意一個(gè)多邊形”，不僅進(jìn)一步激發(fā)其探究熱情，更為深入研究提供了素材。“用的同樣的橡皮筋，為什么有的同學(xué)圍成的多邊形大，有的同學(xué)圍成的多邊形小呢？”一問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生聚焦問(wèn)題本質(zhì)，關(guān)注“釘子數(shù)量”，為規(guī)律探尋做好了鋪墊?！?/p>

二、分層探索，尋找規(guī)律

1.引導(dǎo)嘗試，初步感知。

師：（出示釘子板）這是一塊釘子板，橫、豎每相鄰兩個(gè)釘子之間的距離都是1厘米，那么這個(gè)小正方形的面積就是1平方厘米。

師：（拉大邊長(zhǎng)，使其成為4平方厘米的正方形）它的面積是多少平方厘米？你是怎樣想的？（計(jì)算、數(shù)格子）

師：正方形除了面積變大了，還有什么也發(fā)生變化了？（邊上的釘子數(shù)和里面的釘子數(shù)都增加了）

師：看來(lái)，多邊形的面積既和多邊形邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還和里面的釘子數(shù)有關(guān)系。它們?nèi)咧g到底存在怎樣的關(guān)系呢？這節(jié)課我們就來(lái)研究這個(gè)關(guān)系。

2.自主研究，引導(dǎo)猜想。

師：我們從簡(jiǎn)單的圖形開始研究。下面這四個(gè)多邊形的面積分別是多少？

引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)公式、割補(bǔ)和數(shù)的方法計(jì)算各圖形的面積。

師：雖然我們求出了這四個(gè)圖形的面積，但我們的目的是尋找多邊形的面積和其邊上的釘子數(shù)以及里面釘子數(shù)的關(guān)系，所以我們接下來(lái)還要關(guān)注什么？（邊上的釘子數(shù)以及圖形里面的釘子數(shù)）

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：既然這四個(gè)圖形里面的釘子數(shù)都是一樣的，那我們先來(lái)尋找多邊形的面積和邊上釘子數(shù)的關(guān)系。（出示表格）老師為大家提供了一份表格，請(qǐng)同學(xué)們完成。

師：把數(shù)據(jù)整理在表格中，觀察這張表格，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

全班交流：

（1）多邊形邊上的釘子數(shù)越多，面積越大。

（2）多邊形的面積等于多邊形邊上釘子數(shù)的一半。

師：為了更簡(jiǎn)潔、方便地表示出這個(gè)規(guī)律，我們可以用字母式來(lái)表示。如果用S表示釘子板上多邊形的面積，用L表示多邊形邊上的釘子數(shù)，剛才你們的發(fā)現(xiàn)可以怎樣表述？（根據(jù)學(xué)生的回答板書：S=L÷2）

【設(shè)計(jì)說(shuō)明：巧妙的問(wèn)題將引領(lǐng)學(xué)生的思維點(diǎn)聚焦在關(guān)注面積與邊上的釘子數(shù)和里面釘子數(shù)的關(guān)系之上?！拔覀兘酉聛?lái)還要關(guān)注什么”這樣開放的問(wèn)題，既提醒學(xué)生要抓住本節(jié)課的重點(diǎn)，又培養(yǎng)了學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)的能力。在此基礎(chǔ)上，教師提出“你有什么發(fā)現(xiàn)”時(shí)學(xué)生便不會(huì)無(wú)據(jù)可依，更多地會(huì)去自主探索三者之間變與不變的規(guī)律，進(jìn)而提煉規(guī)律，并學(xué)會(huì)用字母式表達(dá)的方法?！?/p>

3.質(zhì)疑驗(yàn)證，歸納總結(jié)。

師：是不是所有的多邊形的面積與其邊上的釘子數(shù)之間的關(guān)系都符合上述規(guī)律？

（學(xué)生拿出課前圍成的多邊形，獨(dú)立驗(yàn)證后，發(fā)現(xiàn)有部分圍的多邊形符合，有部分不符合）

師：為什么有同學(xué)圍的多邊形卻不存在這樣的規(guī)律呢？

師：是的，這只是大家根據(jù)數(shù)據(jù)提出的猜想。（板書：提出猜想）

師：為什么有些多邊形符合猜想，而有些多邊形卻不符合呢？

師：符合規(guī)律的多邊形里都只有1枚釘子。

師：同學(xué)們，通過(guò)剛才我們的舉例驗(yàn)證，（板書：舉例驗(yàn)證）你能完整地表達(dá)這個(gè)規(guī)律嗎？

師：如果用N來(lái)表示多邊形內(nèi)的釘子數(shù)，誰(shuí)能把結(jié)論完整地表達(dá)出來(lái)？

回顧總結(jié)：讓我們一起來(lái)回顧一下剛才研究的過(guò)程。

（1）觀察釘子板上的幾個(gè)多邊形，把相關(guān)數(shù)據(jù)整理在表格中。

（2）觀察數(shù)據(jù)，提出了S=L÷2的猜想。

（3）對(duì)提出的猜想進(jìn)行了驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)有些多邊形符合規(guī)律，有些不符合。

（4）從中尋找某些圖形的共同特征，調(diào)整之前的猜想。

（5）再次進(jìn)行驗(yàn)證。

（6）得出結(jié)論：當(dāng) N=1 時(shí)，S=L÷2。

師：看來(lái)釘子板上的多邊形的面積不僅與多邊形邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還與多邊形里的釘子數(shù)有關(guān)。

【設(shè)計(jì)說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生“犯錯(cuò)”是為了更好地“化錯(cuò)”“融錯(cuò)”和“改錯(cuò)”，開放的問(wèn)題才能讓學(xué)生思維產(chǎn)生激烈的碰撞，才會(huì)呈現(xiàn)學(xué)生的真實(shí)想法?！盀槭裁从型瑢W(xué)圍的多邊形卻不存在這樣的規(guī)律呢？”不是明知故問(wèn)，而是在培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。學(xué)生只有學(xué)會(huì)質(zhì)疑才能讓學(xué)習(xí)不斷深入。“圖形內(nèi)部只有1枚釘子”是上述四個(gè)圖形的共同特點(diǎn)，也是“多邊形的面積等于多邊形邊上釘子數(shù)的一半”的前提。如果離開這個(gè)前提，這樣的規(guī)律就不存在了。因此本環(huán)節(jié)，既要讓學(xué)生自主尋找規(guī)律，還要引導(dǎo)他們關(guān)注規(guī)律得來(lái)的前提條件。發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，用字母表達(dá)式表示規(guī)律是培養(yǎng)學(xué)生的抽象意識(shí)，讓學(xué)生體驗(yàn)如何精確、簡(jiǎn)約地表達(dá)規(guī)律，感受模型思想的巧妙與簡(jiǎn)潔。】

4.合作探究，拓展規(guī)律。

師：多邊形內(nèi)有1枚釘子的情況已經(jīng)研究過(guò)了，而且找出了一般規(guī)律，那下面你們還想研究什么呢？

預(yù)設(shè)：多邊形內(nèi)有2枚釘子的時(shí)候，面積和釘子數(shù)的關(guān)系。

師：你又想怎么研究呢？

學(xué)生提煉研究步驟：

（1）首先畫一個(gè)內(nèi)部有2個(gè)點(diǎn)的多邊形，得出S和L。

（2）同桌交流，完善表格。

（3）觀察表格中S與L的值，再互相說(shuō)一說(shuō)有什么發(fā)現(xiàn)。

師：通過(guò)研究我們知道，多邊形的面積不僅僅和邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還和多邊形內(nèi)的釘子數(shù)有關(guān)。規(guī)律為：當(dāng)N=2時(shí)，S=L÷2+1。

師：當(dāng) N=1 時(shí)，S=L÷2，當(dāng) N=2 時(shí)，S=L÷2+1，當(dāng)N=3、4、5……時(shí)，S與L之間又有什么關(guān)系呢？你們打算如何驗(yàn)證？

分組合作探究：

（1）組內(nèi)確定研究主題：N=3或者N=4或者N=？

（2）畫一個(gè)多邊形，得出S與L的值，填入表中。

（3）觀察比較分析，研究的結(jié)果和猜想的結(jié)論是否一致？

師：想一想，當(dāng) N=5時(shí)，S=？當(dāng) N=6時(shí)，S=？照這樣想下去，多邊形內(nèi)的釘子數(shù)就用N表示，上面的計(jì)算公式可以怎樣表達(dá)？

師：這個(gè)公式適用于N=0時(shí)的情況嗎？（快速驗(yàn)證）

師：老師不得不佩服你們，剛才的發(fā)現(xiàn)與奧地利數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)的計(jì)算格點(diǎn)多邊形的面積公式是完全一致的，我們一起來(lái)了解一下。（課件出示）

【設(shè)計(jì)說(shuō)明：探索多邊形里有2枚釘子數(shù)的面積規(guī)律與前一段基本相同，前面探索中的做法與經(jīng)驗(yàn)會(huì)遷移過(guò)來(lái)。所以，應(yīng)留給學(xué)生更多的自主活動(dòng)的空間。要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題，努力發(fā)現(xiàn)尋找規(guī)律的方法。而當(dāng)里面釘子數(shù)不確定時(shí)，思維難度有了很大提高，這一段的規(guī)律比前面復(fù)雜，發(fā)現(xiàn)和表達(dá)規(guī)律的難度也比前面大。這一段的思維方式與前面不一樣。前面兩段都是先研究實(shí)例，得出數(shù)據(jù)，再在數(shù)據(jù)中提取規(guī)律，思維方式是歸納推理。而這一段是先猜想多邊形面積與其邊上的釘子數(shù)之間的關(guān)系，再用實(shí)例驗(yàn)證是否存在這樣的規(guī)律，思維方式是類比推理?！?/p>

三、回顧反思，交流體會(huì)

師：今天，我們探討了釘子板上的多邊形，回顧剛才探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程，你有什么體會(huì)和收獲？

小結(jié)：今天這堂課我們通過(guò)對(duì)釘子板上的多邊形的研究，發(fā)現(xiàn)了釘子板上多邊形的面積不僅與其邊上的釘子數(shù)有關(guān)系，還與多邊形里面的釘子數(shù)有關(guān)系，并最終找到了一些規(guī)律。在研究的過(guò)程中，我們從簡(jiǎn)單情形入手，通過(guò)圍一圍、數(shù)一數(shù)、算一算等方法，經(jīng)歷觀察、比較、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。我們從這個(gè)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：要從各種不同情況的多邊形中研究；要善于發(fā)現(xiàn)不同多邊形中的共同點(diǎn)，比如形狀、大小不同的多邊形中各有幾個(gè)釘子；發(fā)現(xiàn)不同關(guān)系式中的共同規(guī)律等。在探索規(guī)律時(shí)，一定要注意認(rèn)真觀察、反復(fù)比較，舉例驗(yàn)證。表示數(shù)學(xué)規(guī)律一般用含有字母的式子，它具有簡(jiǎn)潔、明了、易記的特點(diǎn)。發(fā)現(xiàn)規(guī)律固然很重要，但在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過(guò)程中我們所用到的數(shù)學(xué)思想方法、積累到的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)更重要！

【設(shè)計(jì)說(shuō)明：回顧反思是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要環(huán)節(jié)。可從這幾方面引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗(yàn)：一是要在大量實(shí)例中，通過(guò)仔細(xì)觀察與深入分析，尋找相同點(diǎn)，才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律。二是要與他人交流和共享規(guī)律，能關(guān)注規(guī)律的適用范圍。表示規(guī)律的形式與方法很多，如果能用含有字母的式子表達(dá)，既清楚又簡(jiǎn)潔。三是探索規(guī)律較辛苦，需投入很多時(shí)間和精力，但也很愉快，尤其當(dāng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律時(shí)，能體會(huì)到成功的喜悅?！?/p>